水力学教学课件：第四章-流体力学相关内容水利类2016

1、第 四 章 流体力学相关内容4-1 流体微团运动的分析4-2 有旋流动与无旋流动4-3 有势流动与速度势函数 4-4 平面流动的流函数4-5 平面势流运动与流网4-6 平面势流运动的叠加谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团 考察和分析流体质点之间的相对位移和相对运动 给出在同一时刻流体微团中任意两点速度之间的关系分析流体微团的运动形式流体微团运动：平动、转动、变形 变形：线变形、角变形4-1 流体微团运动的分析时刻t 点M0： 相邻点M： 4-1 流体微团运动的分析已知M0点的速度，与之相邻的M点速度如何表达？4-1 流体微团运动的分析平行六面体流体微团的运动分析图4-1

2、 流体微团运动的分析二维流体微团及速度分布一、平移运动平行六面体微团作为一个整体，其中各质点以同一速度矢量u做平移运动平移运动不改变平行六面体流体微团的形状、大小和方向4-1 流体微团运动的分析流体微团在轴方向产生了线变形线变形的大小可用线变形速率，即单位时间单位长度的伸长(或缩短)量来计量 二、线变形运动4-1 流体微团运动的分析dt流体微团的体积变化量不可压缩流体三个方向的线变形速率之和为零 即体积改变量为零不可压缩流体连续性方程4-1 流体微团运动的分析三、角变形运动和旋转运动 4-1 流体微团运动的分析角变形量的一半 旋转角量 4-1 流体微团运动的分析=角变形速度的一半=旋转角速度O

3、xy面上角变形速率的一半 Oyz面上角变形速率的一半Ozx面上角变形速率的一半旋转角速度矢量表达式Ox方向的旋转角速度 Oy方向的旋转角速度 Oz方向的旋转角速度 四、对各流速进行处理4-1 流体微团运动的分析 流场中任意一点M的流速u的表达式 液体微团的运动由平动、旋转运动、线变形运动和角变形运动所组成 物理意义 4-1 流体微团运动的分析对任意一点流速变形速度 转动速度 适用范围流体刚体有因点而异流体微团无不随点变整个刚体 流体速度分解与刚体速度分解的异同4-1 流体微团运动的分析第 四 章 流体力学相关内容4-1 流体微团运动的分析4-2 有旋流动与无旋流动4-3 有势流动与速度势函数

4、4-4 平面流动的流函数4-5 平面势流运动与流网4-6 平面势流运动的叠加几个概念 按流体微团有无旋转运动，可以将流体运动分为有旋流动和无旋流动 有旋流动也称有涡流，无旋运动也称无涡流 如果流场中某一区域表征流体旋转运动的旋转角速度 ，则说明此区域的流体质点或流体微团在作旋转运动，这种流体运动称为有旋流动，或有涡流动 如果流场中各流体微团的旋转角速度都为零，则各质点或流体微团不存在旋转运动，这种流体流动称为无旋流动，或称无涡流 4-2 有旋流动与无旋流动无旋流或有势流满足不满足有旋流或旋涡流 4-2 有旋流动与无旋流动如果是Oxy面上的平面流动，前两个条件将自动满足，所以只须用最后一个条件即

5、可判别平面流动是否无旋 无旋流与有旋流决定于液体微团是否绕自身轴旋转 液体微团是否绕自身轴旋转是有旋流无旋流否 在流体流场中可以是一部分流动为无旋的，另一部分流动为有旋的 实际流体由于粘性的作用，一般都是有旋流动 4-2 有旋流动与无旋流动例题4-1：判别此种流动是否为有旋流动？ 该流动为有旋流动4-2 有旋流动与无旋流动 无旋流与有旋流决定于液体微团是否绕自身轴旋转 例题4-2：水桶中的水从桶底中心孔流出时，可观察到桶中的水以通过孔的铅垂轴为中心，作近似的圆周流动，判别此种流动是否为有旋流动4-2 有旋流动与无旋流动 无旋流与有旋流决定于液体微团是否绕自身轴旋转 第 四 章 流体力学相关内容

