边界元法课件

1、Boundary Element Method1第一章 绪 论工程中边界元法 边界积分方程离散法当代三大数值解法之一2边界元法特征奇异降维数值解法2阶微分方程转换边界积分方程降维 降阶奇异矩阵非对称 满阵3边界元法发展史始于1978年Brebbia 1 C. A.等（英国南安普敦大学）边界元法的基础和应用跻身于当代计算力学数值解析理论与工具（有限差分法、有限元法、边界元法）之林4应用领域土木建筑工程机械工程海洋工程航天工程环境工程强、弱电工程生物工程推动各工程理论解析和创新技术的发展发挥了巨大作用51.简史边界元法有了迅速的发展（高性能、大容量微机出现）大型和非线性科学工程结构静力学裂纹的生成

2、及扩展流体运动骨骼生长接触问题等研究领域6国内简史在国内，1978年起步杜庆华院士率先推动工程中边界元法冯康、胡海昌、何广乾院士等加入到边界元法的研究者行列我国边界元法研究得到了迅速的发展7研究起点和热点我国大部分工程中边界元法固体力学方面开始后迅速转入非线性问题领域出版自然边界元法19938弹塑性BEM弹塑性问题的边界元法Swedlow Cruse 和Mendelson上世纪70年代初分别给出二维弹塑性问题的边界积分方程Mukherje和Kumar提出平面问题公式中的错误并作了修正Tells和Brebbia给出了边界应力的计算方法和奇异积分的数值处理方案。岑章志博士采用初应力形式给出三维弹塑

3、性问题边界元法，取得奇异积分的计算法及加速收敛方法9弹塑性BEM陈政清博士给出弹塑性大变形边界元法完成了拉伸试件颈缩定量数值模拟肖宏博士建立三维弹塑性有限形变边界元法和轧制过程模拟边界元法源程序给出板带轧制过程变形面力应力场很好的处理奇异问题10规模局限性典型边界元法计算结构（边界积分方程影响系数数值积分矩阵方程及消去法求解）局限性系数积分计算和方程组的求解时间长，占用大量的计算机内存和主机CPU的时间抵消边界元法降维特性对单一三维弹性体静力学问题，当离散网格节点数超过2000时，因计算时间过长而失去可行性工程接触问题的矛盾更加突出，如果再叠加弹塑性和摩擦非线性，在微机上将无法得到收敛解11研

4、究热点与方向边界元法发展至关重要问题扩大运算规模提高计算效率普遍注意到边界元法求解过程运算量主要集中在两个方面影响系数计算和方程组求解法 1）分域法2）网络并行法3）多极展开法122. 多极边界元法多极展开法（Fast Multipole Methods，简称FMM方法）求和项的近似计算方法计算的近似程度和展开的项数密切相关直接计算的计算量和n2成正比上世纪80年代后期Greengard等 提出快速多极展开法，基于球谐函数在空间中的多级展开，采用递归算法结构使计算量级降为一阶1999年底 清华大学的姚振汉教授在国内介绍了多极展开法在边界元法的应用 13多极展开法FMM法来源于计算电荷集中各个电

5、荷间相互作用力的方法，如二维静电模等离子体粒子模拟Rokhlin将多极展开法用于Laplaces边界积分方程的迭代求解在二维问题中运算等价点是 三维椭圆边值问题中等价点是 最近，Greengard and Rokhlin提出了三维多极展开法，并且将其运算等价点降为 14多极边界元法简史G. etal给出二维双调和方程的多极边界元法Peirce and Napier给出二维线弹性Navier方程多极边界元法，计算效率较差Sangani and Mo对三维低雷诺数方程（Stokess方程）的积分方程适应多极展开法，或者使多极展开法适应积分方程，上述适应变换是繁琐而往往使问题特殊化，因为刚性质点，不

6、能扩展到三维线弹性问题Greenbaum etal的多极边界元法方法不能扩展到三维问题15国内多极边界元法近几年在国内银燕等将多极展开法用于无网格等离子体静电模粒子的模拟王浩刚对多极展开法中不变项的计算进行了优化清华大学姚振汉教授课题组率先将泰勒级数展开式适用于2维弹性问题边界元法中，模拟了复合材料不同粒子变形应力场燕山大学申光宪教授课题组将域多极展开法扩展至边界展开法，给出3维弹塑性摩擦接触多极边界元法，完成四辊轧机板带轧制模拟计算163. 轧制工程中边界元法轧制理论板带和轧辊耦合轧制理论重要的研究方向轧制过程数值模拟 有限差分法主要的方法有：有限元法 边界元法17板带和轧辊轧制理论回顾起始

7、于20世纪40年代Hitchcock给出轧辊弹性压扁公式20世纪50年代Stone提出平板压缩与Hitchcock压扁公式相结合的二维薄带轧制耦合理论、轧制力公式及最少可轧厚度公式20世纪80年代户泽康寿与石川孝司首次用有限差分法求解3维轧制控制方程，给出了轧制变形区三维变形场和应力、面力场18户泽石川轧制模型19柳本木内轧制模型20世纪90年代初柳本潤和木内学给出拉格朗日乘数3维刚塑性有限元法和流线速度接触弹性有限元法耦合计算宽厚比为15和238给出变形区内三维6个应力分量分布单位轧制压力分布图中看到 “猫耳”形凸峰趋势显出变形区入口和出口单位轧制压力不等于零（刚塑性有限元法模拟带钢变形的结果）20模拟算例21耦合轧制接触模型边界元法陈一鸣在肖宏和黄庆学等人基础上给出3维弹塑性摩擦接触边界元法及滚动轧制FORTRAN源程序将板带的弹塑性变形同轧辊弹性变形耦联起来，“同时”、“并行”模拟轧制过程给出了9组不同轧制参数、宽厚比为200板带冷轧过程数值模拟结果带材边部出现了明显的“猫耳”形凸峰22轧制压力分布23接触区表面摩擦力分布24压下率与轧制压力关系（横向）25压下率与轧制压力关系（纵向）26耦合轧制理论动态(1)建立四辊轧机三物体