专题13定积分与微积分基本定理知识点

1、考点 13 定积分与微积分基本定理一、定积分1曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x=a、x=b( a b) 、 y=0 和曲线 yf ( x) 所围成的图形称为曲边梯形( 如图 ) （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间 a， b 分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形( 如图 ) ；近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图 )；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积2求变速直线运动的路程

2、3定积分的定义和相关概念（ 1）如果函数f()在区间 , 上连续，用分点= 01 i ?1i n=b将区间 , 等分成n个小xa ba x xx xxa bnn区间，在每个小区间 xi ?1, xi 上任取一点i ( i =1,2,n) ，作和式f ( i ) xi1i1a f ( i ) ；当nn时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f ( x) 在区间 a, b 上的定积分，记作bbnf ( x) dx ，即af (x) dx = limani 1ba f ( i ) .n（）在a中，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f ( x) 叫做被积函数， x 叫做积分变量

3、， f( x)d x 叫做被积式4定积分的性质（ 1）bdbd( k 为常数 ) ；kfx xkafxxab()( )db()db)d（2） fxfxx(xx；aaa（3）b( )d =c( )d +b( )d( 其中a c bafxxfxxcf xx ) a【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形与曲边梯形的面积的和AEFDEBCF5定积分的几何意义b（ 1）当函数 f ( x) 在区间 a, b 上恒为正时，定积分f ( x)d x 的几何意义是由直线 x=a， x=b( a b) ，ay=0 和曲线 y=f ( x) 所围成的曲

4、边梯形的面积( 图中阴影部分 ) （ 2）一般情况下，定积分bx 轴、曲线 f ( x) 以及直线 x=a，x=b 之间的曲f ( x)d x 的几何意义是介于a边梯形面积的代数和 ( 图中阴影部分所示) ，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数6定积分与曲边梯形的面积的关系( 常用结论 )定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S,则（ 1）bd；（ 2）bd；Sf xxSf xxaacdbbbbd（ 3）d；（ 4）dd.Sf x xf x xSf x xg x xa

5、f x g x xacaa二、微积分基本定理f ( x) 是区间 a, b 上的连续函数，且b一般地，如果F(x)= f ( x) ，那么f ( x) dx=F( b)? F( a) 这个a结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式，其中F( x) 叫做 f( x) 的一个原函数为了方便，我们常把F( b)? F( a) 记作bbbxaf ( x)dx =F (x) |a = ()?().*a【注】常见的原函数与被积函数的关系bCdxCx |ab (C 为常数 ) ；（ 1）abxndx1 xn 1 |ab (n（ 2）1) ；an1bsin xdxcos x |ba ；（ 3）abcos

6、 xdxsin x |ba ；（ 4）ab1ba 0)（ 5）dxln x |a (b；axbex |ab ；（ 6） exdxabaxaxdx|ab (a0, a1) ；（ 7）aln ab3xdx2 x 2 |ab (ba0) .（ 8）a31cos xdx0A1B2C0D2 ，则实数 a 等于2若4 sin x a cos xdx02A1B2C 1D33直线 y4x与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为A 22B 42C2D 4ab1223423 2，那么xdx4定义ad bc ，如11cd3412A6B 3C 3D 025设实数 alog 2 3 ， b log 11， c1，则32sin xdx0A bacB bcaC abcD acb21)dx6（ 2015年高考湖南卷）( x07（ 2015年高考天津卷） 曲线 yx2 与直线 yx 所围成的封闭图形