3bian行列式的展开

1、经 济 数 学 线 性 代 数第3讲 行列式的展开教师：边文莉 下一步例如一、余子子式与代代数余子子式 下一步在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素 的代数余子式例如 下一步 下一步定理行列式等等于它的的任一行行（列）的各元元素与其其对应的的代数余余子式乘乘积之和和，即二、行列列式按行行（列）展开法法则证:我们将分分三步来来证明此此结论，先来证证明它的的特殊情况况，即某某行只有有一个元元素不为为0，而而其余元素为为0时定定理成立立。 下一步（1）当第一行行只有位位于第一一行第一一列的元元素即有又从而定理成立立。 下一步（2）再证阶

2、阶行列列式，如如果其中中第行行所有有元素除除外外都为零零，那末末这行列列式等于于与与它的代代数余子子式的乘乘积，即即例如 下一步得 下一步得 下一步 下一步中的余子式 下一步故得于是有 下一步（3）证明一般般情况把行列式式的第行行的的每个元元素都写写成n个数的和的的形式。然后利利用行列列式的性性质，把行列式式拆成n个行列式式的和。 下一步 下一步例1 下一步 下一步 证用数学归归纳法例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 下一步 下一步n-1阶范德蒙蒙德行列列式 下一步推论行列式任任一行（列）的的元素与与另一行行（列）的对应应元素的的代数余余子式乘乘积之和和等于零零，即证 下一步同理

3、相同 下一步关于代数数余子式式的重要要性质 下一步例 计算行列式解按第一行行展开，得 下一步例计算行列列式解 下一步 下一步1.行行列式式按行（列）展展开法则则是把高高阶行列列式的计计算化为为低阶行行列式计计算的重重要工具具.三、小结结 下一步克莱姆法法则设线性方方程组则称此方方程组为为非齐次线性性方程组组;此时称方方程组为为齐次线性性方程组组.非齐次与与齐次线线性方程程组的概概念 下一步一、克拉拉默法则则如果线性性方程组组的系数行行列式不不等于零零，即 下一步其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为

4、下一步证明在把 个方程依次相加，得 下一步由代数余余子式的的性质可可知,于是当 时,方程组 有唯一的一个解 下一步由于方程组 与方程组 等价,故也是方程组的 解. 下一步二、齐次线性性方程组组的相关关定理定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解. 下一步 定理 齐次线性方程组 有非零解的充要 条件是它的系数行列式为零.有非零解解.系数行列列式 下一步例1用克拉默默则解方方程组解 下一步 下一步 下一步例2 问 取何值时，齐次方程组有非零解？解 下一步齐次方程组有非零解，则所以 或 时齐次方程组有非零解. 下一步1.行行列式式按行（列）展展开法则则是把高高阶行列列式的计计算化为为低阶行行列式计计算的重重要工具具.小结 下一步3.用用克拉默默法则解解方程组组的两个个条件(1)方方程个数数等于未未知量个个数;(2)系数数