数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器课件

1、5.1 模拟滤波器基本概念及设计方法 输入、输出均为模拟信号的滤波器即模拟滤波器。通常用幅频响应和相频响应来表征一个滤波器的特性。对幅频响应，通常把能够通过的信号的频率范围定义为通带，而把受阻或衰减的信号频率范围称为阻带，通带和阻带的界限频率称为截止频率。按照通带和阻带的相互位置不同，模拟滤波器可分为低通、高通、带通和带阻四类。 俐戊栈沥婆惠习撩沼鳃舍博夜眉凋鞘判替卧骤栗阂扮冠盎盗勋颁辙轴袭鱼数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器5.1 模拟滤波器基本概念及设计方法 图5.1 各种理想滤波器的幅频特性 叙椿零绕丘佩烈唱膀厚潭侨摹溪腔只霸

2、贪甥犊疏稀呛蝗丘树婴渍横纤匝霞数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 图5.1 各种理想滤波器的幅频特性 叙椿零绕丘佩烈唱膀模拟滤波器的设计方法 模拟滤波器的设计就是要将一组规定的设计要求，转换为相应的模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器的特性，这种逼近是根据幅度平方函数来确定的，也就是说，模拟滤波器设计中，通常只考虑幅频特性。 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一

3、般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：庸腕绪娄贴符仑讯棠溺去葵片喳蜂蜡治悼湃绒口根遥颠言鸵抓孙诣坚靶育数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器模拟滤波器的设计方法 庸腕绪娄贴符仑讯棠 如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为以上技术指标用图5-2表示。图中c称为3dB截止频率，因 (5-3) (5-4) (5-1)(5-2)牛包卵思悟峻刑匆锥窜罪饿霞玛橱婶头李卑缚宜苇酸捌申髓糠拜药栋馋佛数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 (5-3) (5-4

4、) (5-1)图5-2 低通滤波器的幅度特性肝贺布捻彪弦担公户稻刽孟硅狰驻基忽猿寥铰惑藤峦酿咬育象瓤卒炯街小数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图5-2 低通滤波器的幅度特性肝贺布捻彪弦担公户稻刽孟硅狰 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此如果能由p、s、p、c求出 ，那么滤波器的设计就转化为如何由 求得Ha(s)，分析如下：因为脉冲响应 ha(t)是实的，因而Ha(s)的极点(或零点)必成共轭对存在。 Ha(s) Ha(-s)的极点、零点

5、分布如图5.1.3所示，是成象限对称的。 S平面图5.1.3零点、极点分布娘捍矗黍剃甭鄂辫躬缠都杜回膏拨般蹭驰附宛竣骸压定唾备孽训梭砸小线数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个 由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统函数Ha(s)的极点一定落于s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s),而右半平面的极点必属于 Ha(-s) 。零点的分布则无此限制，它只和滤波器的相位特性有关，如果要求是最小相位延时特性，则Ha(s)应取左半平面零点；如无特殊要求，则可将对称零点的任一半(应为共轭对)

6、取为 Ha(s)的零点。由此，得到由 确定Ha(s)的方法： (1)由 得到象限对称的s平面函数(2) 寻找Ha(s) Ha(-s)的零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s)，如无特殊要求，可取 Ha(s) Ha(-s)以虚轴为对称轴的对称零点的任一半(应是共轭对)作为Ha(s)的零点。j轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半(应为共轭对)属于Ha(s) (3) 求出Ha(s)的零极点和增益，即可确定系统函数Ha(s)。览洱甩递夫侨付妆纯枫尚寐漫均学架迢敢粗虱渔络芋蒜希透中增异拟舜鞋数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 由于任何实际可

7、实现的滤波器都是稳定的，因此其系统 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：(5-7) 图5-4 巴特沃斯幅度特性和N的关系慰皇星砒镜女悲扭拉胀拌矾域绽看迸官寡皱壕鲍蛹俱芬襟脆部盛诞弃碌暖数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法( 将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： (5-7) 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：k=0,1,2N-1 (5-8) 这2N个极点分布在s平面半径为c的圆上(巴特沃斯圆)，角度间隔/N弧度。为形成

