幂函数 课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1、高中 数学 人教A版（2019） 必修 第一册第三章 函数概念与性质3.3 幂函数 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = _w 元(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = _(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = _ (5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=_是_的函数a a V是a的函数t km/s v是t 的函数我们先来看几个具体的问题:(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长_a是S的函数以上问题中的函数具有什么共同特征?思考:Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1_是_的函数Sa他们有以下共

2、同特点：(1)都是函数；(3) 均是以自变量为底的幂；(2) 指数为常数.一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，为常数。定义:注意:幂函数的解析式必须是y = 的形式， 其特征可归纳为“系数为，只有项” 式子 名称常数 x y指数函数: y=a x（a0且a1) 幂函数: y= x a为底数指数为指数底数幂值幂值幂函数与指数函数比较判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数判断下列函数是否为幂函数.(1) y=x4 (3) y= -x2 (5) y=2x2 (6) y=x3+2 判一判（指数函数）（幂函数）（指数函数）（幂

3、函数）快速反应（指数函数）（幂函数）提高训练 已知函数 是幂函数,并且是偶函数，求m的值。练习1：范例讲解下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究 y=x幂函数的图像作出下列函数的图象:幂函数的图像 x-2-1012 y=x-2-1012 幂函数的图像定义域：值 域：奇偶性：单调性：幂函数的图像 x-2-1-1/201/212y=x2411/401/414幂函数的图像 x-2-1-1/201/212y=x2411/401/414 x-3/2-1-1/201/213/2y=x3-27/8-1-1/801/8

4、 127/8幂函数的图像 x-3/2-1-1/201/213/2y=x3-27/8-1-1/801/8 127/8幂函数的图像x01/91/414901/31/2123幂函数的图像x01/91/414901/31/2123幂函数的图像x-3-2-1-1/2-1/31/31/2123-1/3-1/2-1-2-33211/21/3幂函数的图像x-3-2-1-1/2-1/31/31/2123-1/3-1/2-1-2-33211/21/3幂函数的图像幂函数的图像可以看出，常函数y=1的图像比幂函数y=x0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y=1不是幂函数.在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有

5、什么关系?在第一象限内，当a0时，图象随x增大而上升。当a0时，图象随x增大而上升。当a0时,图象还都过点(0,0)点 y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定义域值域奇偶性单调性 公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）在R上增在（-，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在R上增在0，+）上增，在（-，0上减,在0，+）上增，在(0，+)上减在第一象限内，当a0时，图象随x增大而上升： 若a1时，图象随x增大是下凸上升（快增）； 若0a1时，图象随x增大是上凸上升（慢增）；当a0时,图象还都过点(0,0)点.所有的幂函数在(0,+

6、),都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);a10a1a0a=1a=0一般幂函数的图像和性质(1) 所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图象都通过点(1,1);(2) 如果，则幂函数图象过原点，并且在区间0,+)上是增函数；(3) 如果，则幂函数图象在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；(4) 当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数幂函数的性质从而有 是幂函数，且在区间（0，+）内是减函数.例1.如果函数是幂函数，且在区间（0，+）内是减函数，求满足条件的实数m的值.解：

7、由题意有范例讲解例2. 利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 (3)解:(1)y= x0.8在(0,)内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,)内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在(0,)内是减函数2.52.7-2/5a10a1a10a1a10a1a0a=1a=0提高训练练习3 如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象限内的图象，已知 a分别取 四个值，则相应图象依次为:_ 一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x =1之间正好相反。 C4C2C3C11提高训练证明幂函数 在0，+）上是增函数.复习用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1x2;(2). 作差 f(x1)f(x2)，变形 ;(3). 判断 f(x1)f(x2) 的符号；(4). 下结论.例3证明:任取所以幂函数 在0，+）上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 0，+）,且x1 x2 ； 证明幂函数 在0，+）上是增函数.(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。(2)作商法:证明时