线性系统的稳定性分析

1、文档编码 : CY3U9Q4F8J8 HK6Y5X7T1A5 ZS9H8Z1R4B4第三章 线性系统的稳固性分析3.1 概述假如在扰动作用下系统偏离了原先的平稳状态,当扰动消逝后,系统能够以足够 的精确度复原到原先的平稳状态,就系统是稳固的；否就,系统不稳固；一个实际的系统 必需是稳固的,不稳固的系统是不行能付诸于工程实施的；因此,稳固性问题是系统把握 理论争论的一个重要课题；对于线性系统而言,其响应总可以分解为零状态响应和零输入 响应,因而人们习惯分别争论这两种响应的稳固性,从而外部稳固性和内部稳固性的概 念；应用于线性定常系统的稳固性分析方法很多；然而,对于非线性系统和线性时变系 统,这些

2、稳固性分析方法实现起来可能特别困难,甚至是不行能的；李雅普诺夫 A.M. Lyapunov 稳固性分析是解决非线性系统稳固性问题的一般方法；本章第一介绍外部稳固性和内部稳固性的概念及其相互关系,然后介绍李雅普诺夫 稳固性的概念及其判别方法,最终介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳固性分析；虽然在非线性系统的稳固性问题中,Lyapunov 稳固性分析方法具有基础性的地位,但在具体确定很多非线性系统的稳固性时,却并不是直截了当的；技巧和体会在解决 非线性问题时显得特别重要；在本章中,对于实际非线性系统的稳固性分析仅限于几种简 单的情形；3.2 外部稳固性与内部稳固性3.2.1 外部稳固：考虑一个线性因果

3、系统,假如对一个有界输入u t k 1u（t）,即中意条件：的输入 u（ t）,所产生的输出 y（t）也是有界的,即使得下式成立：y t k 2就称此因果系统是外部稳固的,即BIBO （ Bounded Input Bounded Output ）稳固；留意：在争论外部稳固性的时候,我们必需要假定系统的初始条件为零,只有在这种 假定下面,系统的输入输出描述才是唯独的和有意义的；系统外部稳固的判定准就系统的 BIBO 稳固性可依据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别；a 时变情形的判定准就对于零初始条件的线性时变系统,设 G t , 为脉冲响应矩阵,就系统 BIBO 稳固的充要 条 件 是 ,

4、 存 在 一 个 有 限 常 数 k , 使 对 于 一 切 t t 0 , , G t , 的 每 一 个 元g ij , i 1,2,. ; q j 1,2,. 有tt 0 g ij , d k即,G t , 是确定可积的；b 定常情形下的判定准就：对于零初始条件的线性定常系统,初始时刻 t0=0,Gt 为脉冲响应矩阵,Gs为传递函数矩阵,就系统 BIBO 稳固的充要条件是,存在一个有限常数 k , Gt 的每一个元g ij i 1,2,. ; q j 1,2,. p 有tt 0 g ij t d k 或者等价的：当 Gs为真的有理分式函数矩阵时,Gs的每一个传递函数 g（s）的全部零极点

5、都具有负实部；对 于 一 个 定 常 线 性 系 统xtAxtBut, 其 传 递 函 数 矩 阵 为 ：ytCxtDu tG .sCs IA1BDdet1ACAdjs IABD；因此,只要中意系统的s I全部特点根具有负实部根,就系统是BIBO 稳固的；3.2.2 内部稳固性., CXDu假如外部输入u（t）为 0,初始状态对于线性定常系统XAXBux0 为任意,且由x0 引起的零输入响应（ ；x0;0中意：lim x（ ；x0;00就称系统实内部稳固的,或称为是渐进稳固的；判定准就：对于系统x tAxt,其解为xteAtx0；因此,对于上面所列的状态空间表达,它的渐进稳固的充分必要条件是矩

