2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷)3

1、绝密 启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2017全国3,文1)已知集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,则AB中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析由题意可得AB=2,4,则

2、AB中有2个元素.故选B.答案B2.(2017全国3,文2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.答案C3.(2017全国3,文3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至1

3、2月,波动性更小,变化比较平稳解析由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.答案A4.(2017全国3,文4)已知sin -cos =43,则sin 2=(A.-79B.-29C.29解析sin 2=2sin cos =(sin-cos)答案A5.(2017全国3,文5)设x,y满足约束条件3x+2y-60,A.-3,0B.-3,2C.0,2D.0,3解析画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.答案B6.(2017全国3,文6)函数f(x)=15sin

4、(x+3)+cos(x-6)的最大值为A.65B.1C.35D解析因为cosx-6=cos2-x+3=sinx+3,所以f(x)=15sinx+3+答案A7.(2017全国3,文7)函数y=1+x+sinxx2的部分图像大致为解析当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 12,故排除A,C;当x+时,y+,故排除B,满足条件的只有D,故选D.答案D8.(2017全国3,文8)执行右面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5B.4C.3D.2解析程序运行过程如下表所示:SMt初始状态01001第1次循环结束100-102第2次循环结束9013此时S=90b0

5、)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0A.63B.33C.23解析以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2abb整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而答案A12.(2017全国3,文12)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2-x-1+e-(2-x)+1=

6、x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图像的对称轴.f(x)有唯一零点,f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12答案C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2017全国3,文13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m=.解析ab,ab=(-2,3)(3,m)=-23+3m=0,解得m=2.答案214.(2017全国3,文14)双曲线x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线方程为y=3解析由双曲线的标准方程可得

7、其渐近线方程为y=3ax.由题意得3a=35答案515.(2017全国3,文15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=6,c=3,则A=.解析由正弦定理得bsin即sin B=bsin因为bc,所以B0,则满足f(x)解析由题意得当x12时,2x+2x-121恒成立,即x12;当01恒成立,即01,解得综上,x的取值范围是-1答案-三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(2017全国3,文17)(12分)设数列an满足a1+3

8、a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n+1解(1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.所以an=22n-1(又由题设可得a1=2,从而an的通项公式为an=22(2)记an2n+1的前n由(1)知an则Sn=11-13+18.(12分)(2017全国3,文18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不

9、低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶

10、,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为2+16+3690=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为36+25+7+490=0.因此Y大于零的概率的估计值为0

11、.8.19.(12分)(2017全国3,文19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.解(1)取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由题设知AEC为直角三角形

12、,所以EO=12AC又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=12BD故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为120.(12分)(2017全国3,文20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解(1)不能出现ACBC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2

13、=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1x1所以不能出现ACBC的情况.(2)BC的中点坐标为x22,12,可得BC的中垂线方程为y-由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-m2联立x又x22+mx2-2=0,所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为-m2,-12故圆在y轴上截得的弦长为2r2-即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.21.(12分)(2017全国3,文21)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0,故f(x)在(0,+)单调递增.若a0,则当x0,-12a时,

14、f(当x-12a,+时,f故f(x)在0,-12a单调递增,(2)由(1)知,当a0;当x(1,+)时,g(x)0时,g(x)0.从而当a0时,ln-12a+即f(x)-34a-(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.(10分)(2017全国3,文22)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt,(t为参数),直线l2的参数方程为x=-2+m,y=mk,(m为参数).(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.解(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2)设P(x,y),由题设得y消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,).联立得cos -sin =2(cos +sin ).故tan =-13,从而cos2=910,sin2=代入2(cos2-sin2)=4得2=5,所以交点M的极径为5.23.(10分)(2017全