考研数学一常考题型和知识点归纳

1、文档编码 : CV6V1N1A2T5 HW8M6O7G3M9 ZY2C4L7U10B6数一常考题型和学问点归纳！其次篇 高等数学第一章 函数、极限、连续 摸索的鱼点拨“ 函数、极限、连续 ” 这一部分的概念及运算是高等数学的基数学一中本部分分数平均每年约占高等数学部分的10.本章的考题类型及学问点大致有： 1. 求函数的表达式：础 ,它们 是每年必考的内容之一, 1给出函数在某一区间上的表达式及某些条件,求该函数在另一区间上的表达式 数学 二 考过 ； 2 求分段复合函数的表达式 1990 一3 题考过,数学 二 考过多次 . 2. 数列的极限的概念懂得与运算定理： 1 数列极限的概念的懂得及

2、定义的等价表达 数学 二 考过 ； 2 运算定理的正确运用与性质的正确懂得 2022 二2 题 ； 3 求数列的极限：化成积分和式求极限 1998 七题 ；夹逼定理求极限 1998 七题, 2022 二7 题 ；单调有界定理求极限或争辩极限的存在性2022 三16 题, 2022 一4 题 ；化成函数极限求极限 2022 三16 题. 3. 函数的极限： 1 求七种待定型的极限 1998 一1 题, 1999 一 1 题, 2022 一1 题, 2022 一1 题,2022 三15 题, 2022 三题, 1997 五题 ； 2 运算定理的正确使用与性质的正确懂得 1997 一1 题, 202

3、2 三题, 2022 二8 题 ： 3 已知某些极限求其中的某些参数 2022 一 1 题 ； 4 已知某函数的极限,求与此有关的另一函数的极限 数学 二 考过 . 4. 无穷小的比较： 1 给了如干个无穷小,比较它们的阶的高低 2022 二7 题, 2022 一1 题 ； 2 给了两个无穷小,已知一个是另一个的等价 或高阶 无穷小,求其中的参数 2022 三1数一常考题型和学问点归纳！题. 5. 函数的连续与间断： 1 争辩初等函数的间断点及类型 数学 二 考过多次 ； 2 争辩分段函数的连续性或由连续性确定其中的参数 数学 二 考过多次 ； 3 函数以极限形式表达,争辩该函数的连续性 数学

4、 二 考过多次 ； 4 已知某些函数的连续性 间断点 ,争辩与此有关的另一些函数的连续性 间断点 数学 二 考过多次 ； 5连续函数介值定理的应用2022 三18 题, 2022 三18 题,数学 二 考过多次 .读者请留意,上面提到的类型,数学 一 有许多未曾考到,所以本章尚有相当大的命题空间. 其次,以后各章要用到本章内容,从而把握本章内容是特别基础、特别重要的 .其次章 一元函数微分学摸索的鱼点拨导 数与微分是微分学的基本概念,导数与微分的 运算是微分学的基本 计 算,导数与微分的应用 利用 导数争辩函数的性 质是微分学的基本内容,每年必考,本部分分数在数学中平均约占高等数学部分的 17

5、.本章的考题类型及学问点大致有： 1. 求导数与微分,导数的几何意义： 1 显函数求导数 未考过 ； 2 隐函数求导数 2022 一2 题, 2022 二10 题 ； 3 参数式求导数 1997 一3 题 ； 4 在直角坐标中求切线斜率、切线方程 2022 一1 题 ,2022 四题, 2022 三题, 2022 三17 题 ； 5 在极坐标中求切线斜率、切线方程 1997 一3 题 ； 6 奇、偶、周期函数的导数 2022 二8 题 ； 7 变限积分求导数 2022 四题, 1997 一 2 题, 1998 二1 题, 1999 二1 题, 1997 五题 ； 8 导数的变量变换 变量变换变

6、化微分方程 2022 七题 . 2. 按定义求一点处的导数,可导与连续的关系 . 1 争辩分段函数在分界点处的可导性或求导数 2022 二7 题 ；2数一常考题型和学问点归纳！ 2 按定义争辩某点的可导性 1999 二2 题 ； 3 已知某极限存在争辩某点可导,或反之,或利用导数求极限,利用极限求某点处的导数200l 二3 题； 2022 4 题； 2022 三18 题 ； 4 已知某点可导,求其中参数 2022 三题 ； 5 确定值函数求导数 1998 二2 题 ； 6 由极限表示的函数的可导性 2022 一7 题. 3. 争辩函数单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线、曲率： 1 单调性与极值