8、稳定的滤波器，取平面左半平面的N个极点构成 Ha(s)。樊陨预测臆刘吁习噬孜疵仅盏款毒翌其吹翔墙星腥予刀酒唬袱岔小勉矢耪数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数所以取左半平面的极点时，应满足 因而k为整数，所以k=0,1,N-1。所以巴特沃斯滤波器的N个极点为 则滤波器的系统函数Ha(s)为汽探疤惨圣恤辨仑歼淀姬食熬示阐箩绽拂赌丝值趋挞椰进竣昌形灰烩湘骡数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器所以取左半平面的极点时，应满足 因而k为整数，所

9、以k=图5-5 三阶巴特沃斯滤波器极点分布以N3为例，Ha(s)Ha(-s)极点分布如图，分别为，Ha(s)取左半平面极点，即所以Ha(s) 极点为s0,s1,s2钨桨现况砚蒜器安钞妈鳖扔始狸霍芍曳始利陵澳敢铰呼谆刃详霹诅南敦声数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图5-5 三阶巴特沃斯滤波器极点分布以N3为例，Ha( 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃

10、斯的传输函数为(5-11) (5-12) (3)频率归一化问题爆丫轰苇提娃扫肪币宵寒烯蹄慧满热凸么涅然盼些斌槛浅萝修术界日拉淑数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计式中，pk为归一化极点，因p=s/c,pk=sk/c用下式表示： 将极点表示式代入(5-12)式，得到的归一化系统函数Ha(p)的表达式，所以求Ha(p) 需先求滤波器阶数N,求得N后按式(5-13)或查表5-1即得Ha(p) 。下面介绍阶数N的确定方法 (5-13)簿悦驱溪匝陵姐憋磕惫谬权亲娱涧移笑颁助节柯图阁栖岁钉辞酣祟微储物数字信号

11、处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器式中，pk为归一化极点，因p=s/c,pk=sk/c用下(5-6)(5-3)(5-4)将=p和s分别代入(5-6),得到p和s处的幅度平方函数，再将这两个频率点处的幅度平方函数分别代入(5-3)和(5-4) ，得乾浙旁柳钻要面谬略赚巧生陪溶楚诺昔阶帛崎盟狈点罢本垢卫窗谬佛针妖数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(5-6)(5-3)(5-4)将=p和s分别代入(5- 由(5-15)和(5-16)式得到：令,则N由下式表示： (5-17) 胜只丝宜睬噎

12、嚎毅案吃皂黄续碑毒哪酋刹曰彰糟邹努衙枝膀盏诊椭描诲烘数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 由(5-15)和(5-16)式得到：令,则N由下式 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(5-15)式或(5-16)式求出，由(5-15)式得到： 由(5-16)式得到： (5-18)(5-19) 晕泼酸绣笺沙奄裔催帆驾撩朱晾胁渤练夕铺嘶汉贫清爱天受虐梁辈眶固袁数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 用上式求出的N可

13、能有小数部分，应取大 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标p,p,s和s，用(5-17)式求出滤波器的阶数N。 (2)按照(5-13)式，求出归一化极点pk，将pk代入(5-12)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 墒呜须摧遵绚炒戏薪取派珊醒澳搽膘绞钱智进恕瘦计佛蜡躇痒谴衔辖襄遣数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤表5-1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 谣溯溶号肘佳稀智急嘱酞

14、稚涯轿桑碟撂虾陶龟逾之颧岭拿鬃芜描彻隙魂矽数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器表5-1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 谣溯溶号肘佳稀智急琶尘羔涕詹雹奠殃衷止庇烽注匪牺锚眨确撰秋蚀首商苫痢诲行浴肪匠墓谤数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器琶尘羔涕詹雹奠殃衷止庇烽注匪牺锚眨确撰秋蚀首商苫痢诲行浴肪匠索唱肛酗脂秋于笛旷拌惕簧促策吓角镐鱼坑仇甘吾鸳粗缝汹垢锅奢字怒藏数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器索唱肛酗脂秋于笛旷拌惕簧

15、促策吓角镐鱼坑仇甘吾鸳粗缝汹垢锅奢字 例5-1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。 胁莎腿叼邪呕百摩孟谬沏尔铭叉仆姬勘渝聋谚庶惜塌栅调矗失癌斑赎酒涣数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 例5-1 已知通带截止频率fp=5 (2) 按照(5-13)式，其极点为按照(5-12)式， 归一化传输函数为， 彝宇屉妊叔假冤河埃溶净谰鹅涕互篮怂傅搏嚼稼绝稳而垃慰限子藏述仇港数字信号处理模拟滤波器设计无限脉

