两条直线的交点

1、第一章坐标、点和直线本章在两维空间里使用坐标来描述点和直线。学完本章后，你应该能够：求两点间的距离求给定了端点坐标的线段的中点求给定了端点坐标的线段的斜率在给定直线斜率和直线上一个点的情况下，求直线方程求通过两点的直线的方程根据其方程的不同形式来区分直线求两直线的交点根据直线斜率判断它们是否平行或垂直1.1两点间的距离选定原点，画一条水平向右的x 轴和竖直向上的 y 轴，并确定 x 轴和 y 轴上的刻度，这样就建立了一个坐标系。我们把这样的坐标系称为 笛卡儿坐标系 ，按法国数学家 ReneDescartes来命名，他生活在 17 世纪。在图 1.1 中，点 A 的坐标为4,3 ， B 的坐标为

2、 10,7 。直线 AB 在 A 点和 B点间的部分叫做 线段，该线段的长度就是这两点间的距离。1在图 1.1 中添加第三个点 C ，构成一个直角三角形。可以看到， C 点的 x - 坐标与 B 点相同、 y -坐标与 A 点相同，即 C 点的坐标为 10,3 。可以很容易看到， AC 的长度为 1046 ， CB 的长度为 734 。在三角形 ABC 中使用毕达哥拉斯定理，可得线段AB 的长度为：10272624236165243如果需要的话，可以使用计算器得到7.21 ，但通常将结果记为 52 会比较好。坐标几何学的概念是使用代数的方法，这样你可以进行类似的计算，A 和B 可以是任意点，而

3、不仅仅是图1.1 中的特定点。通常使用符号是很有帮助的，一看就能知道这些符号表示的坐标代表的是哪个点。其中一个方法是使用下标，把第一个点的坐标表示为x1 , y1 ，第二个点的坐标表示为x2 , y2 。所以，比如x1 就代表了第一个点的x -坐标。图 1.2 给出了这个一般三角形，可以看出，此时C 点的坐标为x2 , y1 ，所以 ACx2 x1 ， CB y2y1 ，根据毕达哥拉斯定理可得AB22x2 x1y2 y1使用代数方法的一个优点是无论三角形的形状和位置如何，该公式都有效。在图 1.3 中， A 点的坐标是负的， 在图 1.4 中，沿图形从左边往右边移动时，2直线向下倾斜而不是向上

4、。你可以使用图1.3 和 1.4 来得到每种情况下AB 的长度，然后使用公式来验证结果。在图 1.3 中，x2x132325且y2y151516所以AB3221262253661552在图 1.4 中，x2x1615且y2y12533所以AB62222 522 593 4153同样，你标注点 A 和 B 的顺序是没有关系的，如果你认为点B 是“第一个点”x1, y1 ，点 A 是“第二个点”x2 , y2，则公式是不变的。对于图1.1，则为BA4232223 61 65 21 0764和前面一样。点 x1, y1和点 x2 , y2之间的距离（或连接两点的线段的长度）是x22y2 y12x11

5、.2线段的中点你也可以根据坐标来找出一条线段的中点。图 1.5 给出了和图 1.1 相同的线段，但是添加了中点 M 。通过 M 点平行于 y 轴的直线和 AC 相交于点 D 。则三角形 ADM 的边长是三角形 ABC 边长的一半，所以A D1AC 110 4163222D M1CB17 3142222点 M 的 x -坐标和点 D 的 x -坐标相同，为4AD 411044372点 M 的 y -坐标为13DM3733252所以中点 M 的坐标为7,5 。4在图 1.6 中，点 M 和 D 以同样的方式添加到图1.2 中，和前面完全一样。AD1 AC1x2x122DM11y2y1CB22所以

6、M 点的 x -坐标为111x1 AD x1 2x 2 x1 x1 2x2 2x11112x12 x 22x 2x 1M 点的 y -坐标为y1 DM y 11y21 y11y22112 y 1y1 2y2 2y121 y2y 125连接点x1 , y1 和点 x2 , y2 的线段的中点的坐标为1x1x2, 1y1 y222既然已经得到了中点M 的坐标的代数形式，则可以把它运用于任意的两个点。例如，对于图1.3， AB 的中点为12311511412,21 , 2222对于图 1.4，为 11 6 ,15 217, 173 1, 31。222222同样，你认为哪个点是第一个，哪个点是第二个是