6、阵A 的全部特点值具有负实部；3.2.3 内部稳固性和外部稳固性之间的关系 对线性定常系统的内部稳固和外部稳固的等价关系,得出如下结论：1.线性定常系统是内部稳固的,就其必为BIBO 稳固的；BIBO 稳固是等价的；2.线性定常系统是BIBO 稳固的,不愿定就是内部稳固的；3.线性定常系统是能把握和能观测的,就其内部稳固性和内部 外部稳固 稳固图 3.1 外部稳固与内部稳固的关系3.3 Lyapunov 意义下的稳固性问题对于一个给定的把握系统,稳固性分析通常是最重要的；假如系统是线性定常的,那么有很多稳固性判据,如Routh-Hurwitz 稳固性判据和Nyquist 稳固性判据等可资利用；

7、然而,假如系统是非线性的,或是线性时变的,就上述稳固性判据就将不再适用；Lyapunov 其次法（也称Lyapunov 直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法；反过来,这种方法也可适用于线性定常系统的稳固性分析；李雅普诺夫稳固分析法是确定时变系统和非线性系统的稳固性更一般的方法,这种方法可以在无需求解状态方程的条件下,确定系统的稳固性；3.3.1 基本概念a 平稳状态忽视输入后,非线性时变系统的状态方程：x f x , t 为 n 维状态向量； t 为时间变量；f x , t 为 n 维函数）,其开放式为：x & i f i x 1 , x 2 , L , x n , i ,1

8、, n假如对于全部 t,中意x e f x e , t 0的 状 态 xe 称 为 平 衡 状 态 （ 又 称 为 平 衡 点 ） ； 如 果 系 统 是 线 性 定 常 的 , 也 就 是 说f x , t Ax,就当 A 为非神奇矩阵时,系统存在一个唯独的平稳状态；当 A 为神奇矩阵时,系统将存在无穷多个平稳状态；对于非线性系统,可有一个或多个平稳状态,这些状态对应于系统的常值解（对全部 t,总存在 x x e）；任意一个孤立的平稳状态（即彼此孤立的平稳状态）或给定运动 x g t 都可通过坐标变换,统一化为扰动方程 x f x , t 之坐标原点,即 f 0 , t 0 或 x e 0；

9、在本章中,除非特别申明,我们将仅争论扰动方程关于原点 ex 0 处之平稳状态的稳固性问题；这种 “原点稳固性问题”由于使问题得到极大简化,而不会丢失一般性,从而为稳固性理论的建立奠定了坚实的基础,这是Lyapunov 的一个重要奉献；把握系统李雅普诺夫意义下的稳固性是关于平稳状态的稳固性,反映了系统在平稳状态邻近的动态行为；鉴于线性系统只有一个平稳状态,平稳状态的稳固性能够表征整个系统的稳固性；对于具有多个平稳状态的非线性系统来说,由于各平稳状态的稳固性一般并不相同,故需逐个加以考虑,仍需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑；b 李雅普诺夫稳固性假如对于任意小的 0,均存在一个,0t0,起初

10、始状态中意x0 xe时,系统运动轨迹中意limx t;x 0,t0 xe,就称该平稳状态xe 是李雅普诺夫意义下稳固的；设系统初始状态x0 位于平稳状态xe 为球心、半径为 的闭球域S 内,假如系统稳定,就状态方程的解x t;x0t0在 t的过程中,都位于以xe 为球心,半径为 的闭球域S 内；c 一样稳固性通常 与 、 t0 都有关；假如 与 t0 无关,就称平稳状态是一样稳固的；定常系统的与 t0 无关,因此定常系统假如稳固,就确定是一样稳固的；d 渐进稳固性系统的平稳状态不仅具有李雅普如夫意义下的稳固性,且有lim t x t x t 0 x e 0称此平稳状态是渐近稳固的；这时,从 S

11、 动身的轨迹不仅不会超出 S ,且当t 时收剑于 xe 或其邻近；c 大范畴稳固性起初始条件扩展至整个状态空间,且具有稳固性时,称此平稳状态是大范畴稳固的,或全局稳固的；此时,S , x；对于线性系统,假如它是渐近稳定的,必具有大范畴稳固性,由于线性系统稳固性与初始条件无关；非线性系统的稳固性一般与初始条件的大小亲热相关,通常只能在小范畴内稳固；d 不稳固性不论 取得得多么小,只要在S 内有一条从x0 动身的轨迹跨出S ,就称此平稳状态是不稳固的；实际上,渐近稳固性比纯稳固性更重要；考虑到非线性系统的渐近稳固性是一个局部概念,所以简洁地确定渐近稳固性并不意味着系统能正常工作；通常有必要确定渐近