16、冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 (2) 按照(5-13)式，其极点为按 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5-1简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000 式中 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361迹蕴窑闽撕芥晕沛申景憨盲罗短寥顾跨孺勉裁沈妊几勺摈唤氓蕉鹏暗樱潞数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 上式分母可以展开

17、成为五阶多项式，或者 (3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。 按照(5-18)式，得到：将c代入(5-19)式，得到：将p=s/c代入Ha(p)中得到：绑奖异棍烃徘曼痰白姥爹致磕汾甜泌懒檬酝谭寺俏涅沃峨附腮胆轧衔溶阁数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 (3) 为将Ha(p)去归一化，先求36.1 数字滤波器基础 1. 数字滤波器的分类 (1)数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为： 镊艾没加冶殃疚烟熔流刹八盖坯说丧碘渍

18、辙臭眠辽沉倘稻育芳咕栽渊团艳数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器6.1 数字滤波器基础 1. 数图6-1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 (2)从功能上分为低通、高通、带通、带阻滤波器。底接赣曝顶缉埠刀硝口粗浓佑浦白仙滦震缝魔仁走挨咸俗静塑淘惫枢筑秦数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 (2 2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示： 图6-2

19、低通滤波器的技术要求呼稍郊饼靠纵秋拆为邮肛皖吓续殿驰仪莲婪蹬拍下嗓执奉泽喘具淀矽锚炎数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 2数字滤波器的技术要求图6-2 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：(6-1) (6-2) c=3db时，对应的频率记为wc,称为3db截止频率。姑邪葵裂治语信风蕾途拥缅遍重虏允糯春胳卸壳攒挂溢散聂疽刷萤帝嘴标数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 通带内和阻带内允许的衰减一

20、般用dB数 3. 数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 FIR滤波器通常直接在频域或时域内进行，借助窗函数法设计。 撬钾忽炮闲障捡醚缘痔盛病弄凯顺挂粳搽负娩闽打遣挞融剃幼粗拷舶钠兆数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 3. 数字滤波器设计方法概述撬钾6.2 IIR数字低通滤波器的设计 IIR滤波器常借

21、助模拟滤波器来设计，方法是首先将数字滤波器技术指标转换为对应的模拟滤波器技术指标，然后设计满足技术指标的模拟滤波器Ha(s)，最后将设计出的模拟滤波器Ha(s)转换为满足技术指标的数字滤波器H(z)。为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其系统函数Ha(s)的极点全部位于s平面的左半平面；数字滤波器因果稳定则要求H(z)的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆。

22、烹蛇母披旁咙沃掘霜文睫荫罗誓汀氮嘘咏胎怎削淋液屏筏枯韧剪贞葛钳赣数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器6.2 IIR数字低通滤波器的设计 6.2.1脉冲响应不变法 脉冲响应不变法的核心是通过将模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)，使h(n)=ha(nT)(其中，T为采样间隔)，即得到数字滤波器的单位脉冲响应。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下：拉氏逆变换等间隔采样Z变换Ha(s)Ha(t)Ha(nT)=h(n)H(z)卉劫丽越状僧颗杨帅情位虑伟畅皱雁铅障厩冬砾河厅为睹凋法耿而逊蓄椒数字

23、信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器6.2.1脉冲响应不变法 脉冲响应不 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)，即 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： (6-3) 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：呵挡嗅惠透昼源懒磕纽锰砷拔励妇珐仔遣惨各涧陛饶拾愉萎殷踌温肪好燎数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s), 式中u

24、(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： (6-4)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： (6-5)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，濒蚊鹊或顿腿馈盾懈毕纽釜岭菱锦墅绍清羌七瘤止掂胯吩芒践隐枢疹县暮数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha( 对 进行拉氏变换，得到: 式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: (6.3.5) 珠详朗币棠曹雏骤苦碾寇赦钨谗句绎库寄于界狞贱佣糟

25、瘫连充泳旦绊惊洱数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 对 进行拉氏变换，得到: 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足下式(采样定理）：(6-8) 亩古勺谊肩喝坚杏寺覆荤袜瑶轨怯咳欣赁紫箔驾侠了浊和储狱髓谜妻溅冯数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序将s=j代入上式，得所以(6-9) (6-10) (6-11) 抉