7、 2022 二1 题, 2022 二8 题 ； 2 增量、导数与微分的关系 1998 二3 题, 2022 二7 题 ；3 凹向与拐点 2022 三17 题 ； 4 渐近线 20221 题, 2022 一2 题 ； 5 曲率 1991 九题考过 . 4. 中值定理及其应用： 1 不等式的证明 2022 二1 题, 1999 六题, 2022 三15 题 ； 2 零点问题 2022 三18 题, 1998 九题, 2022 九题, 2022 三19 题 ； 3 有关函数与导数的关系 2022 二 1 题, 2022 二3 题, 2022 一5 题 ； 4 有关 “ 中值 ”的极限问题 2022

8、七题 ； 5 泰勒公式的应用 1999 六题, 2022 七题, 2022 三题 ； 6 中值定理的证明 2022 三18 题 .由上列举可见,本章的学问点及考题类型几乎全部考到,频率显现多的是：变限积分求导数,按定义求导,不等式与零点问题,泰勒公式的应用. 在按定义求导数时,应与使用洛必达法就的条件相区分 . 其他频率显现少的,也应留意,例如导数的几何意义、单调性与极值、绝对值函数求导数等 .第三章 一元函数积分学摸索的鱼点拨定 积分与不定 积分的概念及运算是 积分学的基 础 ,利用定积分表示与 计 算一些几何、物理量是 积 分学的基本 应用,每年必考,本部分分数在数学一中平均 约占高等数学

9、部分的 17.本章的考题类型及学问点大致有：3数一常考题型和学问点归纳！ 1. 不定积分与定积分的运算： 1 分段函数求不定积分 未考过 ； 2 分段函数求定积分与变限积分 数学 二 考过 ； 3 运算带确定值号的定积分 数学 二 考过 ； 4 运算般不定积分 2022 2 题, 2022 三题 ； 5 运算一般定积分 2022 一 1 题, 2022 二11 题： 6 运算反常积分 2022 1 题 ； 7 运算被积函数含有导数或变限积分的积分 2022 三17 题. 2. 定积分的应用： 1 几何应用 1997 二2 题, 2022 三题, 2022 一3 题, 2022 一 3 题, 2

10、022 三16 题,2022 三17 题 ； 2 物理应用 1997 七题, 2022 六题 ； 3 利用积分和式求极限 1998 七题 . 3. 定积分 变限积分 的证明题： 1 不等式问题 包括估值问题 1997 二2 题, 1997 二3 题 ； 2 零点问题 1998 九题, 2022 九题 ； 3 关于奇、偶函数、周期函数的证明题 1999 二1 题, 2022 二 8 题, 2022 三18 题： 4 变限函数关于单调性的题 2022 一3 题 ； 5 变限函数求导问题 1999 一2 题, 1998 二1 题, 1997 五题, 2022 一1 题 ； 6 积分中值定理的应用 2

11、022 九题 .本章虽然各类型大都考过,但变换具体函数去命题,考题空间仍很大,读者留意举一反三,把握一般方法 .第四章 向量代数与空间解析几何摸索的鱼点拨向量代数主要是向量的表示法与向量的代数运算加减、数乘、点积、叉积,空间锯 析几何主要是曲面与空 间曲线 的方程,重点是平面、直 线以及常 见曲面 球面、柱面以及旋 转面等 的方程,历年考 题中直接 对本部分命制的 题目不多,且多 为选择题 或填空 题.4数一常考题型和学问点归纳！本章的考题类型及学问点大致有： 1. 关于向量运算： 1 给出一些关系求另一些关系 1995 一3 考过 ； 2 两向量平行、垂直、交角、模等问题 未考过 ； 3 三

12、点共线与三向量共面问题 未考过 ； 2. 直线与平面问题 大都与空间曲面的切平面、空间曲线的切线相结合的问题 ： 1 求直线方程 1998 三题 ,2022 一2 题, 1992 二3 考过 ； 2 求平面方程 1997 四1 题, 2022 一2 题, 2022 一2 题, 1989 二2 题, 1990 一1题, 1991 一3 题, 1994 一2 题, 1996 一2 题都考过 ； 3 平面与直线的相对位置 平行、垂直、交角等 1993 二3 题, 1995 二1 题都考过 ； 4 点到平面的距离 2022 一 4 题, 1999 八题 . 3. 二次曲面的题 大都与第六章相结合,给出

