03西南大学-通信原理-第三章-随机过程

1、通信原理主讲教师：高 渤 含弘光大 继往开来学习内容随机过程的根本概念1234高斯随机过程平稳随机过程5第三章 随机过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声67高斯白噪声和带限白噪声通信原理【 第三章：随机过程】2学习目标 学习要点1、随机过程的根本概念；2、随机过程的数字特征均值、方差、相关函数；3、平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；4、高斯过程的定义和性质、一维概率密度和分布函数；5、随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；6、窄带随机过程的表达式和统计特性；7、正弦波加窄带高斯过程的统计特性；8、高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。通信原理

2、【 第三章：随机过程】3学习目标 重点1、概念： 随机过程的定义；狭义平稳和广义平稳；各态历经的含义与意义；高斯过程的性质；窄带过程的两个结论；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；功率谱密度的意义。2、计算： 数字特征均值、方差、相关函数；一维概率密度函数和分布函数；平稳过程自相关函数的性质；维纳辛钦定理；随机过程的总平均功率；平稳过程、高斯过程、白噪声通过线性系统。通信原理【 第三章：随机过程】4学习目标 难点1、平稳过程与各态历经性。2、平稳过程的几个关系。3、各态历经性的意义。4、自相关函数的意义。5、随机过程是否存在傅里叶变换。6、功率谱密度PSD的意义和求法。7、功率谱密度PSD的求法。

3、8、随机过程归一化平均功率的几种求法。9、独立、相关、正交的关系。通信原理【 第三章：随机过程】5学习内容随机过程的根本概念1234高斯随机过程平稳随机过程5第三章 随机过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声67高斯白噪声和带限白噪声通信原理【 第三章：随机过程】6第一节 随机过程引 言 在通信系统的分析中，随机过程random process是非常重要的数学工具。通信中的信源、噪声以及信号传输特性都可以使用随机过程来描述。 什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：1角度1： 对应不同随机试验结果的时间过程的

4、集合，即随机过程是所有样本函数的集合。通信原理【 第三章：随机过程】7接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的。全部样本函数的集合： ，就是一个随机过程。第一节 随机过程例：n台示波器同时观测并记录n台接收机的输出噪声波形。 每一条记录（波形）都是一个确定的时间函数 称为样本函数（Sample function）。通信原理【 第三章：随机过程】8第一节 随机过程 在任一给定时刻 t1上，每一个样本函数 都是一个确定的数值 ，但是每个 都是不可预知的。在一个固定时刻 t1上，不同样本的取值是一个随机变量，记为 。2角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 可见，随机过程在任意时刻的值是一个随机

5、变量。因此，可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。随机过程具有随机变量和时间函数的特点。通信原理【 第三章：随机过程】9一、随机过程的分布函数 设 表示一个随机过程，那么它在任意时刻t1 的值 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。第一节 随机过程1、随机过程 一维分布函数：2、随机过程 的一维概率密度函数：上式存在偏导通信原理【 第三章：随机过程】10第一节 随机过程3、随机过程 二维分布函数：4、随机过程 的二维概率密度函数：上式存在偏导5、随机过程 的n维分布函数：6、随机过程 的n维概率密度

6、函数：通信原理【 第三章：随机过程】11二、随机过程的数字特征 实际运用中，往往不容易或不需要求出分布函数或概论密度函数，而是用数字特征来描述随机过程的主要特征。第一节 随机过程1、均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 是一个随机变量，其均值定义为： 由于t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1改为x，这样上式就变为通信原理【 第三章：随机过程】12 的均值是时间确实定函数，常记作 ，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心：第一节 随机过程通信原理【 第三章：随机过程】13第一节 随机过程2、方差： 随机过程的方差定义为：由于t1是任取的，所以也把t1直接写为t，因为 方差等于

7、均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值 的偏离程度。通信原理【 第三章：随机过程】143、相关函数 在描述随机过程在两个不同时刻的随机变量之间的关联程度时，常采用协方差函数和自相关函数。第一节 随机过程1协方差函数式中 、 是在t1和t2时刻得到的 的均值 ; 是 的二维概率密度函数。 通信原理【 第三章：随机过程】15第一节 随机过程2自相关函数式中， 和 分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量可以看出， 是两个变量t1和t2的确定函数。 自相关函数和协方差函数之间的关系若，则 。通信原理【 第三章：随机过程】16第一节 随机过程4、互相关函数 描述两个或两个以上随机过程