6、4-1 流体微团运动的分析4-2 有旋流动与无旋流动4-3 有势流动与速度势函数 4-4 平面流动的流函数4-5 平面势流运动与流网4-6 平面势流运动的叠加4-3 有势流动与速度势函数 无旋流动充要条件存在流速势函数流速等于流速势函数的梯度一、速度势函数4-3 有势流动与速度势函数 积分 无旋流动必然存在速度势，则无旋流动也称为有势流动(简称势流) 若能证明某个流动存在速度势，则这个流动一定是无旋流 速度势函数在求解理想流体无旋运动中有十分重要的应用。 速度势函数4-3 有势流动与速度势函数 二、速度势函数的主要性质 性质1速度势函数可以相差任一常数值，而不影响求解流速场如果已知速度势函数

7、，求导可求得流速分布。流速势函数中的常数求导为零，不影响流速的最后结果，所以说速度势函数可以相差任一常数值，而对流场毫无影响。 4-3 有势流动与速度势函数 性质2速度势为一标量函数，在有势流动空间存在等势面等势面的概念: 在任意瞬时t，速度势是空间位置（x,y,z）的连续函数 ,空间任一点都有一个对应的 值存在，由一系列的 值相等的点组成的面就称为等势面等势面的方程可以写为： 显然，对于非恒定流动，其等势面是随时间变化的；恒定流的等势面将不随时间变化。在恒定平面势流中，势函数相等的点连成的线叫作等势线 等势线方程: 4-3 有势流动与速度势函数 性质3速度势在任一方向l上的有向导数，等于速度

8、在该方向上 的投影流体沿物体表面法线 n，和切线 两个方向上的速度投影分别为 在固体边界b上，应有 的条件 4-3 有势流动与速度势函数 性质4在不可压缩流体中，速度势函数满足拉普拉斯方程对于不可压缩流体流动，应满足的连续性微分方程 若流动无旋，则存在速度势函数，且 ，将用速度势函数表示的流速代入连续性方程则 拉普拉斯方程 在数学上，凡是满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数 所以速度势函数 为一调和函数 速度势函数 满足拉普拉斯方程，表明流动存在且为无旋流动 这一性质对于分析、计算无旋流动场有重要作用 4-3 有势流动与速度势函数 三、势流中的压强加、减纳维-斯托克斯方程（以x向为例）4-3 有

9、势流动与速度势函数 无旋流4-3 有势流动与速度势函数 无旋流动无旋流4-3 有势流动与速度势函数 dxdydz（+）质量力为有势力，存在单值力势函数W 流动无旋 流体不可压缩 积分4-3 有势流动与速度势函数 恒定流，f(t)为常数，且不可压缩流体运动方程的拉格朗日柯西积分式 ：f(t)为积分常数，是t的函数，在同一瞬时流场各点处的积分常数都相同，在不同时刻，这些积分常数可能会有不同的值质量力只有重力质量力只有重力欧拉积分，形式上与伯努利方程相同，但适用条件不同，它可以适用整个流场而不是一条流线，但要求流动无旋。4-3 有势流动与速度势函数 第 四 章 流体力学相关内容4-1 流体微团运动的

10、分析4-2 有旋流动与无旋流动4-3 有势流动与速度势函数 4-4 平面流动的流函数4-5 平面势流运动与流网4-6 平面势流运动的叠加实际的流动问题，都是三元流动。简化为二维流动 如果某种流动中各物理量沿某一方向上的变化比另两个方向上的变化小的多，并且可以忽略的情况下，就可将这种三维流动简化为二维流动来处理二维流动也称为平面流动 也就是说在流场中所有的相互平行的平面上，流动都是相同的，只要分析其中任意一个平面上的流动就可以知道整个流场中的流动4-4 平面流动的流函数 一、流函数的概念 不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程对于恒定流，不随时间变化 4-4 平面流动的

11、流函数 引入流函数 流线方程 (x,y)=常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇 只要给定流场中某一固定点的坐标(x0,y0)，代入流函数，便可得到一条过该点的确定的流线 借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分得出在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数，就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否恒定，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数。 存在流函数这里需说明：平面流动中，等流函数线与流线等同。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的二

12、、流函数的性质 性质1：流函数可以相差一个常数值，并不影响所求的流速场性质2：等流函数线=C 就是平面流动的流线 此式表明同一条流线上各点的流函数均相等并等于常数C C 取不同的值时，便得到不同的流线 同时该方程也是流函数的等值线方程，即等流函数线是与平面流动的流线重合的 4-4 平面流动的流函数 性质3：任意两条流线间通过的流量等于两流线的流函数值之差 在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为所以，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差4-4 平面流动的流函数 性质4：对于不可压缩流体的平面势流，流函数满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。平面无旋流动 即在平面

