专题07 恒成立问题（练习）（教师版）

1、专题7 恒成立问题A组 基础巩固1（2021四川绵阳市高三三模（理）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】C【分析】讨论当时，可得；当，由偶函数性质得出，由不等式可求解.【详解】当时，由可得，即，解得；当时，则，又是偶函数，由可得，即，解得，综上，的解集为.故选：C.2（2021河北石家庄市高三一模）若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】首先转化“友情点对”为把时的函数图像沿着原点对称对称过去，和时函数图像的交点，即的图像和的交点，

2、所以只要有两解即可，求导画图即可得解.【详解】根据题意，若要求“友情点对”，可把时的函数图像关于原点对称，研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可，关于原点对称的解析式为，考查的图像和的交点，可得，令，所以，为减函数，为增函数，其图象为，故若要有两解，只要即可，故选：A【点睛】本题考查了新定义问题，考查了转化思想，考查了利用导数研究函数的图像，同时考查了函数对称问题，属于较难题.本题关键点有：（1）正确理解“友情点对”；（2）正确的转化，转化为函数方程问题；（3）掌握利用导数研究单调性.3（2021全国高三其他模拟）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【

3、分析】不等式在上恒成立的两个临界状态是与相切和与相切时，故求两种状态下的值，即可得的取值范围【详解】画出函数的图像如图所示.在上恒成立即函数的图像恒在直线的图像的下方，且直线过定点，当直线与相切时，设切点，可得，解得，则直线斜率为，即；当直线与相切时，此时由，得，令，得或（舍），所以由图像可知故选：A【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的

4、方法求解4（2021全国高三其他模拟）已知函数，若对恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】令，求导，分析导函数的正负，得所函数的单调性和最值，由不等式恒成立思想可得选项【详解】令，则，令，则，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故，解得，故选：A【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立.5（2021全国高三其他模拟）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】构造函数，判断函数的奇偶

5、性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.【详解】，令，则，可得是奇函数，又，又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；当且仅当，即时等号成立；故，可得是单调增函数，由得，即，即对恒成立.当时显然成立；当时，需，得，综上可得，故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：（1）把不等式转化为的模型；（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.6（2021全国高三其他模拟（理）若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是（ ）ABCD【答案】B【分析】根据函数

6、为奇函数，得到，再由函数在上是减函数，作出函数的图象，再由，等价于，利用数形结合法求解.【详解】因为函数为奇函数，所以，所以，因为函数在上是减函数，所以函数在上是减函数作出函数的大致图象如图所示，而，等价于，即，则或，所以或，解得或综上，的解集是故选：B7（2021黑龙江哈尔滨三中高三二模（理）设，则下列不等式恒成立的是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据指数函数的性质判断，根据特殊值法判断【详解】解：对于，故错误；对于，故，故错误；对于，不妨令，则，故错误；对于，所以，故正确；故选：8（2021辽宁高三二模）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围是_.【答案】【分析】先研究函数

7、的单调性，再讨论表示的直线与相切时参a的值，结合直线特征确定纵截距使得恒在直线上方，即求得参数的取值范围.【详解】令，则，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增.又，则，当时，若直线与相切时，设切点为，则，解得，又，所以，解得此时纵截距为， 故当纵截距时，可以使恒成立，即；当时，若直线与相切时，设切点为，则，解得，又，所以，解得此时纵截距为，故当纵截距时，可以使恒成立，即；由已知对，都有，需.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于确定表示的直线与曲线相切时的临界状态下的纵截距，再结合截距变化确定何时恒在直线上方，即突破难点.9（2021安徽合肥市高三二模（文）已知函数，.若当时，恒

8、成立，则实数的值等于_.【答案】2【分析】先由代入可得，再由，构造，由恒成立可得，再检验恒成立即可.【详解】当时，即，所以当时，所以，则，令，则在时恒成立，.当时，则单调递增，由，可知时，不满足；当时，可得，则时，单调递增，时，单调递减，由，且在时恒成立，所以，即.只需检验时恒成立即可.，即证令，时，单调递减，时，单调递增，所以，得证.所以，所以.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由得到，进而转换为在时恒成立，通过构造函数可求参数.10（2021全国高三专题练习）若对于恒成立，当时，的最小值为_；当时，的最小值是_【答案】1 【分析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；

9、作出的图像，运用函数图像的性质数形结合确定的最小值.【详解】解：时，令，则，令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调递减，故的最小值为，的图像如下所示：当时，令，可得，故取得最小值，直线在轴的截距最大，又，结合图像可知：令，可得，则，故.故答案为：1，.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是运用转化思想和构造函数，结合导数判断函数的单调性和最值.11（2020天津和平区高三一模）已知函数，则_；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为_.【答案】81 【分析】（1）利用分段函数解析式求出，再根据对数、指数的运算法则计算可得. （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数的取值范围.【

10、详解】解：由，则，所以.作出函数在区间上的图象，如图所示， 设，由图象可知要使方程在区间有3个不等实根，则直线应位于与之间或直线的位置，所以实数的取值范围为或.所以，或，故答案为：；.【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.B组 能力提升12（2021全国高三其他模拟）(多选题)设函数，其中是自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）A函数在定义域上单调递增B若，则或C若，则D函数是定义域为的奇函数【答案】ACD【分析】根据函数的奇偶性的定义判断出函数是奇函数，再求导，由基本不等式可得出导函数的符号，判断出函数的单调性，由此可得选项.【详解