8、之间的关联程度时，常采用互相关函数。通信原理【 第三章：随机过程】17学习内容随机过程的根本概念1234高斯随机过程平稳随机过程5第三章 随机过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声67高斯白噪声和带限白噪声通信原理【 第三章：随机过程】18一、平稳随机过程stationary random process 的定义 1、定义： 假设一个随机过程t的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有第二节 平稳随机过程 那么称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。通信原理【 第三章：随机过程】192、性 质1平稳随机过程的统计特

9、性不随时间的推移而改变，即它的 一维分布函数与时间t无关，即 ；第二节 平稳随机过程2）二维分布函数只与时间间隔 有关，即3、数字特征1）其均值与 t 无关，为常数a，即2）自相关函数只与时间间隔有关，即通信原理【 第三章：随机过程】20 能同时满足1、2的随机过程定义为广义平稳随机过程generalized stationary random process。 显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。 第二节 平稳随机过程 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。 通信中通常对广义平稳随机过程简称平稳过程进行研究和分析

10、。通信原理【 第三章：随机过程】21二、各态历经性ergodicity 第二节 平稳随机过程1、问题的提出： 随机过程的数字特征均值、相关函数是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。那么，能否从一次试验而得到的一个样本函数xt来决定平稳过程的数字特征呢？ 平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性又称“遍历性。 具有各态历经性的过程，其数字特征均为统计平均完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。通信原理【 第三章：随机过程】222、各态历经性条件 设 是平稳过程 的任意一次实现样本，那么其时间均值和时间相关函数分别定义为：

11、 第二节 平稳随机过程如果平稳过程使下式成立那么称该平稳过程具有各态历经性。平稳过程的统计平均值等于它任一次实现的时间平均值通信原理【 第三章：随机过程】23 “各态历经的含义： 随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均均值或自相关函数等时，无需作无限屡次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均值代替过程的“统计平均值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。第二节 平稳随机过程通信原理【 第三章：随机过程】24例3-1 设一个随机相位

12、的正弦波为 ，其中 A和c均为常数；是在0，2内均匀分布的随机变 量。试讨论t是否具有各态历经性。第二节 平稳随机过程解:1先求t的统计平均值。数学期望通信原理【 第三章：随机过程】25自相关函数第二节 平稳随机过程令t2 t1 = ，得到 可见，t的数学期望为常数，自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以t是广义平稳过程。通信原理【 第三章：随机过程】26第二节 平稳随机过程2求t的时间平均值。比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。通信原理【 第三章：随机过程】27三、平稳过程的自相关函数 自相关函数是描述平稳过程特性的一个特别重要的函数。它不仅可以描述平稳过程的数字

13、特征，还与平稳过程的谱特性有着内在的联系。第二节 平稳随机过程1、自相关函数定义：2、自相关函数性质：1）（t）的平均功率：2）的偶函数：3）R()的上界：自相关函数在 = 0有最大值通信原理【 第三章：随机过程】28第二节 平稳随机过程4）（t）的直流功率：5）（t）的交流功率（方差）：当均值为0时，有通信原理【 第三章：随机过程】29四、平稳过程的功率谱密度 平稳过程的频谱特性可用它的功率谱密度PSD来描述。第二节 平稳随机过程1、定义 对于任意确实定功率信号ft，它的功率谱密度定义为式中， 是 的截短函数所对应的频谱函数为通信原理【 第三章：随机过程】30 对于平稳随机过程 ，可以把 当

14、作是 的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。 因此，过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故 的功率谱密度可以定义为第二节 平稳随机过程问题：实际中，根据定义式计算功率谱密度并不容易，那么如 何方便地求解功率谱呢？方法：非周期功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是 一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立。通信原理【 第三章：随机过程】312、功率谱密度的计算维纳辛钦关系第二节 平稳随机过程简记为 以上关系称为维纳辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的根本关系式。通信原理【 第三章：随机过程】

15、323、结 论1当 时，对PSD进行积分，那么可得到平稳过程的总功率第二节 平稳随机过程上式从频域的角度给出了过程t平均功率的计算方法。时域计算方法：（t）的平均功率为2各态历经过程的任一样本函数的PSD等于过程的PSD。即， 每一样本函数的谱特性都能表现整个过程的的谱特性。3PSD具有非负性和实偶性，即通信原理【 第三章：随机过程】33例3-2 求随机相位余弦波 的功率谱密度 和平均功率。第二节 平稳随机过程解：在例3-1中，随机相位余弦波是一个平稳过程，并且其自相关函数为又因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换 ，即有所以，功率谱密度为平均功率为通信原理【 第三章：随机过程

