宏观流体力学仿真在人群运动数学建模中的应用-以2019年MCM-ICM卢浮宫游客疏散问题为例

1、宏观流体力学仿真在人群运动数学建模中的应用以2019年MCM/ICM卢浮宫游客疏散问题为例摘 要:人群运动与流体运动有许多相似性。本文旨在借助FLOW3D模型模拟人群运动，为解决人群疏散问题提供定性方 案。以2019年数学建模美赛8题为例，首先根据人群运动规划全局矢量场的研究结果对模型进行预处理,建立行人运动的宏观 流体力学模型。运用FLOW3D模型对模型进行仿真模拟，水体的仿真运动受完整的N-S方程控制，使用RNG湍流模型模拟动态 碰撞情况。最后对流体运动结果进行定性分析，得到人群的宏观运动情况，并附图像说明。关键词:人群运动宏观模型;计算流体力学方法；FLOW3D模型;数学建模Abstra

2、ct : There are many similarities between crowd movement and fluid movement. This paper aims to simulate crowd movement with FLOW3D model and provide a qualitative solution for crowd evacuation. Taking the problem D of MCMMCM 2019 as an example, the macroscopic hydrodynamic model of pedestrian motion

3、 was firstly preprocessed according to the research results of the global vector field of crowd motion planning. FLOW3D model is used to simulate the model. The water simulation movement was controlled by the N-S equation, and the RNG turbulence model was used to simulate the dynamic collision. Fina

4、lly, by qualitative analysis of the fluid motion results, the macroscopic motion of the crowd was obtained with the image description attached.Key words: Macroscopic model of crowd movement; Computational fluid dynamics method; FLOW3D; Math modeling量形式如下:量形式如下:随着计算机技术的发展,模拟人群的运动行为在工业、旅游 业和交通等领域有着广泛运

5、用。人群运动仿真行为的研究大致 分为宏观和微观两种。宏观行为的研究针对于大规模的人群运 动情况，分析以组为单位的人群行为。在宏观的快速运动情况 下,人群的运动轨迹与水流的流线相似11$根据流体动力学研究, 一些学者将流体力学模型引入人群运动仿真的研究中，将人群 运动过程中速度变量、密度、移动位置等宏观量，转化成为流体 连续介质的密度、速度、流量，进而对人群运动的动力学行为进 行描述。Dirk Helbing基于玻尔兹曼类气体动力学模型，假设 大规模的人群运动为连续介质，建立了一种人群运动的流体动 力学描述方法，提出了社会力模型叫在前人研究的基础上，本文通过对卢浮宫人群疏散问题的 研究,利用计算

6、流体力学仿真模型FLOW3D对人群运动进行仿 真模拟，对仿真结果进行分析，提出适用于宏观人群运动的流体 仿真方法。1模型建立以2019年美国大学生数学建模竞赛d题为例，五层的卢浮 宫有数百个展厅，题目要求设计发生突发情况时,人群在卢浮宫 中的疏散方案1.1社会力模型根据社会力模型回,从微观角度分析人群运动，当行人的运 动情况处于无法达到预期速度、按实际速度运动的状态下，满足 以下运动平衡关系：*北尊+%（e+戏相）其中，在一定粘度月下，行人密度P*与行人位置X、实 际运动速度v、运动时间t相关,表示为p.（X顶“，/） $对于行人在运动过程中的密度变化情况，定义p.= J P,（又君, t）d

7、 气，:Q =。其中，m 为在一定粘度月下的行人的平均质量。考虑质量密度关系修改式 （1），得到微观的人群运动质量密度平衡方程：其中 Q （o ） = o （x v t）m q （x v t）d八 （r 卬）J r 卬（，卬，）（，卬，）产（克V t）表示行人在空间中从某一通道进入或离开时，行 人密度的变化量。1.2宏观流体力学模型在流体力学中，经常使用纳维-斯托克斯方程（简称N-S方 程）用于描述宏观的粘性不可压缩流体的动量守恒定律问,其矢dU = 1 Vp + F + 女厅dt pp其中，在三维坐标系下，速度表示为u（u,v,w），压力为p, 体积力为F $在FLOW3D模型中，可应用完整