12、稳固性的最大范畴或吸引域；它是发生渐近稳固轨迹的那部分状态空间；换句话说,发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳固的；在把握工程问题中,总期望系统具有大范畴渐近稳固的特性；假如平稳状态不是大范围渐近稳固的,那么问题就转化为确定渐近稳固的最大范畴或吸引域,这通常特别困难；然而,对全部的实际问题,如能确定一个足够大的渐近稳固的吸引域,以致扰动不会超过它就可以了；图 3.2 （a）稳固平稳状态及一条典型轨迹（b）渐近稳固平稳状态及一条典型轨迹（c）不稳固平稳状态及一条典型轨迹图 3.2（a）、 b和c分别表示平稳状态及对应于稳固性、渐近稳固性和不稳固性的典型轨迹；在图3.2a、b 和c中,域 S（ ）

13、制约着初始状态x ,而域 S ）是起始于x 的轨迹的边界；留意,由于上述定义不能具体地说明可容许初始条件的精确吸引域,因而除非 S 对应 于整个状态平面,否就这些定义只能应用于平稳状态的邻域；此外,在图5.2（c）中,轨迹离开了S ）,这说明平稳状态是不稳固的；然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是由于轨迹仍可能趋于在S ）外的某个极限环（假如线性定常系统是不稳固的,就在不稳固平稳状态邻近动身的轨迹将趋于无穷远；但在非线性系统 中,这一结论并不愿定正确）；上述各定义的内容,对于懂得本章介绍的线性和非线性系统的稳固性分析,是最低限 度的要求；留意,这些定义不是确定平稳状态稳固性概念的唯独方法；实

14、际上,在其他文 献中仍有另外的定义；对于线性系统,渐近稳固等价于大范畴渐近稳固；但对于非线性系统,一般只考虑吸 引区为有限的定范畴的渐近稳固；Lyapunov 意义下的 最终指出,在经典把握理论中,我们已经学过稳固性概念,它与 稳固性概念是有确定的区分的,例如,在经典把握理论中只有渐近稳固的系统才称为稳固 的系统；在 Lyapunov 意义下是稳固的,但却不是渐近稳固的系统,就叫做不稳固系统；两 者的区分与联系如下表所示；经典把握理论 线性系统）不稳固 Res0 临界情形 Res=0 稳固 Res0 Lyapunov 意义下不稳固稳固渐近稳固3.3.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法是通过系

15、统矩阵 A 的特点值来判定系统的稳固性的,其主要内容 : .1用一次近似表达式表达状态方程,即 X AX ,假如系统矩阵 Ade 全部特点值具有负实部,就系统在平稳点处是稳固的,而且稳固性与高阶导数无关；（2）假如在一次近似式的系统矩阵A 的特点值中至少有一个具有正实部时,无论高阶导数的情形如何,系统在平稳点处不稳固；（3）假如在一次近似式的系统矩阵A 的特点值中有零特点值,系统的稳固性要有高阶导数预备；当高阶导数为零时,系统处于临界稳固状态；3.3.3 标量函数的正定性定义正定性：标量函数 V x 在域 S 中对全部非零状态 x 0 有 V x 0 且 V 0 0,称2 2V x 在域 S

16、内正定；如 V x x 1 x 2 是正定的；负定性：标量函数 V x 在域 S 中对全部非零 x 有 V x 0 且 V 0 0,称 V x 在域2 2S 内负定；如 V x x 1 x 2 是负定的；假如 V x 是负定的,-V x 就确定是正定的；负（正）半定性：V 0 0,且 V x 在域 S 内某些状态处有 V x 0,而其它状态处均有 V x 0（V x 0）,就称 V x 在域 S 内负（正）半定；设 V x 为负半定,就2V x 为正半定；如 V x x 1 2 x 2 为正半定；不定性：V x 在域 S 内可正可负,就称 V x 不定；如 V x x 1 x 2 是不定的；关