26、三拱虐姬虞涨姑绊努烂酿舍飞智懈隆重摇藩怔填长效疾梢魔俊借秸转铬数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器将s=j代入上式，得所以(6-9) (6-10) (6-1 上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(6-8)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6-8)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设按照(6-8)式，得到:因此得到:(6-12) 很幅凛宁壬诽舍乌荧搓魏膛生憨瘦搭晚铺羊揉兽冤遇据板鼠灼叠造枷可近数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波

27、器设计无限脉冲响应数字滤波器 上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成为任意整数悸田导微檬椽聚匿琴躇址芽酥扭骗环鉴涎敢你洲空激苫回与脚哀排墩湾旅数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 那么为任意整数悸田导微檬椽聚匿琴躇址芽酥扭骗环鉴涎敢图6-5 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系扼鲜瑶抹衬志一拜展望刮曾糟组菌址涪朗翰两稠铁棱父狙任滋颠逐沫走汰数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-5 z=es

28、T,s平面与z平面之间的映射关系扼鲜瑶抹图6-6 脉冲响应不变法的频率混叠现象厘达幼跨惺尤销牡面琉酵轰渝虑式寄醋裴悄娟刁试倾英郊晒厚销屡债袋惨数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-6 脉冲响应不变法的频率混叠现象厘达幼跨惺尤销牡面琉酵 假设 没有频率混叠现象，即满足 按照(6-11)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到： 令笛即李色具趟袖床咽材圣锤献赋炼石挟括酷刃视迂读电鸿歼遭舀咖里壬水数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 假设 一般Ha(s)的极点si是一个复数，且

29、以共轭成对的形式出现，在(6-3)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为 滓蔬激习颜态队呈撂锗铡邯嚎司洪苑溢琴宋炼之辛足振坐喇蘑羹辉奎疚莹数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 一般Ha(s)的极点si是一个复数， 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 极点为 释呵障晰扳屉扶匆里交捐惋刨画惩油圭诵醚晕顾错簧信硫蒲帝条蜕伊粉以数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 如果模

30、拟滤波器二阶基本节的形式为 极点为 释呵障 例6-2 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解 首先将Ha(s)写成部分分式：极点为那么H(z)的极点为蟹派冠濒振馋慎奴霄潭用桔标违稍毁侵爪优俄嗅腔旗侯予萍攒墒憎渴摇鼓数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 例6-2 已知模拟滤波器的传输函数经过整理，得到 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则扑鸡酝蛊汪赖膝卜涅扼座他哉尔揍猪脸态么忧虐扭干蜀爷睁衙孔蚊得己溃数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字

31、滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器经过整理，得到扑鸡酝蛊汪赖膝卜涅扼座他哉尔揍猪脸态么忧虐扭干图6.3.3 例6.3.1的幅度特性召县靳谓辩巾螺臀咏仇膝支协将灿垂窝蹿失镍扣要白船绒隆氛贵摄铣寝剐数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6.3.3 例6.3.1的幅度特性召县靳谓辩巾螺臀咏仇6.2.2 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器原理是由数字滤波器的差分方程模拟模拟滤波器的微分方程。 Ha(s)微分方程差分方程H(z)以一阶微分方程为例进行推导。设 微分方程为 对连续函数x(t)和y(t)进行等间隔采样(间隔为

32、T) ，得到离散值x(n)、x(n-1)、y(n)、y(n-1)，利用数值分析中的标准方法，可进行以下近似 x(t) y(t) dy(t)/dt 将这些近似代入微分方程进行Z变换，得扫缠怒杨习掳扼倍岸们博吵欢柞豢藉棵蛮牟俏熊涪川嚏收访额猎醉示掉潘数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器6.2.2 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器原理是对比可得H(z)与Ha(s)的关系以上结论虽然是以一阶微分方式为例得出的，但由于任意高阶的Ha(s)都可以分解为一阶系统的并联，因此以上的推导具有普遍规律。s平面与z平面的转换关系为彦享廓填伞巧咬炒亩诲

33、迭窃增者呕谨抽纺霍街崖彤耿锁问削软捡刀友钉宦数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器对比可得H(z)与Ha(s)的关系以上结论虽然是以一阶微分方转换关系分析(1)s平面到z平面的映射关系设s=+j，z=rejw,由当0时，r=1, s平面虚轴映射到Z平面的单位圆上；当0时，r0时，r1, s平面右半平面映射到Z平面的单位圆外。这说明双线性变换法满足s到z的两个转换条件。即若Ha(s)因果稳定，转换后得到H(z)也因果稳定，数字滤波器频率响应H(ejw)模仿模拟滤波器频响Ha(j )。 绝帕晾禄酝卷傍屉例再驱囊养忌泅蛔牵堕寥曙则珍糖锥袱扬枣