13、二次曲面,要求知道它的位置及大致图形 . 二次曲面中常用的图形为椭球面 包括球面 、旋转抛物面、锥面、母线与坐标面平行的柱面 . 求旋转面的方程 2022 三17 题.由以上列举看出,近十年来本章单独考的不多,与第五章相结合的考过四次 . 应当说是属于不常考的章节 . 但基本公式、基本方法仍应把握 .第五章 多元函数微分学摸索的鱼点拨多元函数微分学包括有如干基本概念及其联系,多元函数的复合函数求导法及其 应用,梯度向量与方向 导数的 计 算方法,多元函数微分学的几何应用 求空 间曲 线的切 线、法平面与空 间曲面的切平面、法 线极 值判定与最 值问题 等,在历年考 试中多元函数微分学的平均分数

14、 约占高等数学的 l 7,也是比较重要的 .本章的考题类型及学问点大致有： 1.求偏导数,全微分,方向导数,梯度,散度,旋度：1994 3考过 ； 1给出具体函数关系的复合函数求偏导数或全微分 2给出抽象函数关系的复合函数求偏导数或全微分1998 一2 题, 2022 二9 题, 2022二10 题, 2022 四题, 2022 四题, 2022 二12 题, 2022 三15 题, 2022 二9 题 ； 3 给出方程经变量变换化简方程 1997 四2 题, 1996 四2 也考过 ； 4 给出具体的方程求隐函数的偏导数或全微分 199l 一2 考过 ；5数一常考题型和学问点归纳！ 5给出抽

15、象的方程 方程组 求隐函数的偏导数或全微分1999 三题 ；八题, 2022 6求方向导数,梯度,散度,旋度200l一 2 题, 2022 一3 题, 3.52022一2 题, 1992 一2 也考过 . 2. 函数在一点处极限的存在性,连续性,偏导数的存在性,全微分存在性与偏导数的连续性的争辩与它们之间的因果关系： 1 函数在点处极限不存在性争辩 1997 二1 题 ； 2 隐函数的存在性 2022 二 10 题 ； 3 偏导数的存在性 1997 二 1 题 ； 4 全微分的存在性 200l 二 2 题 ； 5 函数在一点处连续性,偏导数存在性,全微分存在性与偏导数的连续性的因果关系讨论20

16、22 二1 题 . 3.曲面的切平面,曲线的切线：2022 一2 题, 2022 一2 题, 1997 四1 题, 1999 八 1曲面的法向量、切平面与法线题, 1993 一2 也考过, 1994 一2 也考过 ；2 曲线的切向量、切线与曲线的法平面 2022 二2 题. 4. 极值与最值： 1 按定义争辩极值 2022 二 3 题 ； 2 极值的必要条件,驻点的争辩 2022 二10 题 ； 3 求极值 含拉格朗日乘数法 与最值 2022 八题, 2022 三17 题, 2022 三17 题, 2022三15 题； 4求隐函数的极值2022 三 19 题.由以上可见,本章各学问点大都考过,

17、主要是运算. 考题频率最高的是抽象函数关系的复合函数求偏导数,其次是方向导数,曲面的法向量与切平面 与空间解析几何相合 . 关于概念 见以上 “ 2” 方面的题,应引起留意 . 关于 “ 4”极值与最值的题,出题频率虽然不高,但有确定的综合性与难度,从考试结果看,这部分碍分不理想,考生不应忽视 .第六章 多元函数积分学摸索的鱼点拨多元函数 积分学包括各 类积 分的概念、 运算和 应用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其应用；平面曲线积 分与路径无关及全微分式的原函数问题 等 .在历年的考 试中多元函数 积 分学占有最重要的位置,平均分数 约占高等数学 总分的 14.6数一常考题型和学问点归纳