7、没有关系的。在图1.5中，如果取x1, y1为 10,7 ， x2 , y2为4,3 ，你会发现中点是1 104 , 1737, 5 ，和前面一样。221.3线段的斜率斜率是对直线陡峭度的测量，直线越陡，斜率越大。与距离和中点不同， 斜率是整条直线的性质， 而不仅仅是一条特定的线段。取直线上的任意两点，求出从一个点到另一个点的 x -坐标和 y -坐标的增量，如图 1.7，则无论你选择哪个点，下面分数的值是相同的，step x step这就是直线的 斜率。6在图 1.2 中， x step和 ystep分别为 x2x1 和 y2y1，所以：通过点 x1, y1和 x2 , y2 的直线的斜率为

8、 y2y1x2x1无论坐标是正，还是负，该公式都使用。例如，在图1.3 中， AB 的斜率为5151632325但是请注意在图 1.4 中，斜率为 2533 ；负的斜率说明当你沿图像6155从左边移到右边时，直线是向下倾斜的。和其它的公式一样，哪个点下标为1，哪个点下标为2 是没有关系的。在图 1.1 中，可计算斜率为7342，或 3742 。1046341063如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的。例一条线段的两个端点的坐标为pq, pq 和pq, pq ，求线段的长度，斜率和中点的坐标。对于长度和斜率，需要计算x2x1p qp q p q p q 2q和 y2y1p qp q p q p

9、 q2q7则长度为：22224 2 q 4 2 q82 qx2 x1y2 y12 q2 q斜率为：y2y12qx2x112q对于中点，需要计算x1x2p qp q p q p q 2 p和y1y2p qp q p q p q 2 p则中点为：1x1x2, 1y1 y212 p , 1 2 pp, p2222尝试自己画出图形来说明该例子中的结论。例证明点 A 1,1 ， B 5,3 ， C 3,0 和 D1, 2 构成一个平行四边形。你可以使用多种方法来解答这个问题，但是无论你使用哪种方法，画图都是值得的，如图1.8 所示。8方法 1（使用距离）在这种方法中，求对边的长度，如果两对对边的长度都是

10、相等的，则ABCD 是一个平行四边形。AB52312120DC31202202CB52302313DA11212132所以 ABDC ， CBDA ，所以 ABCD 是一个平行四边形。方法 2（使用中点）在该方法中，首先找出对角线AC和BD的中点。如果两个点相同，则两条对角线互相平分，四边形为平行四边形。AC 的中点为：113 ,11 0，即2,1222BD 的中点为：151,132 ，也是 2,1222所以 ABCD 是一个平行四边形。方法 3（使用斜率） 在这种方法中，找出对边的斜率，如果两对对边是平行的，则 ABCD 是一个平行四边形。 AB 和 DC 的斜率分别为：3121022151

11、42和142393所以 AB 平行于 DC 。 DA 和 CB 的斜率都是，所以 DA 平行于 CB 。因为对边平行，所以ABCD 是一个平行四边形。1.4直线或曲线的方程的含义怎样判断点3,7 和 1,5 是否在曲线 y3x22 上呢？答案是把点的坐标代入曲线方程，看是否符合方程。也就是，方程能否满足点的坐标。对于 3,7：右边为332229，左边为，方程不满足，所以点3,7不7在曲线 y3x22 上。对于 1,5：右边为3225，左边为，所以方程满足。点1,5在曲15线 y 3x22 上。直线或曲线的方程是判断坐标为x, y 的点是否在该直线或该曲线上的标准。这是运用直线或曲线方程的一个重

12、要方式。1.5直线方程例求斜率为 2 且通过点2,1 的直线的方程。图 1.9 给出了斜率为 2，且通过点 A 2,1 的直线。直线上的另10外一个点是 P x, y 。当（当且仅当）AP 的斜率为 2 时， P 点位于直线上。AP 的斜率为 y1 ，令其等于 2 可得：x2y1x22即y12x4或y 2x 3一般情况下，需要求斜率为m ，且通过坐标为 x1 , y1的点 A 的直线的方程。图 1.10 给出了该直线，以及直线上的另外一点P ，坐标为 x, y 。 AP 的斜率为 yy1 ，令其等于 m 可得 yy1m ，或 y y1m x x1。xx1xx1通过点x1, y1 ，斜率为 m

13、的直线的方程为yy1m xx1 。11可以看到 A x1 , y1 的坐标满足该方程。例求通过点2,3 ，且斜率为1的直线的方程。使用方程 y y1m xx1 ，可得：y 31 x2即 y3x 2 或 yx1。验证该结果，把坐标2,3 代入方程的两边，证明给定的点确实位于直线上。例求通过点3,4 和1,2 的直线的方程。要求得方程，首先找出通过点3,4 和1,2 的直线的斜率，然后使用方程 yy1m xx1 。通过点 3,4和1,2的直线的斜率为：24211342通过点3,4 且斜率为 1 的直线的方程为：2121y4x32乘开并化简可以得到：2y8x3 ，或2 yx5把另外一个点的坐标代入可