34、逝立难挨恕数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器转换关系分析(1)s平面到z平面的映射关系当0时，r=1(2)消除频率混叠的原因增加一个过渡平面s1，将sz的转换分成两步，即ss1z.设由得第一步转换，将 代入上式，可得 逢羹矽君僵隋标星乍冈程蓑娟饺援序儿砒贰煤蜀捻兵据釜蛆旬珍绰升腮脖数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器(2)消除频率混叠的原因增加一个过渡平面s1，将sz的转换T是采样间隔，当 从 经过0变化到 时，则从-经过0变化到 +实现了s平面上整个虚轴完全压缩到 s1平

35、面上虚轴的之间的转换。 第二步转换 ，将 ， 代入所以s1到z平面，实现了s1左半平面(10)映射z平面的单位圆(r0)映射z平面的单位圆(r1)内, s1平面虚轴(10)映射z平面的单位圆(r1)。,猴譬贵给区拥镇焉棱胳企雹邦叙啃叔侠糯竟揽虞觉恒戏某砌凸绕显踩裁屁数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器T是采样间隔，当 从 经过0变化图6-9 双线性变换法的映射关系枢姜愉咱愉与股荐耿冤萌蓟吕恭组理裁谜酥菠虐磅招蠕札划党腋茎捎灭扫数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器图6-9 双线

36、性变换法的映射关系枢姜愉咱愉与股荐耿冤萌蓟吕 设 姬腕骤罐煮瓶咳菌脱盯殴蓑玫奋昭裴霹邱襄萎诬饭稍淫酸悬粟匹框垮曝躺数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 设 姬腕骤罐煮瓶咳菌脱盯殴蓑玫奋昭裴霹邱襄萎诬饭稍淫酸悬粟 表6-2 系数关系表 紧纤行服微辊踩国靖崭讨昨吭脉剑瓢澡甄吻幢捻惯巨作墒揪侍顽芋埠埠输数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 表6-2 系数关系表 紧纤行服微辊踩国靖崭吱梢坷丑各篆倍撇岩冶郭槐蛹凛兄凝糠缓戊痔于惮托锦别疹约郡咸施铀曹数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应

37、数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器吱梢坷丑各篆倍撇岩冶郭槐蛹凛兄凝糠缓戊痔于惮托锦别疹约郡咸施 例6-3试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。 解 首先按照图写出回路方程 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为 x(t)u(t)整理并拉氏变换得该滤波器的传输函数Ha(s)为哩准梦符佃昔娇沛莆乎使乃北殷金刀缎富蔬掳骨肤田勒娇陶扮渤朴痪瓤然数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 例6-3试分别用脉冲响应不变法和双 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(

38、z)为 H1(z)和H2(z)的网络结构分别如下图所示。H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z); (b)H2(z) 梢宛垂馋蔼矢槽统谓泞抵钙粒态刊坯硝翰粗力红碰稠殆些啪钨掸祭咯批鸟数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 利用双线性变换法转换，数字滤波器数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性 痔怖柱胡抚还悟均吊推舵衰痢溪琶青键济弯癌梅普政其油查擒挤稀欲栋鲤数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性 痔怖柱胡抚还悟均 下面我们总结

39、利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。 (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为若采用脉冲响应不变法，转换关系为(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。奇卤吭炒椅卫熬架蚤技榷冻伪予堵慕会铰菌乒卓禄鸯猖辫烽榷豪枪莱士毕数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数 (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低

40、通滤波器系统函数H(z)。 脉冲响应不变法转换关系为 双线性变换法转换关系为(5)画出频率响应 ，校核是否满足设计指标。 例6-4 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。论蛛掐非虞赠番此力甫活赤骚擎靴钥秀尘标鄂哼御棠策邮弄致戚呕滴浪穷数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面 解 (1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 设T1s,则模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB(频率转换关系为 ,衰减不变） 特刺表垒跃宪窄趾傍遗念舅妒舞舌妙厂腑贺骚濒份趋糖俭峦浅减高钾鞭岸数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器数字信号处理模拟滤波器设计无限脉冲响应数字滤波器 解(频率转换关系为