18、！本章的考题类型及学问点大致有： 1. 二重积分的运算及应用： 1 二重积分在直角坐标中的运算 单独未考过,在其他题中显现过 ； 2 二重积分在极坐标中的运算与直极互化 2022 二8 题, 2022 八题, 2022 三15 题,2022 三15 题 ； 3 交换积分次序 2022 一3 题, 2022 二10 题, 1990 一4 题考过 ； 4 确定值函数的二重积分 二次积分 的运算 未考过 ； 5 分块函数的二重积分 二次积分 的运算 2022 五题, 2022 三题 ； 6 利用对称性、轮换对称性化简运算 2022 五题, 2022 三15 题, 20222 题 ； 7 二重积分的证

19、明题与二重积分的估值 2022 五题 ； 8 三重积分的应用 2022 八题 . 2. 三重积分的运算及应用： 1 三重积分在直角坐标中的运算 单独未考过 ； 2 三重积分在球面坐标与柱面坐标中的运算 2022 一4 题, 2022 一3 题, 1997 三 1题, 2022 八题, 2022 八题, 2022 二12 题 ； 3 利用对称性、轮换对称性化简运算 2022 八题, 1995 三2 题考过 ； 4 三重积分的应用 2022 八题 . 3. 化多重积分为定积分： 1 化二重积分为变限积分求导问题 2022 二 10 题 ； 2 化二重积分为定积分求其中未知函数 数学 三1997 八

20、题考过 ； 3 化其它积分为定积分或二重积分的证明题 2022 五题, 2022 八题 . 4. 第一型曲线积分与第型曲面积分：1 运算 1999 八题, 2022 二11 题 ； 2 利用对称性、轮换对称性化简 1998 一3 题, 2022 二2 题, 2022 二14 题 ； 3 应用 未考过 . 5. 平面其次型曲线积分及应用： 1 用参数式运算 20223 题, 2022 五题, 2022 五题 ； 2 用格林公式或加、减弧段格林公式法 1999 四题, 2022 五题, 2022 三16 题 ；7数一常考题型和学问点归纳！ 3路径无关问题与原函数法1998 四题, 1999 四题,

21、 2022 六题, 2022 三19 题, 2022三19 题, 2022 一6 题 ； 4 与微分方程有关的问题 2022 三19 题 ； 5 挖洞法 2022 五题 ； 6 应用 1990 九题考过 . 6. 其次型曲面积分及应用： 1 用投影法运算 1998 六题, 2022 六题, 2022 三17 题 ； 2 用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法 2022 一4 题, 2022 一3 题, 1998 六题,2022 六题, 2022 三17 题, 2022 三18 题, 2022 二 12 题 ； 3 转换投影法或化成第一型曲面积分运算 2022 六题, 2022 三17 题 ； 4

22、挖洞法 2022 三19 题 ； 5 与微分方程有关的问题 2022 六题 . 7. 空间其次型曲线积分： 1 用参数式运算 1997 三2 题, 2022 六题 ； 2 用斯托克斯公式运算 1997 三2 题, 2022 六题 ；由以上可见,本章在数学 一 中的位置至关重要,考分占总分的 1 6,考得最多的是 1二重积分：包括极坐标中运算,交换积分次序,利用对称性、轮换对称性化简运算； 2 三重积分：包括在球面坐标、柱面坐标中的运算,利用对称性、轮换对称性化简运算； 3 平面其次型曲线积分：包括用参数式运算,用格林公式或加、减弧段格林公式运算,路径无关问题的争辩与路径无关问题运算该积分,原函

23、数法与求原函数,与微分方程相结合的题； 4 其次型曲面积分：包括用投影法运算,用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法运算,转换投影法运算或化成第一型曲面积分运算,与微分方程相结合的题 .以上各类题的运算,都有一套规范的方法. 关键是选择便利而有效的方法,可以起到事半功倍的作用 . 以上诸项中, “ 3”以及 “ 53 ” ,有时涉及一些理论,可能会有点困难 . 但是,正如俗语所说 “ 熟能生巧 ” ,熟了也就不难了 .第七章无穷级数摸索的鱼点拨级 数部分包括 级数的如干基本概念,判别级 数的 敛散性 包括条件收 敛与确定 收敛 的各种数一常考题型和学问点归纳！方法,幂级 数的收 敛性与和函数的性质