17、于 V x t 正定性的提法是：标量函数 V x t 在域 S 中,对于 t 0t 及全部非零状态有 V x , t 0 ,且 V 0 , t 0,就称 V x , t 在域 S 内正定；V x , t 的其它定号性提法类同；二次型函数是一类重要的标量函数,记VxxTPxx 1xnp 11p1 nx 1（1）其中, P 为对称矩阵,有pijpn1pnnxn0,其定号性由赛尔维斯特准就pji；明显中意Vx判定；当 P 的各次序主子行列式均大于零时,即p 110,p 11p 120,L,p 11Lp 1 n0（2）MLMp21p 22pn 1pnnP 为正定矩阵,就V x 正定；当 P 的各次序主

18、子行列式负、正相间时,即p 110,p 11p 120,L,n 1p 11Lp 1 n0（3）MLMp21p22pn 1pnnP 为负定矩阵,就V x 负定；如主子行列式含有等于零的情形,就V x 为正半定或负半定；不属以上全部情形的 V x 不定；3.3.4 李雅普诺夫其次法由力学经典理论可知,对于一个振动系统,当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数必定是负定的）,直到平稳状态时为止,就振就系统是稳定的；Lyapunov 其次法是建立在更为普遍的情形之上的,即：假如系统有一个渐近稳固的平衡状态,就当其运动到平稳状态的吸引域内时,系统储备的能量随着时间的增长而衰减,直到在

19、平稳状态达到微小值为止；然而对于一些纯数学系统,究竟仍没有一个定义“能量函数 ” 的简便方法；为了克服这个困难,Lyapunov 引出了一个虚构的能量函数,称为Lyapunov 函数；当然,这个函数无疑比能量更为一般,并且其应用也更广泛；实际上,任一纯量函数只要中意Lyapunov 稳固性定理的假设条件,都可作为,Lyapunov 函数；Lyapunov 函数与x 1,x2,nx和 t 有关,我们用Vx 1,x2xn,t或者Vx,t来表示Lyapunov 函数；假如在Lyapunov 函数中不含t,就用Vx 1,x2,xn或Vx 表示；在Lyapunov 其次法中,Vx ,t和其对时间的导数V

20、x ,tdVx,t/dt的符号特点,供应了判定平稳状态处的稳固性、渐近稳固性或不稳固性的准就,而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统,也适用于非线性系统）；1、关于渐近稳固性可以证明：假如 x 为 n 维向量,且其纯量函数 V x 正定,就中意V x C的状态 x 处于 n 维状态空间的封闭超曲面上,且至少处于原点邻近,式中 C 是正常数；随着 x,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间；假如 C 1 C 2,就超曲面 V x C 1完全处于超曲面 V x C 2 的内部；对于给定的系统,如可求得正定的纯量函数 V x ,并使其沿轨迹对时间的导数总为负值,就随着时间的增加,V x 将取越来

21、越小的 C 值；随着时间的进一步增长,最终V x 变为零,而 x 也趋于零；这意味着,状态空间的原点是渐近稳固的；Lyapunov 主稳定性定理就是前述事实的普遍化,它给出了渐近稳固的充要条件；该定理阐述如下：定理 3.1 Lyapunov, 皮尔希德斯基,巴巴辛,克拉索夫斯基x tfx t,t式中 考虑如下非线性系统f ,0t0, 对全部tV0tt,且中意以下条件：假如存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数x ,1、Vx ,t正定；2、Vx ,t负定就在原点处的平稳状态是（一样）渐近稳固的；进一步,如x,Vx,t,就在原点处的平稳状态是大范畴一样渐近稳定的；-例 3.3 考虑如下非线性系统x

