高考数学(理数)三轮冲刺复习小题必练16《导数及其应用》(含解析)

1、小题必练1小题必练16：导数及其应用函数是高中数学内容的主干知识，是高考考查的重点高考中主要考查函数的概念与表示，函数的奇偶性、单调性、极大（小）值、最大（小）值和周期性；考查幂函数、对数函数的图像和性质以及函数的应用；考查导数的概念、导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，重点考查利用导数的方法研究函数的单调性、极大（小）值、最大（小）值，研究方程不等式对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等都进行深入的考查，题型能力立意的命题原则1【2020全国高考真题（理）】函数 SKIPIF 1 0 的图像在点 S

2、KIPIF 1 0 处的切线方程为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因此，所求切线的方程为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，故选B【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，考查计算能力2【2019天津高考真题（理）】已知 SKIPIF 1 0 ，设函数 SKIPIF 1 0 ，若关于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，

3、则 SKIPIF 1 0 的取值范围为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【解析】 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，故当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，若 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0

4、 ，当 SKIPIF 1 0 ，函数单增；当 SKIPIF 1 0 ，函数单减，故 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，综上可知， SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 ，故选C【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析一、选择题1函数 SKIPIF 1 0 的图象在点 SKIPIF 1 0 处的切线方程为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】A【解

5、析】由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 0 ，故选A2曲线 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的切线方程为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】A【解析】 SKIPIF 1 0 的导数为 SKIPIF 1 0 ，可得曲线 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的切线方程为 SK

6、IPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，故选A3设点P是函数 SKIPIF 1 0 图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 SKIPIF 1 0 ，则角 SKIPIF 1 0 的取值范围是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， S

7、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故选B4记函数 SKIPIF 1 0 的导函数为 SKIPIF 1 0 ，则函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内的单调递增区间是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内的递增区间为 SKIPIF 1 0 ，故选C5已知函数 SKIPIF 1 0 ，其中e是

8、自然数对数的底数，若 SKIPIF 1 0 ，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B【解析】由于 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故函数 SKIPIF 1 0 为奇函数故原不等式 SKIPIF 1 0 ，可转化为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ；又 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 恒成立，故函数 SKIPIF 1 0 单调递增，则由 SKIPIF 1 0

9、，可得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故选B6已知实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则对任意的正实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的最小值为（ ）A SKIPIF 1 0 B8C SKIPIF 1 0 D18【答案】B【解析】由题意可知，该问题可转化为求圆 SKIPIF 1 0 上任意一点，到曲线 SKIPIF 1 0 上任意一点的距离的最小值的平方，不妨设圆 SKIPIF 1 0 为圆 SKIPIF 1 0 ，其圆心为 SKIPIF 1 0 ，半径为 SKIPIF 1 0

10、 ，因为圆外任意一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，所以只需求曲线 SKIPIF 1 0 上到圆心 SKIPIF 1 0 距离最小的点为 SKIPIF 1 0 ，则点 SKIPIF 1 0 满足曲线 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 0 垂直，因为点 SKIPIF 1 0 在曲线 SKIPIF 1 0 上，所以 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即曲线 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的切线的斜率为 SKIPIF 1 0 ，又因为

11、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以直线 SKIPIF 1 0 的斜率为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以点 SKIPIF 1 0 坐标为 SKIPIF 1 0 ，又因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以圆 SKIPIF 1 0 上任意一点到曲线 SKIPIF 1 0 上任意一点的距离的最小值的平方为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的最小值为8，故选B7已知函数 SKIPIF 1 0 ，若不等式 SKIPIF 1 0 对于任意的非负实数 SKIP

12、IF 1 0 都成立，求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【解析】不等式 SKIPIF 1 0 对于任意的非负实数 SKIPIF 1 0 都成立，即 SKIPIF 1 0 对于任意的非负实数 SKIPIF 1 0 都成立，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上递减，所以 SKIPIF 1 0 ，所以问题转化为 SKIPIF 1 0 恒成立，令 SKIPIF 1 0 ，则

13、 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上递增，在 SKIPIF 1 0 上递减，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故选C8已知函数 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最大值为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【解析】设 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF

14、 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减，不存在 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增，不存在 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKI

15、PIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 上单调递减， SKIPIF 1 0 ，本题正确选项C9已知函数 SKIPIF 1 0 ，若对任意 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，则 SKIPIF 1 0 的取值范围是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】A【解析】 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，所以函数 SKIPIF 1 0 为单调递减的奇函数，因此 SKIPIF 1 0 SKIPI

16、F 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，选A10已知函数 SKIPIF 1 0 ，方程 SKIPIF 1 0 恰有两个不同的实数根 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最小值与最大值的和（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【解析】作出函数 SKIPIF 1 0 的图象如下图所示：由图象可知，当 SKIPIF 1 0 时，直线 SKIPIF 1 0 与函数 SKIPIF 1 0 的图象有两个交点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

17、，则 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，构造函数 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时函数 SKIPIF 1 0 单调递减；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时函数 SKIPIF 1 0 单调递增，所以， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，显然 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 因此， SKIPIF 1 0 的最大值和最小值之和为 SKIPIF 1 0 ，故选C11

18、设函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上存在导数 SKIPIF 1 0 ，对任意的 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 ，且在 SKIPIF 1 0 上有 SKIPIF 1 0 ，则不等式 SKIPIF 1 0 的解集是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B【解析】设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 是奇函数，由于函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上存在导函数 S

19、KIPIF 1 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续，则函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续在 SKIPIF 1 0 上有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调递增，又 SKIPIF 1 0 是奇函数，且 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，故选B12已

20、知函数 SKIPIF 1 0 ，若函数 SKIPIF 1 0 有三个零点，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】A【解析】作 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 图象如下：由 SKIPIF 1 0 整理得 SKIPIF 1 0 ，当直线 SKIPIF 1 0 与圆 SKIPIF 1 0 相切时，则 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，对应图中分界线；再考虑直线 SKIPIF 1 0 与曲线 SKIPIF 1 0 相切，设切点坐标为 SKIPIF

21、 1 0 ，对函数 SKIPIF 1 0 求导，得 SKIPIF 1 0 ，则所求切线的斜率为 SKIPIF 1 0 ，所求切线的方程为 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 ，将点 SKIPIF 1 0 的坐标代入切线方程得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以，切点坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，对应图中分界线；当直线 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 时，则有 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，对应图中分界线，由于函数 SKIPIF 1 0 有三个零点，由图象可

22、知，实数 SKIPIF 1 0 的取值为 SKIPIF 1 0 ，故选A二、填空题13（2020广西柳州高三二模（理）设曲线 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 _【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】设 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，根据导数的几何意义可知， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故答案为 SKIPIF 1 0 14（2020江苏鼓楼南京师大附中高三月考）已知函数 SKIPIF 1 0 有两个极值点，则实数a的取值范围是_【答

23、案】 SKIPIF 1 0 【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 时有两个根，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调递增，在 SKIPIF 1 0 单调递减，且 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 要有两个交点， SKIPIF 1 0 ，故答案为 SKIPIF 1 0 15若函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 内存在单调减区间，则实数a的取值范围为_【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上存在单调区间，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有部分图象在 SKIPIF 1 0 轴下方若 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时，则 SKI