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文档简介
1、一维M形势垒透射系数的计算与分析摘要摘要:构建了一维M形势垒的模型,探讨了微观尺度下M形势垒结构中电子的势垒贯穿问题.通过求解薛 定谔方程给出了透射系数的表达式,数值分析了透射系数随入射电子的能量、势垒高度和宽度的变化情况,并系统 地比较了 M形和方形势垒的透射系数.关键词:M形势垒 薛定谔方程 透射系数1 引言在经典力学的范畴,宏观物体不能跨越比其动 能大的势垒,该类经典力学案例最常见的有两种,其 -,小球克服重力势能跨越斜木板问题:斜木板顶端 和底端的重力势能差大于小球初始动能时,从底端 出发的小球不可能跨过斜木板;其二,带电粒子克服 电势能跨越电容器的两个极板问题:电容器两极板 的电势能
2、差值大于带电粒子的初始动能时,从极板 低电势能一端出发的带电粒子不能到达另一极板. 从上面两个案例可知经典力学表现出很强的因果定 律,在力的作用下,物体具有决定性的运动状态.但 是同样的两个案例,如果将物体的尺寸都减小到微 观领域纳米量级,经典力学的决定性结果将不再成 立.这时物体变成微观粒子,波粒二象性的特征非常 显著,其运动状态服从量子力学中波函数描述的结 果,并可能导致与经典力学完全相违背的结果出 现即:微观物体能够贯穿比其动能大的势垒,这 种势垒贯穿现象在量子力学领域被称为隧道效应. 隧道效应在显微技术领域具有相当重要的应用价 值,催生了扫描隧道电子显微镜的诞生针对势垒 贯穿问题,很多
3、教材和文献都进行了讨论,最典型的 有量子力学教材中方形势垒的贯穿问题此外, 文献3(分析了一维多个位势结构的透射系数,并 对其中的谐振隧穿现象进行了讨论;文献4(计算 了一维梯形势垒的透射系数,并讨论了透射系数随 势垒斜率的变化;文献5(计算了一维三角形多势 垒结构的共振透射系数.上述研究从不同结构出发, 对一维体系的势垒贯穿现象进行了分析和讨论.基 于上述研究结果,本文设计了一维M型势垒结构, 该结构对应着部分量子点内部的势能分布情况,当 微观粒子(如电子)透过M形势垒时,其透射系数的 分析对其电导和输运特性非常重要,因此本文利用 薛定谔方程对电子通过M形势垒时的透射系数进 行了求解和数值分
4、析.2 理论模型和求解一维M形势垒的模型如图1所示.考虑电子从 势垒的左边入射,M形势垒的宽度为+高度为U+. 将整个势垒分为4个区域:I区& + 0),口区 (0. & + 22),% 区. +), & 区 & a). 根据模型图,M形势垒的空间分布函数可表示为则I区电子波函数的通解可表示为U(&)=U+ fxfx U 0(1)上式中f = U.a$i (x) #3 | ef + B | elkx式(5)中$| (x)的下标I表示波函数的取值范围 在I区,下文波函数的表示方法均类似,3|和B| 为波函数的待定系数,3 | e 表示I区向x正方向 运动的电子的波函数,即电子的入射波函数& B
5、| ekx表示I区向x负方向运动的电子的波函数, 即电子的反射波函数.同理,&区电子的波函数可 表示为(5)图1 M形势垒的模型图从经典力学的角度,当电子的能量E小于势垒 的高度U。,则电子不能到达势垒的$,%,&区.但 是经典力学只能求解宏观粒子低速运动问题,对于 微观粒子,应该用量子力学方法求解.式(1)中势能 分布与时间无关,反映微观粒子全部运动状态的波 函数满足一维定态薛定谔方程1*d*$(x)+u(x)$(x)= E$(x)(*)*mKx(x) # 3& e,fa +B&ex上式中3&和B&为&区电子波函数的待定系数, 3&e ikx表示&区向x正方向运动的电子的波函数, 即透射后电