22、1 x 2 x 1 x 1 2 x 2 2 2 2x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 明显原点（1x 0,x 2 0）是唯独的平稳状态；试确定其稳固性；假如定义一个正定纯量函数 V x 2 2 2V x 2 x 1 x 1 2 x 2 x 2 2 x 1 x 2 是负定的,这说明 V x 沿任一轨迹连续地减小,因此 V x 是一个 Lyapunov 函数；由于V x 随 x 偏离平稳状态趋于无穷而变为无穷,就依据定理 5.1,该系统在原点处的平稳状态是大范畴渐近稳固的；留意,如使 V x 取一系列的常值 0 , C 1C 2 ,（0 C 1 C 2）,就 V x =0对应于状态平面的原点,

23、而 V x C 1,V x C 2, ,描述了包围状态平面原点的互不相 交的一簇 圆,如图 3.2 所 示；仍应 留意,由 于 V x 在径向 是无界的,即 随着x,V x ,所以这一簇圆可扩展到整个状态平面；由于圆 V x C k 完全处在 V x C k 1 的内部,所以典型轨迹从外向里通过 V 圆的边界；因此 Lyapunov 函数的几何意义可阐述如下 V x 表示状态 x 到状态空间原点距离的一种度量；假如原点与瞬时状态 xt之间的距离随 t 的增加而连续地减小（即 V x t 0）,就x t 0；图 3.2 常数 V 圆和典型轨迹-定理 3.1 是 Lyapunov 其次法的基本定理

24、,下面对这一重要定理作几点说明；1 这里仅给出了充分条件,也就是说,假如我们构造出了Lyapunov 函数Vx,t,那么系统是渐近稳固的；但假如我们找不到这样的 论,例如我们不能据此说该系统是不稳固的；Lyapunov 函数,我们并不能给出任何结2 对于渐近稳固的平稳状态,就Lyapunov 函数必存在；3 对于非线性系统,通过构造某个具体的 Lyapunov 函数,可以证明系统在某个稳固域内是渐近稳固的,但这并不意味着稳固域外的运动是不稳固的；对于线性系统,假如存在渐近稳固的平稳状态,就它必定是大范畴渐近稳固的；4 我们这里给出的稳固性定理,既适合于线性系统、非线性系统,也适合于定常系统、时

25、变系统,具有极其一般的普遍意义；明显,定理 3.1 仍有一些限制条件,比如 V x t , 必需是负定函数；假如在 V x t , 上附加一个限制条件,即除了原点以外,沿任一轨迹 V x t , 均不恒等于零,就要求 V x t , 负定的条件可用 V x t 取负半定的条件来代替；定理 3.2 克拉索夫斯基,巴巴辛 考虑如下非线性系统x t f x t , t 式中f ,0t0, 对全部t0t如存在具有连续一阶偏导数的纯量函数 1、 V x t , 是正定的；2、 V x t , 是负半定的；V x t , ,且中意以下条件：t;x3、Vt;x0,t0,t对于任意0t 和任意x00,在t0t

26、时,不恒等于零,其中的0t0表示在0t 时从x 动身的轨迹或解；就在系统原点处的平稳状态是大范畴渐近稳定的；留意,如 V x t , 不是负定的,而只是负半定的,就典型点的轨迹可能与某个特定曲面V x t , =C 相切,然而由于 V t ; x 0 , t 0 , t 对任意 0t 和任意 x 0 0,在 t 0t 时不恒等于零,所以典型点就不行能保持在切点处（在这点上,V x t , =0）,因而必定要运动到原点；2、关于稳固性然而,假如存在一个正定的纯量函数V x t , ,使得V x t , 始终为零,就系统可以保持在一个极限环上；在这种情形下,原点处的平稳状态称为在定理 3.3 Ly

27、apunov考虑如下非线性系统fx t,tx t式中Lyapunov 意义下是稳固的；f ,0t0, 对全部t0t如存在具有连续一阶偏导数的纯量函数 1、 V x t , 是正定的；2、 V x t , 是负半定的；V x t , ,且中意以下条件：t;x3、Vt;x0,t0,t对于任意0t 和任意x00,在t0t时,均恒等于零,其中的0t0表示在0t 时从x 动身的轨迹或解；就在系统原点处的平稳状态是Lyapunov 意义下的大范畴渐近稳固的；3、关于不稳固性假如系统平稳状态x =0 是不稳固的,就存在纯量函数Wx,t,可用其确定平稳状态的不稳固性；下面介绍不稳固性定理；定理 3.4 Lya