11、】函数的定义域为，所以函数为奇函数；又，所以在定义域上单调递增，所以，等价于，所以，解得，故选：ACD【点睛】方法点睛：在判断函数的单调性时，常采用求其导函数，分析导函数的正负，得出函数的单调性，再结合函数的奇偶性求解不等式.13（2021全国高三其他模拟）（多选题）已知函数，则（ ）A若在上单调递增，则B若函数，则为奇函数C时，若函数，则的取值范围是D若函数不存在零点，则 【答案】BD【分析】对于A，举反例进行判断；对于B，先求出函数的定义域，再利用奇形怪状偶性的定义判断即可；对于C，由题意可得从而可求出的取值范围；对于D，令，当时，构造函数，利用导数求出其单调区间，再画出函数的大致图像，由

12、图像可得答案【详解】当时，在上单调递增，故A错误；，定义域，且，故B正确；当时，或，故C错误；令，则当，则不成立，当，则，设，则，在单调递增，在单调递增，在单调递减，的大致图象如图所示，若函数不存在零点，则，故D正确，故选：BD【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性、函数的零点本题以函数为载体，要求考生掌握函数的单调性、奇偶性、零点、对数不等式的解法和分式不等式的解法，体现了数学运算和逻辑推理的核心素养，解题的关键是熟练应用函数的单调性、奇偶性和函数的零点的性质，属于中档题14（2021辽宁高三其他模拟）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则下列说法正确的是（ ）A在区间上单调递减B在

13、区间上单调递增C当时，函数有两个不同零点D有两个极值点【答案】AD【分析】根据时，解析式，利用导数求得其单调递减区间，根据的奇偶性即可判定A、B的正误；在同一坐标系种画出与的图象，数形结合，即可判定C的正误；根据的图象，即可判定D的正误，即可得答案.【详解】当时，,令得,时,所以在区间上单调递减,再根据奇函数知在区间上单调递减，故A正确;因为,所以在区间单调递减，故B错误;因为又为奇函数，所以,如图与有两个交点,则-且,故C错误;函数的两个极值点为土，故D正确.故选：AD【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的应用等知识，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.15（

14、2021辽宁高三二模）若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）ABCD【答案】ABD【分析】构造函数，利用导数可得函数在上单调递减，由可推得A正确，由可推得B正确，当时，作差比较可知C错：作差，利用换底公式变形，再根据基本不等式判断符号，可得D正确.【详解】对A，令，则，当时，所以函数在上单调递减，因为，所以，所以，所以，所以，故A正确；对B，由A知，函数在上单调递减，因为，所以，所以，即，即，所以，所以，故B正确：对C选项，当时，故C错：对D，因为，所以，所以，即，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于AB，构造函数，利用函数的单调性比较大小是解题关键；对于D，作差，利用基本不等式放

15、缩后，比较大小是解题关键.16（2021四川绵阳市高三三模（文）已知函数.（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得在恒成立，再分和两种情况讨论，即可得解；（2）易知在上单调递增，再根据零点存在性定理可得存在，使得，即可得到在单调递减，在单调递增，即可得证.【详解】解：（1）由，得.函数在定义域内为增函数，在恒成立.当时，满足题意；当时，设.易得，函数在上为增函数，即与矛盾.综上，实数的取值范围为.（2）易知在上单调递增，又，存在，使得，即，.当时，当时，函数在单调递减，在单调递增.【点

16、睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理17（2021云南昆明市高三二模（文）已知函数，.(1)若，求的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)对函数f(x)求导，按导函数值恒正、恒负、可正可负三类讨论，求解得a的范围；(2)利用分析法把要证不等式等价转化为，再构造函数，利用函数单调性推理得证.【详解】(1)，当时，函数在单调递增，故，满足题意；时，函数在单调递减，故，不满足题意；时，令，在上存在，使得成

17、立，故时，在单调递减，则，不满足题意，综上：的取值范围是；(2)时，要证，即证，即证，设，则，由(1)得，而，即，在单调递增，所以，时，.【点睛】(1)由不等式成立，求参数范围，可以分离参数，转化为恒成立问题；也可以求导，再对参数分类讨论处理.(2)证明函数不等式，通过等价转化，构造新函数，利用函数的性质解决.18（2021甘肃高三二模（文）已知函数，.（1）求函数的图象与直线围成区域的面积；（2）若对于，且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）作出函数的图象与直线，得到围成的区域是，根据三角形的面积公式计算可得结果；（2）根据基本不等式求出的最大值，将恒成

18、立转化为最大值可得，再分类讨论去绝对值可求出结果.【详解】（1）由与围成的区域是，如图所示，其中，所以，到直线的距离为3，故所求面积为.（2）因为，且，所以，即，若不等式恒成立，则有，即，解不等式，可得或或，解之得或，所以实数的取值范围为.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若在上恒成立，则；若在上恒成立，则；若在上有解，则；若在上有解，则.19（2021全国高三其他模拟）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1），分，两种情况，根据二次函数的性质,利用判别式结合函数的定义域，由导数的正负判断

19、；（2）将证明，转化为证然后令， ，用导数法证明.【详解】（1），若，则，函数在上单调递减.若，则二次函数的判别式，当，即或时，若，则，等号不恒成立，函数在上单调递增；若，则，等号不恒成立，函数在上单调递减.当，即且时，令，即，此时，若，则，此时恒成立，函数在上单调递减；若，则，当时，当时，当时，即函数在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.（2）要证，即证.记，则，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以.令，则，所以在上递减，则，即恒成立，所以恒成立，故.【点睛】方法点睛：判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f(x)的符号问题