6、子的波函数;B&ex表示&区向x负方 向运动的电子的波函数.由于电子是从左边入射,到 达右边&区后不会再有反射,所以&区的电子只 能向右运动,因此B& =0.在$区,电子的波函数满足d2$n (x) + (Uo &)$ (&)=(x)* mf 3 &=()(6)(7)d*$d*$(x)=E$(x)(3)(8)(9)式中%为电子的有效质量,为普朗克常量E为电 子的本征能量,$(&)为属于本征能量E的本征波 函数.这里为了简便,忽略势垒对电子有效质量的影 响,默认电子的有效质量为其静止质量,m = 9.1 X1031 kg.接下来在每个势垒区列出定态薛定谔方程,并 分别进行求解.在I区和&区,电子
7、的波函数均满足(=& (Uo E #)式(7)可简化为旦-$(Q=。上式为Airy方程$5,6%,其解为第一类艾里函数Ai(Q 和第二类艾里函数Bi ()的线性组合$()=3$ Ai ()+B$Bi ()式中3$和B$为$区电子波函数的待定系数. 在区,电子的波函数满足(f) + Uo)$% (x)=(10)E$% (x)(10)式(3)可简化为* + k*$( x)#0(4)_ & (fx Uo E) s =&9+ -E)式(10)亦可简化为Airy方程u = Ai u = Ai | )o=Bi(| )u = Ai( | )8=Bi(| )d%y)-狎%()=0(11)则区电子的波函数可表示
8、为Ai()和Bi()的线 性组合() =Aih Ai()+B%Bi()(12)式中A%和4%为区电子波函数的待定系数.上面已经求完4个势垒区波函数的通解,随后 根据波函数的连续性条件得出待定系数间的关系, 并求出透射率.波函数有3个边界,分别在&=0点 =对应& =a时(的取值,根据对比有=(|c = Ai(n )c = A8 Ch )式(13)(18)可分别简化为+2,& = +处.在& =0处,根据波函数及其一阶导数A | + B | = uA $ +)B $ikA | ikB | = K)fA $ k)iB $(19)20)连续,有! cA $ + dB $ = cA % + dB %2
9、1)A| +Bi=A$ Ai Ci)+Bn Bi -)13) c8A $ d8B $ = c8A % + d8B %22)A | B | =Ai? e ik+ uA % +)B hi23)KAn Ai| )kB$ Bi Ci)14)kA iv ika =kuA% +k)B%24)上面两式中利用 乘以式(23)再减去式(24)得(25)A % = *B %(25)对应& =0时变量的取值.Ai(-)和Bi(| )分别上式中表示第一类和第二类艾里函数的一阶导数在&处Ai (Ai ()W %A a8 )Bi () _ 1Bi)的取值.在&=2处,根据波函数及其一阶导数连 续,有An Ai CQ+Bh
10、 Bi ($) =A% Ai (n)+B%Bi ( )(15)&A $ Ai $ ) &B $ Bi ( n )=&A I% Ai ( ($ ) + &B % Bi ( ($ )(16)在式(15)和(16)中n = (n = &* = &) $ ka将式(25)代入式(23)得R &u_B % ,/ 、B A iv K ( & U )+e赫AIv(26)K上式中利用了艾里函数的性质:对于任意的变量艾里函数满足朗斯基行列式对应&=2时变量和(的取值.在& =+处,根据即有波函数及其一阶导数连续,有Ai?e 遍=A% Ai(i)+B% Bi(| UoE=U0E 7) B % (28) 利用8乘以
11、式(21)再加上式(22)得d TOC o 1-5 h z 3$ = ( cd c + cd ) A % + 2ddB %(29)利用 乘以式(19)再加上式(20)得2iA | = +A $ *B $(30)将式(28)和(29)代入式(30)得2A | =+ ( cd! + cd ) A % + 2ddB % % +* $2 ccA % +( cdf + cd ) B % %(31)将式(26)和(27)代入式(31),并整理公式可得A-v = 1A |2 cc* + d da 2 ( cd + cd ) a*由式(32)可得M形势垒电子的透射系数丁 A-v 2?= A1| cc * +