8、的N-S方程对流体的运动 过程进行数值模拟。对于标准水体，粘度月、密度P均等于1, 则其控制方程在三维坐标系下的形式如下： TOC o 1-5 h z dudpd 2ud 2ud2uH = F+F+（瓦2+砂+天）dvdpd2vd 2vd2v遍+F+（豪+苛+云）dwdpd2 wd2 wd2 w前=F+Fz+（芥+天）图1三维模型平面图图2疏散进行至中期，各层的流体运动情况图图1三维模型平面图图2疏散进行至中期，各层的流体运动情况图3 b截面处流体体积瞬时变化曲线兵哉攵逃攻溟对比式与式（#、（$，发现行人运动方程在形式上 等同N-S方程算。因此，我们将微观的行人运动与人群运动相 关联，结合社会

9、力模型与宏观流体力学模型，基于FL0W3D模 型模拟流体运动，进而分析行人运动轨迹。基于计算流体力学方法，搭建行人运动的宏观流体仿真框 架,分为四部分：根据人群运动规划全局矢量场的研究结果回,将不同展厅 的人群区域分割为离散立方体单元，初始位置，水体的边界由 展厅大小决定；水体的仿真运动受完整的N-S k -e方程控制，使用 RNG湍流模型模拟动态碰撞情况，便于得到行人在疏散过程中 的瓶颈位置；建立流体流场与人群疏散情况的对应关系煦,分析人群的 宏观运动情况；在同一层内，展厅的边界作为水体运动的边界，水体运动 沿展厅边界进行；在不同层之间，水体通过楼层间的楼梯自上而下运动。1.3预处理根据卢浮

10、宫的平面图，建立地面上三层楼603x320 x24m， 的三维建筑模型。在第0层有两个通往室外的直接出口，有两个 通往地下层的间接出口。将不同展厅的人群视为立方体单元, 位置居于展厅中心，预处理结果如图1所示。2求解结果设定三层卢浮宫疏散模型的立方体区域作为求解域，对图4潜在瓶颈现象图5疏散进行至末期，各层的流体运动情况FL0W3D模型运用有限差分法，得到人群运动的宏观流体力学 模型N-S图4潜在瓶颈现象图5疏散进行至末期，各层的流体运动情况2.1潜在瓶颈当疏散行动进行到中期，各层的流体运动情况如图2所示。 以流体的体积分布情况作为人群运动的分析评估对象,分析如 下：作为顶层的第2层，其区域流

11、体体积较少，可视为人群 疏散较顺利；其区域流体在转角处有碰撞、叠加现象,可视为 人群在疏散会出现局部拥挤；第1层在区域的楼梯处有部分流体碰撞、叠加现象，可 视为上层人群在通过该层向下层疏散时，楼梯处会出现拥挤； 区域外侧展厅的流体体积大于区域同处的，可视为上层人 群通过楼梯处而引起的拥挤，导致区域人群滞留；作为底层的第0层，区域大量流体通过直接出口流向 外部；区域出现大量流体碰撞、叠加，可视为大量上层人群通 过楼梯到达第0层后的拥挤现象；区域流体体积较少，可视 为由于区域有两处出口，为上层人群疏散提供了足够的出 口，不至于在区域出现拥挤现象。对于区域楼梯a处出现的流体叠加现象，分析是否有疏 散

12、瓶颈现象。监测楼梯a的走道b截面处流体体积的瞬时变化, 变化曲线如图3,分析如下：a.在第1层人群运动的前20%时段，流体体积逐渐增大，出现一次较小的波谷，可视为初期的人群疏散较顺利；b.在40%时段，随着运动的进行，通过楼梯a向下运动的第 2层流体在a处逐渐堆积，与第1层的流体在截面b处碰撞，导 致流体体积剧增，出现潜在瓶颈，如图4所示，可视为潜在的人 群疏散过程中的拥挤现象。2.2运动末期当疏散行动进行到末期，各层的流体运动情况如图5所示， 分析如下：第1、2层的流体体积非常少，可视为人群疏散基本完成；第0层大部分区域流体体积较少，大部分流体已经处在建 筑物外围，但区域的流体堆积、滞留明显。可视为其他区域疏 散较为顺利，但区域容易出现堵塞现象,制定疏散方案时需要 在区域安排疏导人员。3结论根据行人运动模型和宏观流体力学模型，利用计算流体力 学仿真软件，对卢浮宫的人群疏散情况进行定性分析，