13、不可压缩流体的无旋流动中，流函数与速度势函数一样，都满足拉普拉斯方程 例4-3 已知流体作平面流动，流速分布为 ， 试问： 此流动是否存在流函数？若存在，试求之； 此流动是否存在速度势？若存在，试求之。 解：判断流动的连续性，判断流函数是否存在。可知满足平面不可压缩连续性方程，所以存在流函数。 4-5 平面势流运动与流网 判断流动是否无旋(有势)，判断流速势函数是否存在可知流体作无旋运动，所以存在速度势函数4-5 平面势流运动与流网 例4-3 已知流体作平面流动，流速分布为 ， 试问： 此流动是否存在流函数？若存在，试求之； 此流动是否存在速度势？若存在，试求之。 例4-4：有一不可压流体平面

14、流动的速度分布为 该平面流动是否存在流函数和速度势函数；若存在，试求出其表达式；若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为1.4105Pa，流体的密度1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？ 【解】 （1）由不可压流体平面流动的连续性方程 该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。 由于是平面流动 该流动无旋，存在速度势函数。 4-5 平面势流运动与流网 （2）由流函数的全微分得：积分 由速度势函数的全微分得：积分 （3）由于 ，因此，A和B处的速度分别为 由欧拉积分可得4-5 平面势流运动与流网 第 四 章 流体力学相关内容4-1 流体微团运动的分析4-2 有旋流动与无旋

15、流动4-3 有势流动与速度势函数 4-4 平面流动的流函数4-5 平面势流运动与流网4-6 平面势流运动的叠加4-5 平面势流运动与流网 不可压缩流体的无旋流动，既存在流函数，又存在速度势函数,流函数和速度势函数之间满足柯西-黎曼条件一、平面势流中流函数与速度势之间的关系 柯西黎曼条件 满足柯西黎曼条件的两个函数称为共轭函数 流函数与速度势函数都是调和函数平面势流的流函数和速度势函数为一对共轭调和函数 知道一个，可求另外一个 二、流网 流网的定义：在不可压缩平面无旋流动中，流场中任一点都有相应的 和值，由各点的 和值，可以作出一系列的等流函数线(即流线)和等势线，等流函数线和等势线在流场中所组

16、成的正交网格，就称为流网 1、流网的特性 构成流网的等流函数线与等势线正交正交条件正是绘制流网的重要依据之一在流线上存在 过任一点M的流线的斜率在等势线上存在 则过点M的等势线的斜率 过点M的流线和等势线的斜率的乘积 过同一点的流线和等势线互相正交 4-5 平面势流运动与流网 流网中每一网格的边长之比 等于和的增值 之比，如取 ，则每个微小网格都将为正交方格，即 在已绘出的流网中任取一网格，对网格上一点M，其流速为 u 任意两条流线间通过的流量等于两流线的流函数值之差4-5 平面势流运动与流网 关于流网的说明 在绘制流网时，各流线之间的d值和各等势线之间的d 值各为一个固定的常数，因此网格的边

17、长之比就应该不变 为简便起见，常取d = d ，则有s=n 。这样，所有的网格都是正交的曲边正方形 对于网格是曲边正方形的流网，因为任何流线之间的流量dq是一常数，所以任何网格的流速为 在绘制流网时，各网格中的dq是一常数，由此可得 即流速u和流线间距离n成反比。 在流网上直接量出各处的n，根据上式就可得出流速的相对变化关系，若已知其中一点的流速就可以算出其它各点的流速。4-5 平面势流运动与流网 从左式还可以看出，流线愈密集，则该点流速愈大；流线愈稀疏，则该点的流速愈小 所以流网图型可清晰的表示出流速的分布情况 通过绘制流网可以获得平面势流问题的近似解答，如在水力机械中，便可利用流网来设计导

18、叶或水轮机叶片 至于恒定流中的压强分布，则可从理想流体的拉格朗日柯西积分式求得，即 如某一点(如边界处)的压强已知，便可由上式求得其它各点的压强 因此，通过绘制流网可解答恒定平面势流的流速分布和压强分布这一中心问题 流网之所以能给出恒定平面势流问题的唯一解答，是因为流网就是拉普拉斯方程在一定边界条件下的图解，在特定边界条件下，拉普拉斯方程只能有一个解，故针对一种特定的边界条件只能有唯一确定的流网 4-5 平面势流运动与流网 2、流网的绘制 在绘制流网时，常需在绘图纸上用铅笔进行试绘 先按一定比例绘出流动的边界并根据边界条件定出边界流线和边界等势线 因此绘制流网时，首先要确定边界条件 边界条件一