12、d da 2 (cd + cd ) a* 2 对于宽度为+高度为9的方形势垒,透射系数的表达式为$%一,2)2 sin2(+) +,22?=?4 + 2 ! 24目222 +目2)2 sinh2(+) +4研上式中(=$2%(E U+)$2%(Uo E)(=3数值计算与分析基于式(33)和(34),下面通过数值求解画出透 射系数随入射电子的能量、势垒的高度和宽度的变 化图像.图2给出透射系数随电子能量的变化,其中势 垒高度Uo =1.0 eV,势垒宽度a =0. 8 nm.实线M 形势垒的结果显示:当电子的能量为0.68 eV时,透 射系数为1,此时电子发生了谐振隧穿,M形势垒相 对电子的运动
13、来说是透明的;在谐振隧穿前,透射系 数会随电子能量的增加而增加;在谐振隧穿后,透射 系数随电子能量的增加会有个减小的过程.虚线方 形势垒的结果给出,只有电子的能量大于势垒的高 度1.0 eV时,方形势垒才会出现谐振隧穿.这意味 着M形势垒比方形势垒更方便电子谐振隧穿,因为 M形势垒比方形势垒中间多了个V形势阱,所以能 在入射电子的能量小于势垒高度时就发生谐振隧 穿.图2结果还显示,即使入射电子的能量大于势垒 的高度,M形和方形势垒电子的透射率也可能小于 1,只有当入射电子的能量远远大于势垒的高度时, 透射系数才会一直接近于1.图2 透射系数随电子能量的变化图3给出透射系数随势垒高度的变化,其中
14、入 射电子的能量E = 1. 0 eV,势垒宽度a =0. 8 nm. M 形势垒的结果显示,在U0 =1.97E时电子会发生谐 振隧穿,在谐振隧穿前,随着势垒高度的增加透射系 数先减小后增加,在谐振隧穿后,透射系数随势垒高 度的增加单调下降,直到透射系数接近于零.图3 透射系数随势垒高度的变化对比图3中M形势垒和方形势垒的结果,可发现:在U0 0. 66E时,M形势垒的透 射系数一直比方形势垒的更大,这说明在低势垒区, 电子更容易透射方形势垒,而在高势垒区,电子更容 易透射M形势垒.图4给出透射系数随势垒宽度的变化,其中入 射电子的能量E = 1.0 eV.不同小图中,势垒的高度 U0不同.
15、结果显示U+ =0. 8E时,无论M形势垒还 是方形势垒,透射系数随着势垒宽度的增加都近乎 呈现周期性的谐振隧穿,且最小透射系数大于0.5; U+ =-时,随势垒宽度的增加,方形势垒的透射系数 迅速单调下降,但M形势垒的透射系数还是近乎周 期性地呈现谐振隧穿,再次反映M形势垒相比方形 势垒更容易发生谐振隧穿;在U+ #1. 5E和U0 =2E 时,M形势垒的透射系数发生谐振隧穿的次数相比 U0 =E时减少很多,且透射系数的部分峰值已经小 于1,对应着没有谐振隧穿产生;在U0=4E时,M形 势垒中虽然有透射峰的出现,但已经不会出现谐振 隧穿;在U+ =5E时,更是连透射峰都消失了,透射 系数随势
16、垒宽度的增加迅速单调衰减至零.上述结 果表明,势垒高度与电子的能量差不多大时,M形 势垒中才容易出现谐振隧穿,随着势垒高度的增加, M形势垒中发生谐振隧穿的次数会越来越少,直至 没有谐振隧穿产生.10.80.20.60.40246810a/nm0(d) U0=2E0.80.60.40.2U0=4EM形势垒 方形珈垒0246810a/nm(e) U0=4E0.80.60.40.2U0=Q.8EM形势垒方形势垒0M形势垒方形势垒246810a/nm(f) U0=5E透射系数随势垒宽度的变化(a) U,=0.SEa/nma/nm(b) U0=E4 结论本文构造了一维M形势垒的模型,基于薛定谔 方程的求解,给出了 M形势垒中透射系数的表达 式,并数值分析了透射系数随入射电子的能量、势垒 高度和宽度的变化情况.结果表明,在势垒高度不变 时,达到谐振隧穿前,透射系数会随入射电子的能量的增加而增加,且当电子的能量小于势垒的高度时, M形势垒中依然会出现谐振隧穿.在入射电子
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