2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第27讲 探索性问题含解析

1、2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第27讲 探索性问题一、解答题 1已知分别为椭圆：（）的左、右焦点, 且离心率为，点椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，使直线与的倾斜角互补，且直线是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.2椭圆上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且焦距为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于，两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由3已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为（）求椭圆的标准方程；（）是否存在与椭圆交于两点的直线：，

2、使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.4已知为椭圆C的左、右焦点，且点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.5（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P(0，2)且斜率为k的直线l（）求圆Q的面积；（）求k的取值范围；（）是否存在常数k，使得向量OA+OB与PQ共线？如果存在，求明理由6已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为，经过其左焦点的直线交椭圆于两点（I）求椭圆的方程；（II

3、）在轴上是否存在一点，使得恒为常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.7已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（），且点F（，0）为其右焦点（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l与椭圆C交于B，D两点，满足，且原点到直线l的距离为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.8（本小题12分）已知如图，圆和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的点，.（1）当直线的斜率为时，求线段的长；（2）设点和点关于直线对称，问是否存在圆的切线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.9已知曲线，动直线与相交于两点，曲线在处的切线相交于点（1）当时，求证：直线恒过定点，并求出定

4、点坐标；（2）若直线与相切于点，试问：在轴上是否存在两个定点，当直线斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由10已知椭圆焦点在x轴上，下顶点为D(0，1)，且离心率e=63经过点()求椭圆的标准方程；（）求|AM|的取值范围.（）在x轴上是否存在定点P，使MPA=MPB。若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由11已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等求椭圆的方程；已知动直线（斜率存在）与椭圆交于两个不同点，且的面积为，若为线段的中点，问：在轴上是否存在两个定点使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，

5、说明理由12已知椭圆:经过点且离心率为.（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线，使椭圆上存在不同两点关于该直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.13已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于，两点（1）若，求直线的方程；（2）若直线的斜率存在，在线段上是否存在点，使得，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由14已知椭圆：（）过点，离心率，直线：与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.15已知圆经过点， ，并且直线平分圆.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于两点，是否存在直线，使得（为坐标原点），若存在，求出

6、的值；若不存在，请说明理由.16已知椭圆经过点，是的一个焦点，过点的动直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点（异于点），对任意的动直线（斜率存在）都有，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.17已知椭圆的离心率为，且过点（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由18已知点在椭圆上，椭圆离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由第27讲 探索性问题一、解答题 1已知分别为椭圆：（）的左、右焦点,

7、且离心率为，点椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，使直线与的倾斜角互补，且直线是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）过定点【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论

8、.试题解析：（1）由题意得，联立得椭圆方程为 6分（2）由题意,知直线存在斜率,其方程为由 消去 =（4km）24（2k2+1）（2m22）0 设 则 8分又 由已知直线与的倾斜角互补,得 化简,得 整理得 10分直线的方程为, 因此直线过定点,该定点的坐标为（2,0） 12分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合应用.2椭圆上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且焦距为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于，两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）根据椭圆的焦距为，离心率为，解得：，故椭

9、圆的标准方程为；（2）设直线的方程为，代入到得，设，由韦达定理得：，因为，可得：代入整理可得，解得：，即可求出直线方程.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为2，故又， 故椭圆的标准方程为 （2）设，为的垂心， 设直线的方程为，代入到得，解得且 ， ，即由根与系数的关系，得解得或（舍去） 故存在直线，使点恰为的垂心，且直线的方程为【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，常用方法为：设而不求利用韦达定理求出根与系数关系，结合条件即可得解.要求较高的计算能力，属于难题.3已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为（）求椭圆的标准方程；（）是否存在与椭圆交

10、于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（），（）.【解析】试题分析：（1）由已知条件可推得，由此能求出椭圆的标准方程；（2）存在直线使得成立，直线方程与椭圆的方程联立，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件，得出，即可求解实数的取值范围试题解析：（1）设椭圆的方程为（），半焦距为依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得解得，所以所以椭圆的标准方程是（2）解：存在直线，使得成立理由如下：由得，化简得设，则，若成立，即，等价于所以，,化简得，将代入中，解得，又由，从而，或所以实数的取值范围是考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置的应用【方法点晴】本题主要

11、考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质、不等式求范围问题，此类问题的解答中，把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用方程的根与系数的关系，以及韦达定理结合题目的条件进行合理运算是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，同时注意试题中的隐含条件，做到合理加以运用，属于中档试题4已知为椭圆C的左、右焦点，且点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程为，由，利用已知条件能求出，由此

12、能求出椭圆的方程；（2）设直线，由，得，利用韦达定理推导出当不存在时圆面积最大，此时直线方程为试题解析：（1）由已知，可设椭圆的方程为.因为，所以.所以椭圆的方程为.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，由得.设，则，所以.设内切圆半径为，因为的周长为（定值），所以当的面积最大时，内切圆面积最大.又，令，则，所以，又当k不存在时，此时，故当k不存在时内切圆面积最大，此时直线方程为.考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合.【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，根据椭圆的定义设出椭圆的标准方程，得解；考查三角形内切圆面积是否存在最大值的判断，用到不太常用的三角形内切圆半径公式：，故可得