24、,幂级 数收 敛域的求法,求 幂级 数的和函数与求函数的幂级数开放式的方法, 仍有傅里叶 级数和它的和函数等 数学 总 分的 l 6.此部分在 历年试题 中的平均分数 约占高等如分 为数值级 数、幂级 数与傅氏 级数三大部分, 就幂级 数部分考得最多,占 级数总 分的一半仍强 ,求幂级 数的收 敛域,实质 上就是 级数敛散性的判定,如把它划入 级数敛散性判定部分, 这部分的分数将接近 级数 总分的一半 .求一般函数 项级 数的收 敛域在考 试大纲中也是要求的,但从未考 过.不过这 个问题实质 上也是级数 敛散性的判定 问题 .本章的考题类型及学问点大致有： 1. 数项级数判敛： 1 给出具体的

25、数项级数判敛 1999 二3 题考过, 1992 二2 题考过, 1995 二4 题考过； 2 已知某抽象数项级数的敛散性,争辩与此有关的另一些级数的敛散性 2022 二3 题,2022 二2 题, 2022 二 9 题, 2022 二9 题, 2022 一4 题 ； 3通项由某些条件 具体或抽象 给出,争辩该级数的敛散性1997 六题, 1998 八题,1999 九题, 2022 三18 题 ； 4争辩交叉级数或任意项级数的敛散性2022 七题 . 2.关于幂级数：2022 七题, 2022 三16 题, 2022 二11 题, 1求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域1995 一4 题考过

26、； 2 已知幂级数在某点收敛或发散或条件收敛,或已知收敛半径,争辩另一与此有关的幂级数在另一点处的敛散性,或求收敛半径、收敛区间 的范畴 1997 一2 题 ； 3将函数开放成xx 0的幂级数并求收敛域,并求某数项级数的和2022 五题, 2022 四题, 2022 三17 题 ；4 求幂级数的和函数或可通过幂级数求和的数项级数求和 过 ；2022 三16 题, 1990 四题考 5 验证或设某幂级数中意某微分方程从而求此幂级数的和函数 2022 七题, 2022 三20 ； 6 求某些数项级数的和 1999 九题, 2022 三16 题. 3. 傅里叶级数： 1 求傅里叶系数或傅里叶级数 2

27、022 一3 题, 2022 三19 ,1991 五题考过, 1993 一3题考过 ；9数一常考题型和学问点归纳！ 2 按正弦开放或按余弦开放求其傅里叶系数或傅里叶级数 1995 四2 题考过 ； 3 按狄利克雷定理求傅里叶系数在某点的收敛和 1999 二3 题, 1989 二4 题考过,1992 一3 题考过 ； 4 由傅里叶级数争辩与此有关的另一些数项级数的和 2022 三19 题, 1991 五题考过 由以上可见,数项级数判敛问题中的 11 ,早期考过几次,后来不考了 . 近期考得多的是12 与 13. 函数开放成幂级数并争辩其成立范畴,以及简洁幂级数求和,仍是考试热点,考生对此应引起足

28、够重视. 函数开放成幂级数接受间接开放法,有一套规范步骤. 简洁幂级数求和,虽说有一点难度,但作为考研来说,处理的手法仍是有法可依. 傅里叶级数的考题较简洁,由于求傅里叶级数运算量大,所以考得较少,按狄利克雷定理求某点处的收敛和,相对说来考得较多,考生对此应足够重视.第八章常微分方程摸索的鱼点拨微分方程 问题 是积 分问题 的延长,有着极 为广泛的 应用,是历年考研必考内容 .在高等数学部分,微分方程在数学一中平均每年所占分数 约为 15 .本章的考试类型及学问点大致有： 1.12 种典型类型求解以及自由项为特别情形时的线性非齐次方程特解 y的设定： 1 一阶 5 种类型求解 2022 2 题

29、, 2022 一2 题, 2022 二9 题, 1992 一4 题, 1993二4 题, 1993 三3 题, 1994 五题均考过 ； 2二阶可降阶3 种类型求解 2022 一3 题, 2022 一3 题；3 题, 2022 二 3二阶及高阶常系数线性齐次方程与非齐次方程3 种类型求解 1999 13 题, 2022 一 3 题, 2022 二10 题 ； 4 欧拉方程求解 2022 一4 题 ； 5y的设定 数学 二 考过 . 2. 线性非齐次微分方程与对应的线性齐次微分方程的解的关系： 1 已知非齐次方程的解求对应的齐次方程的 通 解 未考过 ； 2 已知非齐次方程足够多的解求该非齐次方

