广东省惠州市左潭中学高三数学文期末试题含解析

1、广东省惠州市左潭中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥SABC的体积为（）ABCD参考答案：D【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由条件：SOAB为棱长为3的正四面体，由此能求出SABC的体积【解答】解：球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，由条件：SOAB为棱长为3的正四面体，其体积为=，同理，故棱锥SABC的体积为故选：D【点评】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的表面积的求法

2、，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题2. 一个四棱锥与半圆柱构成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A. 16+8B. 16+12C. 48+12D. 48+8参考答案：B【分析】根据三视图作出直观图，算出组合体的体积为半圆柱和四棱锥的体积，进而求解【详解】由图得，可知半圆柱，四棱锥该几何体的体积答案选B【点睛】本题考查组合体的三视图体积的计算，属于简单题3. 抛掷红、蓝两颗骰子，当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是（）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】利用列举法求出当红色骰子的点数为偶数时，有18种，其

3、中两棵骰子点数之和不小于9的有6种，由此能求出当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率【详解】抛掷红、蓝两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表蓝色骰子，当红色骰子的点数为偶数时，有18种，分别为：（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），其中两棵骰子点数之和不小于9的有6种，分别为：（4，5），（4，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子

4、的点数之和不小于9的概率是P故选：C【点睛】本题考查古典概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4. 若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D4参考答案：C考点：简单线性规划的应用 专题：数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可解答：解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3故选C点评：本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题5. 为提高

5、信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，例如原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）A11111；B01110；C11111；D00011参考答案：C6. 设，则（ ）A.B.C.D.参考答案：【分析】本题是一种十分常见的考核方法，即数大小的比较，这类型问题处理方法主要有两种：（1）利用函数单调性解决数的大小比较；（2）利用对数指数函数的函数值的大小，与“分界点”进行比较，得到结论。本题则需要使用方法（2），使用十分常规的“分界点”

6、0和1,。这类型问题在近些年趋向于复杂，不单单只考核对数和指数，又是还会结合一些特殊的三角函数，例如，等；另外，也会出现一些不是0和1的“分界点”，如判断和的大小时，选择分界点才可以做出（）。【解】B.对于，则；对于，则；对于，则，那么可得，那么，故选B.7. 设集合，则（ ）A B C D参考答案：A8. 已知 为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部，若数列的前项和为，则( )A B C. D参考答案：C由题意得，当时，又 ，故当时，当时，选C 9. 若点在角的终边上，且的坐标为，则等于参考答案：10. 设A =(x, y) | x y = 6，B = (x, y) | 3x + 2

7、y = 7，满足的集合C的个数为（）A0 B1 C2 D4参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），若，则满足条件的点的个数为_；若满足的点的个数为，则的取值范围是_ 参考答案：， .12. 根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果T为 ；参考答案：10，算法完成两次循环，依次是x3，T3; x7，T10，即可输出T的输出值为1013. 若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .参考答案：14. 已知是奇函数,且,若,则_ 参考答案：-115. 若，则 参考答案：1略16. 设ABC的三个内角A、B、C所对的

8、三边分别为a, b, c，若ABC的面积为S = a2(bc)2，则= . 参考答案：4易知：，又S = a2(bc)2= ，所以，所以=4.17. 已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为 参考答案：，即，即故答案为三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若，求a的取值范围.参考答案：(1) 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(2) 【分析】（1）当时，判断其正负号则单调性可求；（2）法一：由（1）得进而，放缩不等式为当时，构造函数求解即可；法二：分离a问题转化为，求最值即可求解【详解】（1）函数定义

9、域为， 当时，令，则，因为在上单调递增，且，所以当时，；当 时，；所以在上单调递减，在上单调递增所以，即，仅当时取等号. 所以当时，；当时，；所以的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）解法一.由（1）知，所以当时，得， 当时，令，由（1）知，所以，满足题意. 当时，不满足题意. 所以的取值范围是. 解法二：由（1）知，所以当时，得， 由，得，问题转化为， 令，则， 因为，（仅当时取等号），所以当时，；当时，；所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以， 所以的取值范围是.【点睛】本题考查导数与函数的单调性，导数与函数最值，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，是中档题19. 已知函数.（1）若

10、函数在上是减函数，求实数a的最小值；（2）若存在，使成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出导函数的最大值，从而求出的范围即可； （2）问题等价于当时，有，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可【详解】解：已知函数的定义域为.(1)因为在上为减函数，故在上恒成立，即当时，.又，故当，即时，.所以，于是，故的最小值为.(2)命题“若存在，使成立”等价于“当时，有”.由(1)知，当时，所以.故问题等价于：“当时，有”当时，由(2)知，在上为减函数，则，故.当，时，由(1)知，函数在上是减函数，所以，与矛盾，不合题意.

11、综上，得实数a的取值范围.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题20. 数列an的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列bn满足，.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设，数列cn的前n项和为Tn，证明：.参考答案：(1) ， (2)见解析【详解】试题分析：（1）由题中所给条件得，即，这是前项和与项的关系，我们可以利用把此式转化为数列的项的递推式，从而知数列是等比数列，通项易得，这样等差数列的，由基本量法可求得等差数列的通项公式；（2）数列是由等差数列相邻两项相乘后取倒数所得，其前项和应该用裂项相消法求得，而当求得后，所要证的不

12、等式就显而易见成立了（1）是和的等差中项，当时，当时， ，即数列是以为首项，为公比的等比数列，设的公差为，（2）,考点：（1）已知数列前项和与项的关系，求通项公式，等差数列、等比数列通项公式；（2）裂项相消法求和与不等式21. 已知函数（）.若是的极值点.（I）求,并求在上的最小值；（II）若不等式对任意都成立，其中为整数，为的导函数，求的最大值.参考答案：（I），由是的极值点，得，.易知在上单调递减，在上单调递增，所有当时，在上取得最小值2.（II）由（I）知，此时，令（），（）令，在单调递增，且，在时，由，又，且，所以的最大值为2.22. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

13、已知a=4，sin2A=sinC（1）若b=5，求ABC的面积；（2）若b8，证明：角B为钝角参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】（1）由二倍角的正弦公式和正弦定理、余弦定理，解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算可得结论；（2）运用二倍角的正弦公式和正弦定理，2acosA=c，A为锐角，由正弦定理可得c=acosB+bcosA，再由不等式的性质可得cosB0，可得B为钝角【解答】解：（1）a=4，sin2A=sinC，可得2sinAcosA=sinC，由正弦定理可得2acosA=c，即有cosA=，b=5，由余弦定理可得16=25+c210ccosA，即有c=6，可得cosA=，si