13、当三角形周长固定时，三角形面积越大内切圆面积越大，解题时要认真审题，注意韦达定理和分类讨论思想的合理运用，计算难度较大，属于难题.5（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P(0，2)且斜率为k的直线l（）求圆Q的面积；（）求k的取值范围；（）是否存在常数k，使得向量OA+OB与PQ共线？如果存在，求明理由【答案】(1)4. (2)(-34【解析】解：（）圆的方程可化为(x-6)2+y故圆的面积为4 -3分（）设直线l的方程为y=kx+2法一：将直线方程代入圆方程得x2整理得(1+k2)直线与圆交于两个不同的点A，B等价于=4(k-3)解得

14、-34k0，即k法二：直线l与圆(x-6)2+y|kx-y+2|k化简得(-8k解得-34k72且a4，【解析】试题分析：（1）借助点在线段F的中垂线上建立等式并化简即可；（2）依据题设条件建立方程,通过方程有无解的分析析作出推理和判断即可.试题解析：解: （1）设(x,y)，依题意，|F|=|，即化简整理得y2（2）把y=x与y2=4x联立，解得(0,0)，(4,4)，则线段若存在C、D两点，使得、C、D四点共圆，则圆心必在直线y=-x+4上，设圆心坐标(a,-a+4)，则半径r=a圆的方程为(x-a)2将x=y24则y(y-4)(y2+4y+32-8a)=0， y1=0 y2+4y+32-

15、8a=0应有除y1 0，且32-8a0，42+44+32-8a0，解得a72且存在a72且a4，a8的无数个圆考点：(1)轨迹方程与探求方法；(2)圆的方程及简单高次方程的求解等有关知识的运用.13从抛物线上各点向轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线；（2）过点的直线交曲线于两点、，线段的垂直平分线交曲线于两点、，探究是否存在直线使、四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由【答案】（1）曲线的方程为，曲线是焦点为的抛物线；（2）存在；圆的方程为或【分析】（1）设抛物线上的任意点为，垂线段的中点为，根据中点坐标公式得出，代入等式化简可得出曲线的方

16、程，进而可得出曲线的形状；（2）设直线的方程为，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，求出，求出线段的中点的坐标，进一步求出线段的中垂线的方程，求出，根据四点共圆结合垂径定理可得出关于的等式，求出的值，进一步可求得圆的方程，由此可得出结论.【详解】（1）设抛物线上的任意点为，垂线段的中点为，故，则，代入得，得曲线的方程为，所以曲线是焦点为的抛物线；（2）若直线与轴重合，则直线与曲线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，根据题意知，设、，联立，得，则，则，且线段中点的纵坐标为，即，所以线段中点为，因为直线为线段的垂直平分线，可设直线的方程为，则，故，联立，得，设、，则，故，线段中点为，

17、假设、四点共圆，则弦的中垂线与弦中垂线的交点必为圆心，因为为线段的中垂线，则可知弦的中点必为圆心，则，在中，所以，则，故，即，解得，即，所以存在直线，使、四点共圆，且圆心为弦的中点，圆的方程为或【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动

18、点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.14在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上上一点，且点的横坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与准线交于点，设的中点为，若、四点共圆，求直线的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可求出，从而得到抛物线方程；（2）设直线的方程为，代入，得.设，列出韦达定理，表示出中点的坐标，若、四点共圆，再结合，得，则即可求出参数，从而得解；【详解】解：（1）由抛物线定义，得，解得，所以抛物线的方程为.（2）设

19、直线的方程为，代入，得.设，则，.由，得，所以.因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，则直线的方程为.由解得.若、四点共圆，再结合，得，则，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.15已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，离心率为，P是C上异于A，B的动点.（1）证明：直线AP，BP的斜率之积为定值，并求出该定值.（2）设，直线AP，BP分别交直线l：x=3于M，N两点，O为坐标原点，试问：在x轴上是否存在定点T，使得O，M，N，T四点共圆？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，定值；（2）存在，定点.【分析】（1）由题意知，设P(x0，y0)，y00，则，然后利用斜率公式求化简可得结果；（2）由题意先求出椭圆C的方程为，设直线AP的方程为，则直线BP的方程为，直线方程与椭圆方程联立可求出，假设MNO的外接圆恒过定点T(t，0)，t0，然后求出线段MN的垂直平分线所在直线的方程和线段OT的垂直平分线所在直线的方程，从而可求出圆心，再由|OE|=|ME|，可求出的值，进而得O，M，N，T四点共圆【详解】（1）由题意知，设P(x0，y0)，y00，则，所以直线AP与BP的斜率之积，即直线AP，BP