19、般有固体边界、自由表面边界以及入流断面和出流断面条件等 固体边界上的运动学条件是垂直于边界的流速分量应为零，流体必然沿着固定边界流动，固体边界成为一条流线，则等势线必与边界正交4-5 平面势流运动与流网 例4-5：绘图表示 的流线、等势线和流动方向，并求出在点(1，1)上的流速及方向 根据流函数等值线就是流线，令=常数，可得流线。由的函数形式看，流线为双曲线。令=1,2,10，其部分坐标计算结果如表(10-1)所示，据此可点绘出流线 从所求的等势线可知也为等轴双曲线，如 0，则在、象限内。当x,y都为正值时，ux,uy均为负值。反之则都为正值。在点(1，1)处的流速为 其斜率为 故流速向量与x

20、轴倾斜成450角 4-5 平面势流运动与流网 第 四 章 流体力学相关内容4-1 流体微团运动的分析4-2 有旋流动与无旋流动4-3 有势流动与速度势函数 4-4 平面流动的流函数4-5 平面势流运动与流网4-6 平面势流运动的叠加4-6 平面势流运动的叠加对于实际流动中一些具有比较复杂边界条件的势流，直接通过求解拉普拉斯方程来获得流函数和势函数往往比较困难而对某些简单势流的速度势和流函数却比较容易求得如果将容易求得的简单势流在一定条件下叠加，就可以得到一些既符合给定的边界条件又具有实际意义的势流，从而可方便求得这些势流问题。这样的方法称为势流叠加法，这个方法简便易行，有一定的应用价值，本节将

21、对这个方法进行讨论一、势流叠加原理速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上都称为调和函数，所以速度势函数和流函数都是调和函数。根据调和函数的性质，即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，可将若干个速度势函数(或流函数)线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数(或流函数)。现将若干个速度势函数 、 、 、叠加，得 叠加后新的速度势函数、新的流函数也满足拉普拉斯方程 4-6 平面势流运动的叠加叠加原理方法简单，在实际应用上有很大意义，可以应用这个原理把几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动。将新的速度势函数 分别对 、 和 取偏导数，就等于新

22、的有势流动的速度分别在 、 和 轴方向上的分量： 或 叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个新的复合流动，只要把各原始流动的势函数或流函数简单地代数相加，就可得到该复合流动的势函数或流函数。该结论称为势流的叠加原理。叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原来的有势流动速度的矢量和4-6 平面势流运动的叠加二、几种简单的平面势流均匀等速流是一种最简单的平面势流。因其流线和等势线均为互相平行的直线，故又称为平面平行流、均匀直线流动。 1均匀等速流积分常数C1 和C2 可以任意选取，而不影响流体的流动图形（流谱）若令 ，即得均匀直线流动的速度势和流函数各为实际流动中，如风洞或水洞中的实验段流动，均

23、可近似看作均匀等速流动。 4-6 平面势流运动的叠加2 平面点源与点汇的流动如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点显然，这两种流动的流线都是从原点O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度。现将极坐标的原点作为源点或汇点，则点源和点汇的流谱4-6 平面势流运动的叠加根据流动的连续性条件，流体每秒通过任一半径为r 的单位长度圆柱面上的流量q都应该相等，即故 q 是点源或点汇在每秒内流出或流入的流量，称为点源强度或点汇强度 对于点源，ur与r 同向，q取正号

24、；对于点汇， ur与r异向， q取负号于是积分注意：此处，q具有自己的正负号求速度势函数4-6 平面势流运动的叠加式中积分常数C是任意给定的，现令C=0。又由于 ，得速度势 当r=0时，速度势和速度u都变成无穷大，源点和汇点都是奇点。所以速度势 和速度u的表达式只有在源点和汇点以外才能应用求流函数令C=0极坐标系：直角坐标系：注意：此处，q具有自己的正负号4-6 平面势流运动的叠加如果q不包含表示源汇的正负号，则点源点汇4-6 平面势流运动的叠加说明：（1）点源或点汇的等势线簇（ =常数，即r=常数）是同心圆簇，与流线簇（ = 常数，即=常数）成正交（2）而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势