30、程的通解 1989 二3 题考过, 2022 数学 三 、 四 考过 . 3.已知 通 解求微分方程： 未考过 ； 求该方程 2022 1未说明方程是什么形式,已知通解求微分方程 2已知二阶 或一阶或更高阶 线性方程的通解 或如干个线性无关的特解10数一常考题型和学问点归纳！1 题, 2022 二10 题. 4. 自由项为确定值函数或有间断点的函数的线性微分方程求解： 1 自由项为确定值函数的情形 未考过 ； 2 自由项为有跳动间断点的函数的情形 数学 三1999 六题考过 . 5. 经变量变换解微分方程： 1 经反函数变量变换 2022 七题 ； 2 给出已知的变量变换 数学 二 考过多次

31、. 6. 将积分方程或偏微分方程化成微分方程求解：1 积分方程化为微分方程求解 1991 二2 考过 ； 2 偏微分方程化为微分方程求解 1997 四2 题, 2022 三18 题 . 7. 微分方程的应用 1 几何方面 1999 五题, 1995 五题考过, 1996 六题考过 ； 2 物理方面 1998 五题, 2022 三16 题 ； 3 变化率方面 1997 三3 题, 2022 八题 .由上可见,本章常考的是“ 1”与“ 7” . 有许多类型未命过题或很少命题,命题空间很大,例如 15 ,4,以及 6 可以与其他章节结合来命题,值得重视 .第三篇 线性代数第一章 行列式摸索的鱼点拨行

32、列式在整个 试卷中所占比重不是很大,一般以填空 题 ,选择题为 主,但它是必考内容当然,不只是考 查行列式的概念、性 质、运算,仍会涉及到其他各章、 节的内容,例如矩 阵的可逆、矩 阵的秩、向量的 线性相关性、 线性方程 组、矩阵的特点 值 、正定二次型等等,假如 试 卷中没有独立的行列式的 试题 ,那必定会在其他章 节的试题 中得到体 现. 1.一般有关行列式的试题有两大类：运算题和判定题行列式的运算题. 例如：运算行列式11数一常考题型和学问点归纳！运算行列式的值这类属于数字型的直接运算题,一般利用性质,消零开放或消零化成上 下 三角形行列式即可解决 .多数行列式的试题,属于与后续章节有关

33、的、抽象型的行列式的运算题,如 1.1 题, 1.2题这类题增加了考核的学问点,有确定的综合性. 要求考生充分利用题设条件,通过学问的内在联系,化简、运算,最终得出所求行列式的值 .2 行列式的判别题,主要是判别行列式是否为零. 例 2.1 题,由于行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩,对方程组 An n X=O是否有非零解,An n X=b 是否有唯独解,对 A中的列 行 向量组是否线性相关等都起到了“ 分水岭 ” 的作用,会引起矩阵重要性质的变化 .A n n 是否为零,除直接运算出A=O或 0 ,或运算出A =kA ,其中k 1, A n n =0 0 . An n 不行逆 可逆 .

34、rAn ,不满秩 =n ,满秩 . An n X=O有非零解 只有零解 . An n X=b 有唯独解 解不唯独；可能无解；如有解,就为无穷解 . An n 的 n 个行 列 线性相关 线性无关 留意这些都是充分必要条件,可以相互判别 .其次章 矩阵摸索的鱼点拨矩 阵及其运算是 线 性代数的核心,后 续各章的基 础,考点较 多,重点考点是逆矩 阵 、相伴矩阵及矩 阵方程,这几年 仍频频 显现初等 变换 与初等 阵的试题 ,应 留意到的大致有以下几部分内容. 1.基本运算：要搞清概念,娴熟把握运算规章并保证运算的正确性,重点关注以下几点. 1搞清能否运算,怎样运算,运算结果是什么.12数一常考题

35、型和学问点归纳！ 2 搞清数的运算、行列式的性质,与矩阵运算的区分 . 3 充分利用运算规章,如运算中结合律、支配律的利用,但矩阵运算没有交换律,消去律. 2. 逆矩阵：懂得逆矩阵的概念,把握运算法就,把握矩阵可逆的充分必要条件,会证矩阵可逆,并能正确求出逆矩阵 .求逆矩阵的方法：对数值矩阵,一般有 1 公式法 . A-1 =1/ A A ,特别适用二阶矩阵；2 初等变换法 . A BEA . 对抽象矩阵,一般有 3 定义法,化成 AB=E,就 A 可逆,且 A-1=B；4 化成已知可逆矩阵的乘积,即如化成 A=BC,其中 B,C均是可逆阵,就 A可逆,A-1=BC-1=C-1B-1.证明 A