28、punov考虑如下非线性系统fx t,tx t式中f ,0 t 0 , 对全部 t 0t如存在一个纯量函数 W x , t ,具有连续的一阶偏导数,且中意以下条件：1、W x , t 在原点邻近的某一邻域内是正定的；2、W x t 在同样的邻域内是正定的；就原点处的平稳状态是不稳固的；3.3.5 线性系统的稳固性与非线性系统的稳固性比较在线性定常系统中,如平稳状态是局部渐近稳固的,就它是大范畴渐近稳固的,然而在非线性系统中,不是大范畴渐近稳固的平稳状态可能是局部渐近稳固的；因此,线性定常系统平稳状态的渐近稳固性的含义和非线性系统的含义完全不同；假如要检验非线性系统平稳状态的渐近稳固性,就非线性

29、系统的线性化模型稳固性分析远远不够；必需争论没有线性化的非线性系统；有几种基于Lyapunov 其次法的方法可达到这一目的,包括用于判定非线性系统渐近稳固性充分条件的克拉索夫斯基方法、用于构成非线性系统 Lyapunov 函数的 Schultz-Gibson 变量梯度法、用于某些非线性把握系统稳固性分析的鲁里叶 Lure 法,以及用于构成吸引域的波波夫方法等；下面仅争论克拉索夫斯基方法；3.4.1 概述3.4 线性定常系统的 Lyapunov 稳固性分析如前所述, Lyapunov 其次法不仅对非线性系统,而且对线性定常系统、线性时变系 统,以及线性离散系统等均完全适用；利用 Lyapunov

30、 其次法对线性系统进行分析,有如下几个特点：1 都是充要条件,而非仅充分条件；2 渐近稳固性等价于Lyapunov 方程的存在性；xHQx；3渐近稳固时,必存在二次型Lyapunov 函数VxxHPx及Vx 4 对于线性自治系统,当系统矩阵A 非神奇时,仅有唯独平稳点,即原点xe05 渐近稳固就是大范畴渐近稳固,两者完全等价；众所周知,对于线性定常系统,其渐近稳固性的判别方法很多；例如,对于连续时间定常系统 x Ax ,渐近稳固的充要条件是：A 的全部特点值均有负实部,或者相应的特点方程 sI A s n a 1 s n 1 a n 1 s a n 0 的根具有负实部；但为了躲开困难的特点值运

31、算,如 Routh-Hurwitz 稳固性判据通过判定特点多项式的系数来直接判定稳固性,Nyquist 稳固性判据依据开环频率特性来判定闭环系统的稳固性；这里将介绍的线性系统的Lyapunov 稳固性方法,也是一种代数方法,也不要求把特点多项式进行因式分解,而且可进一步应用于求解某些最优把握问题；3.4.2 线性定常系统的 Lyapunov 稳固性分析考虑如下线性定常自治系统xAx3.3 xe0,其平稳状式中,xRn,ARnn；假设A 为非神奇矩阵,就有唯独的平稳状态态的稳固性很简洁通过Lyapunov 其次法进行争论；P 可取为正定的实对称对于式 5.3的系统,选取如下二次型Lyapunov

32、 函数,即VxxHPx式中 P 为正定 Hermite 矩阵（假如x 是实向量,且A 是实矩阵,就矩阵）；Vx沿任一轨迹的时间导数为由于Vx xHPxxHP xAx HPxxHPAxxHH APxxHPAxxHAHPPA xVx取为正定,对于渐近稳固性,要求V x 为负定的,因此必需有Vx xHQx式中为正定矩阵；因此,对于式QAHPPAQ 正定；为了判定3.3）的系统,其渐近稳固的充分条件是n n 维矩阵的正定性,可接受赛尔维斯特准就,即矩阵为正定的充要条件是矩阵的全部主子行列式均为正值；在判别V x 时,便利的方法,不是先指定一个正定矩阵P,然后检查Q 是否也是正定的,而是先指定一个正定的