25、流动作点源或点汇流场的涡量 如果xoy平面是无限水平面，则根据伯努里方程式中p 为r 在处的流体压强，该处的速度为零。代入上式，得由上式可知，压强p 随着半径r 的减小而降低。当 时，p=04-6 平面势流运动的叠加当 时，点汇沿半径r的压强分布 04-6 平面势流运动的叠加3平面点涡的流动 设有一旋涡强度为I 的无限长直线涡束，该涡束以等角速度 绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流 由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理 由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆，如图所示。根据斯托克斯定理可知，

26、沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，即 因此涡束外的速度与半径成反比。若涡束的半径r00，则成为一条涡线，这样的流动称为点涡，又称为纯环流。但当r00时，u ，所以涡点是一个奇点4-6 平面势流运动的叠加 由点涡的流函数和流速势表达式可知，点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。 现在求点涡的速度势和流函数。由于积分后得速度势积分后得流函数当0 时，环流为反时针方向；当0 时，环流为顺时针方向4-6 平面势流运动的叠加涡流中涡核内、外的速度和压强分布4-6 平面势流运动的叠加所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。又

27、由式（1）可知，在r0处，压强p - ，显然这是不可能的。所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。由式（2）可得涡核的半径设涡束的半径为r0，涡束边缘上的速度为 ，压强为p0；r时的速度显然为零，而压强为p。代入伯努里方程 ，得涡束外区域内的压强分布为式（1）说明，在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压强为或式（1）式（2）4-6 平面势流运动的叠加由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。平面恒定流动的欧拉运动微分方程为将涡核内任一点的速度 和 代入上两式，得以 和 分别乘以上两式，然后相加，得或积分得4-6 平面势流运动

28、的叠加在 处， ，代入上式，得最后得涡核区域内的压强分布为 或 于是涡核中心的压强 而涡核边缘的压强 所以 可见，涡核内、外的压强降相等，都等于用涡核边缘速度计算的动压头。涡核内、外的速度分布和压强分布如图所示 4-6 平面势流运动的叠加三、简单势流的叠加示例1.平行流与源叠加 由势流叠加原理，将流速为u0的平行流与强度为q的点源叠加，就可得到另一新的流动。将平行流与点源的速度势函数、流函数分别相加后，得该复合势流速度势和。+=4-6 平面势流运动的叠加 该方程也就是绕流物体的外形轮廓线 由于流动对称于x轴，因此只需对y0的范围进行研究 驻点的定义：在流场中速度为零的点叫驻点驻点处解得表明驻点

29、在x轴的负向位置，具体位置与平行来流的速度u0、源的强度q有关 令=常数，流线方程 驻点S处，y=0，= 得过驻点S的流线方程为 考虑y=rsin，流线方程 4-6 平面势流运动的叠加的分析 从0逐步增加到时， r不断减小 0时，r，表明下游轮廓线与平行流的方向一致 当 = 时，因为 ，则 该流线型物体的半宽为 , 则有：当 时， 当 时， 所以，过驻点的流线是一条与y轴截距为 的二次曲线 空气绕机翼的流动和水力机械叶片头部的流动都是平行流绕过头部为流线型的固壁的流动设计中，可根据绕流物体的外形(即通过驻点的那条流线)来决定源的强度和其位于坐标轴上的位置，从而获得与绕流物体的轮廓线完全重合的过

30、驻点的流线，以便真实地反应实际流动由叠加获得该组合流场的速度势或流函数后，便能准确地算出物体上游端部的流速分布，由拉格朗日柯西积分式便可进一步求得流场中的压强分布4-6 平面势流运动的叠加2.点汇与点涡叠加的流动螺旋流 显然，等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇故称为螺旋流流体从四周向中心流动（点汇加与点涡叠加），或从中心向四周流动（点源与点涡叠加）螺旋流是点涡和点汇的叠加。将点涡和点汇的速度势函数、流函数分别相加即得新的有势流动螺旋流的速度势和流函数令螺旋流的速度势和流函数分别等于常数C1、C2，得等势线方程 流线方程 4-6 平面势流运动的叠加图10-12 点汇与点涡的叠加 图10-13 点源与点涡叠加 4-6 平面势流运动的叠加研究螺旋流在工程上有重要意