14、以验证该方程。1.6识别直线方程例题的答案都可以写成ymxc 的形式，其中 m 和 c 是数字。可以很容易看出任何具有这种形式的方程都是一条直线的方程。如果ymxc ，则 y cm x0 ，或yc0 时例外）xm （当 x0该方程说明，对于所有的坐标满足方程的点x, y ，连接 0,c 和 x, y 的直线的斜率为 m ，即 x, y位于一条通过点 0,c，斜率为 m 的直线上。点 0,c 位于 y -轴上，数字 c 叫做直线的 y -截距 。要找出 x -截距，令方程中 y 0 ，可得 xc ，但是需要注意，如果 m 0m则不能做该除法，在这种情况下，直线与x -轴平行，所以 x -截距不存

15、在。当 m0 时，直线上所有的点的坐标都是something, c 的形式。所以点1,2，1,2， 5,2， 都位于直线 y2 上，如图 1.11 所示。作为一个特殊情况，x -轴的方程为y 0。13类似地，平行于 y -轴的直线的方程的形式为x k ，直线上的所有的点都有坐标 k, something 。所以点 3,0， 3,2 ， 3,4，都位于直线 x 3 上，如图 1.12 所示。 y -轴自身的方程为 x0 。直线 xk 的斜率不存在；它的斜率没有定义。它的方程不能写成mx c 的形式。1.7方程 axbyc0假如你得到了方程y2 x 4 ，很自然要乘以 3 得到 3 y 2x 4

16、，可以重新33排列为 2x3y40 ，则方程的形式为axbyc0 ，其中 a ， b 和 c 为常数。注意到直线ymxc和 axbyc0 都包含字母c ，但是它们的含义不14同。对于 ymxc ， c 是 y -截距，但是 axbyc0 中的 c 没有这种含义。找出 axbyc0 的斜率的一个简单方法是重新排列方程，写成 y.的形式，下面是一些例子。例求直线 2x3y40的斜率。把该方程写成y.的形式，然后根据ymxc 的斜率是 m这一事实求解。由 2x 3y 4 0 可得：3 y2x4即y2 x433所以，对比该方程和 ymxc ，斜率为2 。3例平行四边形的一条边位于方程为3x4 y70

17、的直线上，点 2,3 是平行四边形的一个顶点，求另外的一条边的方程。直线 3x 4 y 70 和 y3 x7 相同，所以斜率为 3。44415通过点2,3 且斜率为 3的直线为43y32x4或 3x4y601.8两条直线的交点假设已知两条直线的方程分别为2 xy4 和 3x2 y1 ，如何求出它们的交点的坐标呢？要求的是同时位于两条直线上的点x, y ，则坐标x, y 满足两个方程，所以需要联立求解方程。对于这两个方程，可得x1 ， y2 ，所以交点的坐标为1, 2 。该方法适用于任意方程的直线，只要它们不是平行的。要找出交点，联立方程求解即可。该方法也可用来求解两条曲线的交点。1.9互相垂直

18、的直线的斜率1.3 节已经说明如果两条直线的斜率相等， 则它们是平行的。 那么两条相互垂直的直线，它们的斜率有什么关系呢？首先，如果一条直线的斜率为正， 则与它垂直的直线斜率为负，反之亦然。但是，它们的斜率有更精确的关系。在图 1.13 中，假设 PB 的斜率是 m ，可画出“斜率三角形” PAB ，其中 PA 为一个单位， AB 为 m 个单位。16在图 1.14 中，将三角形 PAB 旋转 90 度得到三角形 PA B，所以 PB垂直于PB 。 PA B 的 y step为 1， xstep为 m ，所以PB 的斜率ystep11xstepmm所以垂直于 PB 的直线的斜率是1 。m所以如果两条互相垂直的直线的斜率是m1 和 m2 ，则 m1m21 。同样下面的结论也是正确的，如果两条直线的斜率是m1 和 m2 ，且 m1 m21 ，则直线互相垂直。要证明该结论，参考综合练习1 的题 22。两直线的斜率为 m1 和 m2，如果 m1m21，或者 m11，或者 m21 ，m2m1则这两条直线互相垂直。注意如果直线平行于坐标轴，则该条件是无效的。但是，可以看出直线常数 和形式为 y 常数 的直线互相垂直。例证明点 0, 5 ，1,2 ， 4,7 和 5,0 构成一个菱形。17你可以使用多种方法来解决这个问题。下面的解答说明，这些点构成了一个平行四边形，并且它的对角线是互相垂