2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)文

1、大纲全国文科1.(2012大纲全国,文1)已知集合A=x|x是平行四边形,B=x|x是矩形,C=x|x是正方形,D=x|x是菱形,则(). A.ABB.CBC.DCD.ADB正方形组成的集合是矩形组成集合的子集,CB.2.(2012大纲全国,文2)函数y=(x-1)的反函数为().A.y=x2-1(x0)B.y=x2-1(x1)C.y=x2+1(x0)D.y=x2+1(x1)Ay=,y2=x+1,x=y2-1,x,y互换可得:y=x2-1.又y=中x-1,y0.反函数中x0,故选A.3.(2012大纲全国,文3)若函数f(x)=sin(0,2)是偶函数,则=().A.B.C.D.Cf(x)=s

2、in是偶函数,f(0)=1.sin=1.=k+(kZ).=3k+(kZ).又0,2,当k=0时,=.故选C.4.(2012大纲全国,文4)已知为第二象限角,sin =,则sin 2=().A.-B.-C.D.Asin =,且为第二象限角,cos =-=-.sin 2=2sin cos =2=-.故选A.5.(2012大纲全国,文5)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1C焦距为4,即2c=4,c=2.又准线x=-4,-=-4.a2=8.b2=a2-c2=8-4=4.椭圆的方程为:+=1.故选C.6.(2012大纲全国,文6

3、)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=().A.2n-1B.C.D.BSn=2an+1,Sn-1=2an(n2),两式相减得:an=2an+1-2an,=.数列an从第2项起为等比数列.又n=1时,S1=2a2,a2=.Sn=a1+=1-=.7.(2012大纲全国,文7)6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有().A.240种B.360种C.480种D.720种C由题意可采用分步乘法计数原理,甲的排法种数为,剩余5人进行全排列:,总的情况有:=480种.故选C.8.(2012大纲全国,文8)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1

4、D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为().A.2B.C.D.1D连结AC交BD于点O,连结OE.AB=2,AC=2.又CC1=2,则AC=CC1.作CHAC1于点H,交OE于点M.由OE为ACC1的中位线知,CMOE,M为CH的中点.由BDAC,ECBD知,BD面EOC,CMBD.CM面BDE.HM为直线AC1到平面BDE的距离.又ACC1为等腰直角三角形,CH=2.HM=1.9.(2012大纲全国,文9)ABC中,AB边的高为CD,若=a,=b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则=().A.a-bB.a-bC.a-bD.a-bDab=0,ab.又

5、|a|=1,|b|=2,|=,|=.|=.=(a-b)=a-b.10.(2012大纲全国,文10)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=().A.B.C.D.C设|PF2|=m,则|PF1|=2m,由双曲线定义:|PF1|-|PF2|=2a,得2m-m=2,m=2.又2c=2=22=4,由余弦定理可得:cosF1PF2=.11.(2012大纲全国,文11)已知x=ln ,y=log52,z=,则().A.xyzB.zxyC.zyxD.yz1,y=log52=,且e0=1,yzx.12.(2012大纲全国,文12)正方形A

6、BCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为().A.8B.6C.4D.3B如图,由题意:tanBEF=,=,X2为HD中点,=,X3D=,=,X4C=,=,X5H=,=,X6A=,X6与E重合,故选B.13.(2012大纲全国,文13)的展开式中x2的系数为.7展开式的通项为Tr+1=x8-r=2-rx8-2r,当8-2r=2时,r=3.x2的系数为2-3=7.14.(2012大纲全国,文14)若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.-1由

7、题意画出可行域,由z=3x-y得y=3x-z,要使z取最小值,只需截距最大即可,故直线过A(0,1)时,z最小.zmin=30-1=-1.15.(2012大纲全国,文15)当函数y=sin x-cos x(0 x2)取得最大值时,x=.y=sin x-cos x=2=2sin.当y取最大值时,x-=2k+,x=2k+.又0 x1时有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得an=an-1.于是a1=1,a2=a1,a3=a2,an-1=an-2,an=an-1.将以上n个等式两端分别相乘,整理得an=.综上,an的通项公式an=.19.(2012大纲全国,文19)如图,四棱锥P-ABCD中,

8、底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(1)证明:PC平面BED;(2)设二面角A-PB-C为90,求PD与平面PBC所成角的大小.解法一:(1)证明:因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.又PA底面ABCD,所以PCBD.设ACBD=F,连结EF.因为AC=2,PA=2,PE=2EC,故PC=2,EC=,FC=,从而=,=,因为=,FCE=PCA,所以FCEPCA,FEC=PAC=90,由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AGPB,G为垂足.因为二面角A-PB-C为

9、90,所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBC=PB,故AG平面PBC,AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC平面PAB,于是BCAB,所以底面ABCD为正方形,AD=2,PD=2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC,且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD平面PBC,A,D两点到平面PBC的距离相等,即d=AG=.设PD与平面PBC所成的角为,则sin =.所以PD与平面PBC所成的角为30.解法二:(1)证明:以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设C(2,0,0),D(,b,0),其中b0,则P(0,0,2

10、),E,B(,-b,0).于是=(2,0,-2),=,=,从而=0,=0,故PCBE,PCDE.又BEDE=E,所以PC平面BDE.(2)=(0,0,2),=(,-b,0).设m=(x,y,z)为平面PAB的法向量,则m=0,m=0,即2z=0且x-by=0,令x=b,则m=(b,0).设n=(p,q,r)为平面PBC的法向量,则n=0,n=0,即2p-2r=0且+bq+r=0,令p=1,则r=,q=-,n=.因为面PAB面PBC,故mn=0,即b-=0,故b=,于是n=(1,-1,),=(-,-,2),cos=,=60.因为PD与平面PBC所成角和互余,故PD与平面PBC所成的角为30.20

11、.(2012大纲全国,文20)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.解:记Ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;Bi表示事件:第3次和第4次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;A表示事件:第3次发球,甲得1分;B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1

12、比2;C表示事件:开始第5次发球时,甲得分领先.(1)B=A0A+A1,P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=20.60.4=0.48,P(B)=P(A0A+A1)=P(A0A)+P(A1)=P(A0)P(A)+P(A1)P()=0.160.4+0.48(1-0.4)=0.352.(2)P(B0)=0.62=0.36,P(B1)=20.40.6=0.48,P(B2)=0.42=0.16,P(A2)=0.62=0.36.C=A1B2+A2B1+A2B2P(C)=P(A1B2+A2B1+A2B2)=P(A1B2)+P(A2B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B2)+P(A

13、2)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.480.16+0.360.48+0.360.16=0.307 2.21.(2012大纲全国,文21)已知函数f(x)=x3+x2+ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.解:(1)f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1.当a1时,f(x)0,且仅当a=1,x=-1时,f(x)=0,所以f(x)是R上的增函数;当a0,f(x)是增函数;当x(-1-,-1+)时,f(x)0,f(x)是增函数.(2)由题设知,x1,x2为方程f(x)=0的两个根,故有a0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r;(2)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.解:(1)设A(x0,(x0+1)2).对y=(x+1)2求导得y=2(x+1),故l的斜率k=2(x0+1).当x0=1时,不合题意,所以x01.圆心为M,MA的斜率k=.由lMA知kk=-1,即2(x0+1)=-1,解得x0=0,故A(0,1),r=|MA|=,即r=.(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为