33、矩阵Q,然后检查由AHPPAQ确定的 P 是否也是正定的；这可归纳为如下定理；定理 3.5 线性定常系统xAx 在平稳点ex0处渐近稳固的充要条件是：对于Q0,P0,中意如下Lyapunov 方程AHPPAQ这里 P、Q 均为 Hermite 矩阵或实对称矩阵；此时,Lyapunov 函数为VxxHPx,Vx xHQx特别地,当VxxHQx0时,可取Q0正半定 ；现对该定理作以下几点说明： 1 假如系统只包含实状态向量x 和实系统矩阵A,就 Lyapunov 函数xHPx为xTPx,且Lyapunov 方程为TA P PA QH 2 假如 V x x Qx 沿任一条轨迹不恒等于零,就 Q 可取

34、正半定矩阵； 3 假如取任意的正定矩阵 Q,或者假如 V x 沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵 Q,并求解矩阵方程HA P PA Q以确定 P,就对于在平稳点 x e 0 处的渐近稳固性,P 为正定是充要条件；留意,假如正半定矩阵 Q 中意以下秩的条件/1 2Q1 / 2Q Arank n1 / 2 n 1Q A就 V t 沿任意轨迹不恒等于零； 4 只要挑选的矩阵 Q 为正定的（或依据情形选为正半定的）,就最终的判定结果将与矩阵 Q 的不同挑选无关； 5 为了确定矩阵P 的各元素,可使矩阵AHPPA和矩阵 -Q 的各元素对应相等；为了确定矩阵P 的各元素pijpji,将导致nn+1/

35、2 个线性方程；假如用1,2,n表示矩阵 A 的特点值,就每个特点值的重数与特点方程根的重数是一样的,并且假如每两个根的和jk0jk的和总就 P 的元素将唯独地被确定；留意,假如矩阵A 表示一个稳固系统,那么不等于零； 6 在确定是否存在一个正定的Hermite 或实对称矩阵P 时,为便利起见,通常取QI,这里 I 为单位矩阵；从而,P 的各元素可按下式确定然后再检验P 是否正定；AHPPAI- 例 3.5 设二阶线性定常系统的状态方程为x 101x 1x211x 2明显,平稳状态是原点；试确定该系统的稳固性；解 不妨取 Lyapunov 函数为此时实对称矩阵P 可由下式确定VxxTPxIT

36、APPA上式可写为01p 11p 12p 11p 12011011p 12p 22p 12p 221101将矩阵方程开放,可得联立方程组为从方程组中解出p 11、p12、p22p 11p 122p 1201p 222p 122p 221,可得31p 11p 122 12p 12p 2212为了检验 P 的正定性,我们来校核各主子行列式为30 ,310Lyapunov 函数2 12212明显, P 是正定的；因此,在原点处的平稳状态是大范畴渐近稳固的,且VxxTPx132 x 12x 1x222 x 22且Vx x2x212例 3.6 试判定以下线性系统平稳状态的稳固性；x 1x2,x2x 1x

37、 2x2 x 102 x ,就Vx 2x2,Vx与1x 无关,故存解原点是惟一平稳状态；选V x 2在非零状态（如x 10 ,x20,使VVx,而对其余任意状态有0,故Vx正半定；系统不稳固；例 3.7 试判定以下非线性系统平稳状态的稳固性；x &axx2xx0,得知系统有两个平解这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子；令衡状态,x0和 xa ；对位于原点的平稳状态,选V x 2 x ,有a一样渐近稳固的；当V x & 2ax22x322 xax于是,当a0时,系统在原点处的平稳状态是局部x0 ,Vx0 ；上述结论也a0时原点明显是不稳固的；a0时原点也是不稳固的可以从状态方程直接看出；对于平稳状态xa ,作坐标变换zxa ,得到新的状态方程a 处的平稳状z &az2 z因此,通过与原状态方程对比可以确定：对于原系统在状态空间x态,当a0时是局部一样渐近稳固的；当