36、 可逆的方法： A 可逆 . A 0 . AX=0有唯独零解 . AX=b有唯独解 . rA=n . A 的行 列 向量组线性无关,或用反证法 . 3. 相伴矩阵 A：懂得相伴矩阵的概念,留意 Ai j 与 A的联系,能娴熟得出 A,A-1,A,A -1,A,A之间的关系,如1A=A n-1,2 如 A 可逆, A-1=1/ A A, A=A A-1.如公式中将 A代入 kA 时,有kAkA=kA E, 得kA =kn-1 A；如公式中将 A代入 A时,有AA=AE ,得 A=A n-2A.A的秩只有 n,1,0 三种可能,且 4. 矩阵方程：矩阵方程的试题较多,这类试题具有定的综合性,既考查

37、了利用矩阵运算法就、性质等把方程化简,又考查了具体的数值运算. 解这类试题要求分二步走,“ 先化简 ” ,写出所求矩阵的最简表达式,再代入具体的数值矩阵,进行数值运算 如题 2.3.5. 初等变换、初等阵、矩阵的秩及等价矩阵懂得初等变换的概念,明白初等阵及其性质,能将矩阵的初等变换表达成矩阵乘初等阵,反之能将矩阵乘初等阵翻译成作初等变换 如题 2.1 2.3懂得矩阵秩的概念,把握用初等变换求秩及逆矩阵的方法6. 分块阵：明白分块阵及其运算,会求分块对角阵的n 次幂及分块对角阵的逆等.13数一常考题型和学问点归纳！第三章 向量摸索的鱼点拨向量 组的线性相关性是 线性代数中的 难点,也是考 试的重

38、点,考生 应深刻懂得 线性相关性的内在的含 义外,仍应 与线 性表出、向的秩及 线 性方程 组等相 联 系,从各个 侧面加 强对线 性相关性的懂得 .本章试题大致有以下四个部分 : 1. 向量的线性表出向量 能否由向量组 1, 2, s,线性表出 . 方程组 1x1+2x2+ s x n= 1, 2, sX=An s X= 是否有解,其解即是表出系数 . rA 和 rA 是否相等 .如 1, 2, s 线性无关, 1, 2, s, 线性相关,就 可由 1, 2, s线性表出,且表出法唯独 .如 1, 2, s 线性相关,就至少存在一个向量 i 可由其余向量线性表出 .向量组 I 1, 2, s

39、中任一个向量 i 1 , 2, , s 都可由 1, 2, s线性表出,称向量组 I 可由向量组 线性表出,两组向量可以相互表出,就称两向量组等价,等价向量组等秩,反之不成立 . 2. 向量组线性相关性的判别和证明要说明或证明向量组 1, 2, s 线性相关,只要求出 观看出 有不全为零的数k1,k 2, k s,使 k1 1+k2 2+ +ks s=0. 即说明或证明方程组有 k1 1+k2 2+ +k s s=0 有非零解 .证明一组向量1,2, s 线性无关,有两类题型：1 如题设条件中只有一组向量 附有一些其他条件 ,就应利用定义证明 实质上是反证法 ；2 如已知一组向量线性无关,要证

40、另一组向量也线性无关,就可以用定义证明,也可以用等价向量组、秩、方程组等方法证明 例题 2.5. 3. 求向量组的极大线性无关组及向量组的秩应懂得向量组的极大线性无关组的概念,并把握其求法就向量组 1,2, s和 1,2, s是等价向量组,等价向量组等秩.A=1,2, s 1,2, s ,14数一常考题型和学问点归纳！就 1,2, s与 1,2, s中任何对应的部分向量组有相同的线性相关性.向量组极大线性无关组不唯独,但极大无关组的向量个数是唯独的,此数即是向量组的秩 . 4 向量空间,要求明白向量空间、子空间、解空间,基、维数,坐标等概念,明白基变换公式、坐标变换公式,会求过渡矩阵,把握施密

