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文档简介
1、考点 13 定积分与微积分基本定理一、定积分1曲边梯形的面积(1)曲边梯形:由直线x=a、x=b( a b) 、 y=0 和曲线 yf ( x) 所围成的图形称为曲边梯形( 如图 ) (2)求曲边梯形面积的方法与步骤:分割:把区间 a, b 分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形( 如图 ) ;近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图 );求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和;取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积2求变速直线运动的路程
2、3定积分的定义和相关概念( 1)如果函数f()在区间 , 上连续,用分点= 01 i ?1i n=b将区间 , 等分成n个小xa ba x xx xxa bnn区间,在每个小区间 xi ?1, xi 上任取一点i ( i =1,2,n) ,作和式f ( i ) xi1i1a f ( i ) ;当nn时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f ( x) 在区间 a, b 上的定积分,记作bbnf ( x) dx ,即af (x) dx = limani 1ba f ( i ) .n()在a中,与分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数f ( x) 叫做被积函数, x 叫做积分变量
3、, f( x)d x 叫做被积式4定积分的性质( 1)bdbd( k 为常数 ) ;kfx xkafxxab()( )db()db)d(2) fxfxx(xx;aaa(3)b( )d =c( )d +b( )d( 其中a c bafxxfxxcf xx ) a【注】定积分的性质(3)称为定积分对积分区间的可加性,其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形与曲边梯形的面积的和AEFDEBCF5定积分的几何意义b( 1)当函数 f ( x) 在区间 a, b 上恒为正时,定积分f ( x)d x 的几何意义是由直线 x=a, x=b( a b) ,ay=0 和曲线 y=f ( x) 所围成的曲
4、边梯形的面积( 图中阴影部分 ) ( 2)一般情况下,定积分bx 轴、曲线 f ( x) 以及直线 x=a,x=b 之间的曲f ( x)d x 的几何意义是介于a边梯形面积的代数和 ( 图中阴影部分所示) ,其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数6定积分与曲边梯形的面积的关系( 常用结论 )定积分的概念是从曲边梯形面积引入的,但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来确定:设阴影部分面积为S,则( 1)bd;( 2)bd;Sf xxSf xxaacdbbbbd( 3)d;( 4)dd.Sf x xf x xSf x xg x xa
5、f x g x xacaa二、微积分基本定理f ( x) 是区间 a, b 上的连续函数,且b一般地,如果F(x)= f ( x) ,那么f ( x) dx=F( b)? F( a) 这个a结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼茨公式,其中F( x) 叫做 f( x) 的一个原函数为了方便,我们常把F( b)? F( a) 记作bbbxaf ( x)dx =F (x) |a = ()?().*a【注】常见的原函数与被积函数的关系bCdxCx |ab (C 为常数 ) ;( 1)abxndx1 xn 1 |ab (n( 2)1) ;an1bsin xdxcos x |ba ;( 3)abcos
6、 xdxsin x |ba ;( 4)ab1ba 0)( 5)dxln x |a (b;axbex |ab ;( 6) exdxabaxaxdx|ab (a0, a1) ;( 7)aln ab3xdx2 x 2 |ab (ba0) .( 8)a31cos xdx0A1B2C0D2 ,则实数 a 等于2若4 sin x a cos xdx02A1B2C 1D33直线 y4x与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为A 22B 42C2D 4ab1223423 2,那么xdx4定义ad bc ,如11cd3412A6B 3C 3D 025设实数 alog 2 3 , b log 11, c1,则32sin xdx0A bacB bcaC abcD acb21)dx6( 2015年高考湖南卷)( x07( 2015年高考天津卷) 曲线 yx2 与直线 yx 所围成的封闭图形
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