2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)理

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页,第卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷一、选择题:本大题

2、共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013江西,理1)已知集合M=1,2,zi,i为虚数单位,N=3,4,MN=4,则复数z=(). A.-2iB.2iC.-4iD.4i答案:C解析:由MN=4,得zi=4,z=4i=-4i.故选2.(2013江西,理2)函数y=xln(1-x)的定义域为().A.(0,1)B. 0,1)C.(0,1D.0,1答案:B解析:要使函数有意义,需x0,1-x0,解得0 x1,即所求定义域为3.(2013江西,理3)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于().A.-24B.0C.12D.24答案:A解析

3、:由题意得:(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或-1.当x=-1时,3x+3=0,不满足题意.当x=-3时,原数列是等比数列,前三项为-3,-6,-12,故第四项为-24.4.(2013江西,理4)总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01答案:D解析:选出的5个个体的编号依次是08

4、,02,14,07,01,故选D.5.(2013江西,理5)x2-2x3A.80B.-80C.40D.-40答案:C解析:展开式的通项为Tr+1=C5rx2(5-r)(-2)rx-3r=C5r(-2)rx10-5r.令10-5r=0,得r=2,所以T2+1=C52(-2)6.(2013江西,理6)若S1=12 x2dx,S2=12 1xdx,S3=12 exdx,则S1,S2A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2所以S2S1S3,故选B.7.(2013江西,理7)阅读如下程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为().A.S=2*i-2B.S=2*i-1C

5、.S=2*iD.S=2*i+4答案:C解析:当i=2时,S=22+1=5;当i=3时,S=23+4=10不满足S10,排除选项D;当i=4时,S=24+1=9;当i=5时,选项A,B中的S满足S10,继续循环,选项C中的S=10不满足S10,退出循环,输出i=5,故选C.8.(2013江西,理8)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=().A.8B.9C.10D.11答案:A解析:由CE与AB共面,且与正方体的上底面平行,则与CE相交的平面个数m=4.作FO底面CED,一定有面EOF平行于正

6、方体的左、右侧面,即FE平行于正方体的左、右侧面,所以n=4,m+n=8.故选A.9.(2013江西,理9)过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于(A.33B.-33C.33答案:B解析:曲线y=1-x若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率k0,设l:y=k(x-2),则点O到l的距离d=-2又SAOB=12|AB|d=1221-d2d=(1-d2)d21-d2+d22=12,当且仅当1-d2=d2,即d210.(2013江西,理10)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,ll1,

7、l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0 x0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF答案:6解析:抛物线的准线方程为y=-p2,设A,B的横坐标分别为xA,xB,则|xA|2=|xB|2=3+p42,所以|AB|=|2xA|.又焦点到准线的距离为p,由等边三角形的特点得p=32|AB|,即p2=34三、选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.15.(2013江西,理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为x=t,y=t2(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,

8、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线答案:cos2-sin =0解析:由参数方程x=t,y=t2得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.由公式x=cos,y=sin(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|x-2|-1|1的解集为.答案:0,4解析:原不等式等价于-1|x-2|-11,即0|x-2|2,解得0 x4.四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(2013江西,理16)(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-3sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求

9、b的取值范围.解:(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-3sin Acos B=0,即有sin Asin B-3sin Acos B=0,因为sin A0,所以sin B-3cos B=0,又cos B0,所以tan B=3,又0B,所以B=3(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.因为a+c=1,cos B=12,有b2=3a又0a1,于是有14b20,Sn=n2+n.于是a1=S1=2,n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上,数列an的通项an=2n.(2)证明:由于an=2n,bn=n+1(则bn=n+14Tn=11

10、61=11611618.(2013江西,理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率;(2)求X的分布列和数学期望.解:(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C82=28X=0时,两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)=828(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-

11、2时,有2种情形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形.所以X的分布列为:X-2-101P1522EX=(-2)114+(-1)514+027+1219.(2013江西,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,DABDCB,EA=EB=AB=1,PA=32,连接CE并延长交AD于F.(1)求证:AD平面CFG;(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.解:(1)在ABD中,因为E是BD中点,所以EA=EB=ED=AB=1,故BAD=2,ABE=AEB=因为DABDCB,所以EABECB,从而有FED=BEC=AEB=

12、3所以FED=FEA,故EFAD,AF=FD,又因为PG=GD,所以FGPA.又PA平面ABCD,所以CFAD,故AD平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C32,32,0,D(0,3,0),设平面BCP的法向量n1=(1,y1,z1),则1解得y1=-33,设平面DCP的法向量n2=(1,y2,z2),则-32即n2=(1,3,2).从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos =|n20.(2013江西,理20)(本小题满分13分)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P1,(1)求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦

13、点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数,使得k1+k2=k3?若存在,求的值;若不存在,说明理由.解:(1)由P1,32在椭圆上得,1依题设知a=2c,则b2=3c2,代入解得c2=1,a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为x2(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1),代入椭圆方程3x2+4y2=12并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=8k24k2+3,x1在方程中令x=4得,M的坐标为(4,3k).从

14、而k1=y1-32x1-1,k2=y注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF,即有y1所以k1+k2=y=2k-32x1代入得k1+k2=2k-328k又k3=k-12,所以k1+k2=2k3故存在常数=2符合题意.(2)方法二:设B(x0,y0)(x01),则直线FB的方程为:y=y0 x0令x=4,求得M4,从而直线PM的斜率为k3=2y联立y=得A5x则直线PA的斜率为:k1=2y0-2x0+52(x所以k1+k2=2y0-故存在常数=2符合题意.21.(2013江西,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=a1-2x-(1)证明:函数f(x)的图像关于直线x=12对称(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为函数f(x)的二阶周期点.如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;(3)对于(2)中的x1