41、特标准正交化方法,这部分内容相对试题较少,从 1987 年考研数学统考以来,共出过 4 题,二个题是过渡矩阵的 例题 1.1 ,一题是求解空间的标准正交基,一题是求一个向量在一组基下的坐标 .第四章 线性方程组摸索的鱼点拨本章要求懂得 线性 齐次方程 组有非零解、唯独零解, 线性非 齐次方程 组无解、唯独解、无 穷多解的充分必要条件,懂得 线性齐次方程 组的基 础解系、通解、解空 间 的概念,把握求解的方法,并会求解,懂得非 齐次线性方程 组解的 结构及通解的概念,并会求解 .本章试题大致有三种类型： 1. 判别齐次方程组是否有非零解,非齐次方程组 AX=b是否无解、唯独解、无穷多解 Am n

42、 X=O有非零解 唯独零解 . rAn=n . A 的列向量组线性相关 线性无关 .Am n X=O无解 . rA rAb . 唯独解 . rA=rA b=n .无穷多解 . rA= rA b=rn .当 A 是 n n 矩阵时,仍可用A =O或 0 判别 例题 1.1 ,并说明解的几何意义 .判别某向量,或某向量集合是否是方程的解或方程组的通解,及两个方程组是否同解等 例题 2.1. 2. 求解线性齐次方程组的基础解系和通解 例题 3.5 ,求解非齐次方程组的通解 例题 3.6 包括含有参数时,有解情形的争辩 ,求解方程组时,请留意每个步骤的正确性 . 步骤如下： 1 抄对系数矩阵或增广矩阵

43、； 2 正确进行初等行变换,含有参数时,要选择合适的消元的次序； 3 全面争辩参数的取值与解的关系； 4 认定 rA 即独立未知量,独立方程个数 ,认定自由未知量,并赐予合适的特定值,回代方程,求得基础解系及齐次通解 或先求通解,后得基础解系 ； 5 求非齐次特解,解的结构,求出非齐次通解 .15数一常考题型和学问点归纳！并应留意到方程组Am n X= 1, 2, nX=其齐次方程组的解是向量组 1, 2, n 的线性相关的线性组合系数,非齐次特解 及通 是 由 1, 2, n线性表出的表出系数 例题 3.3.当 AB=0时, B的列向量是 AX=0的解向量 例题 3.6.3. 证明某组向量是

44、方程组的基础解系 例题 3.1 ,3.2. 向量组 1, 2, s是方程组AX=0的基础解系要中意三条, A i=0i=1 ,2,3, s , 1, 2, n线性无关,s=n-rA .第五章 特点值、特点向量摸索的鱼点拨特点 值、特点向量是 线 性代数的重要内容,是考研的重点之一 .共有三部分要求： 1. 懂得特点值、特点向量的概念和性质,会求矩阵 An n 的特点值、特点向量,一般求An n 的特点值、特点向量有两条思路 . I 利用定义,求中意定义 A = 0 的 和 ,一般适用于抽象矩阵 .如 An n 有特点值 ,对应的特点向量为 ,就利用定义可求得 A2,Ak,fA 是多项式 的特点

45、值为 2, k,f 当 A可逆时,就 A-1,A, ,对应的特点值为 1/ , A/ , , 如题 1.1 ,特点向量仍是 . 利用特点方程求 EA =0,再由 E A x=0 求出基础解系得对应于 的线性无关特点向量,一般适用于具体的数值矩阵 .明显对角阵,上、下三角阵的特点值为对角元素 特点向量是什么 . 当 rA=r0. 即正定,二次型正定性的证明般用定理 正定的充分必要条件 ,最终的方法是用定义 .4 两个二次型 或实对称阵 合同 . 有相同的正、负惯性指数 . 相同的正惯性指数和秩 .第四篇 概率论与数理统计17数一常考题型和学问点归纳！第一章 随机大事和概率摸索的鱼点拨本章的重点在大事的关系和运算,概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式、大事的独立性等近几年 单独出本章的考 题较 少,但大多作 为基本知 识点出 现在以后各章的考 题中大多数考生 对本章中的古典型概率感到困 难对古典型概率和几何型概率只要会 运算一般难度的 题型就可以,不必刻意去做各种 较复杂的题型由于古典型概率和几何型概率 到底不是重点,应当 将本章重点中有关的基本概念、基本理 论和基本方法懂得 完全和熟 练 把握其次章 随机变量及其分布摸索的鱼点拨本章的重点是随机 变量及其分布函数的概念和性 质,分布律和概率密