16、】34学习内容随机过程的根本概念1234高斯随机过程平稳随机过程5第三章 随机过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声67高斯白噪声和带限白噪声通信原理【 第三章：随机过程】35一、定义 如果随机过程 t的任意n维n =1,2,.分布均服从正态分布，那么称它为正态过程或高斯过程。第三节 高斯随机过程正态随机过程 n维正态概率密度函数表示式为：式中 通信原理【 第三章：随机过程】36式中，|B | 归一化协方差矩阵的行列式，即 第三节 高斯随机过程正态随机过程|B|jk 行列式|B |中元素bjk的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即 通信原理【 第三章：随机过程】37

17、二、重要性质第三节 高斯随机过程正态随机过程1、高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和 归一化协方差只需要研究它的数字特征就可以了。2、假设高斯过程是广义平稳的，那么也是严平稳的。3、如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也 是统计独立的。5、高斯过程经线性变换或线性系统后过程仍是高斯过程。4、假设干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程。通信原理【 第三章：随机过程】38三、高斯随机变量第三节 高斯随机过程正态随机过程1、定 义 高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为通信原理【 第三章：随机过程】392、性 质第三节 高

18、斯随机过程正态随机过程1）对称于直线 x = a ，即通信原理【 第三章：随机过程】402、性 质第三节 高斯随机过程正态随机过程2）通信原理【 第三章：随机过程】412、性 质第三节 高斯随机过程正态随机过程3a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形 将随着的减小而变高和变窄。4当a = 0 和 = 1时，称为标准化的正态分布：通信原理【 第三章：随机过程】423、正态分布函数 在数字通信系统的抗噪声性能分析中，有时需要计算高斯随机变量 小于或等于某一取值x的概率P。 它等于正态分布的概率密度f(t)的积分，定义为正态分布函数，表示为第三节 高斯随机过程正态随机过程这个积分的值无法

19、用闭合形式计算，通常采用数学手册上有数值和曲线可查的特殊函数来表示它，即通过查表的方法求出。 教材中多采用误差函数或互补误差函数来表述。通信原理【 第三章：随机过程】43第三节 高斯随机过程正态随机过程1用误差函数表示正态分布函数：它是自变量的递增函数：2用互补误差函数表示正态分布函数：它是自变量的递减函数：当x 2时，通信原理【 第三章：随机过程】44第三节 高斯随机过程正态随机过程 利用误差函数，可以将FX表示为： 用误差函数表示FX的好处是便于计算，且它简明的特性有助于分析通信系统的抗噪声性能。通信原理【 第三章：随机过程】45第三节 高斯随机过程正态随机过程3用Q函数表示正态分布函数：

20、Q函数是用于表示高斯曲线尾部下的面积的函数。 Q函数定义： Q函数erfc函数的关系： Q函数和分布函数Fx的关系：Q函数值也可以从查表得到。通信原理【 第三章：随机过程】46学习内容随机过程的根本概念1234高斯随机过程平稳随机过程5第三章 随机过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声67高斯白噪声和带限白噪声通信原理【 第三章：随机过程】47第四节 平稳随机过程通过线性系统一、预备知识确知信号通过线性系统对应的傅里叶变换关系：二、随机过程通过线性系统 现假设 是平稳的输入随机过程，且均值为a，自相关函数为Ri（），功率谱密度为Pi（），则： 只需求输出过程ot的统计特性

21、，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。通信原理【 第三章：随机过程】481、输出过程ot的均值 第四节 平稳随机过程通过线性系统 式中，H0是线性系统在 f = 0处的频率响应，即直流增益，因此输出过程的均值是一个常数。2、输出过程ot的自相关函数输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。可见，假设线性系统的输入是平稳的，那么输出也是平稳的。 通信原理【 第三章：随机过程】493、输出过程ot的功率谱密度第四节 平稳随机过程通过线性系统 输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。 应用：由Po f 的反傅里叶变换求Ro ，比直接求解Ro要简便的多。4、输出过

22、程ot的概率分布 假设线性系统的输入过程是高斯型的，那么系统的输出过程也是高斯型的，只是数字特征有可能不同而与。通信原理【 第三章：随机过程】50学习内容随机过程的根本概念1234高斯随机过程平稳随机过程5第三章 随机过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声67高斯白噪声和带限白噪声通信原理【 第三章：随机过程】51典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数 1、窄带随机过程条件、定义第五节 窄带随机过程 假设随机过程t的谱密度集中在中心频率f c附近相对窄的频带范围f 内，即满足f f c的条件，且 f c 远离零频率，那么称该t为窄带随机过程。 引 言通信原理【 第三章：随机

23、过程】522、窄带随机过程的表达式第五节 窄带随机过程1包络相位形式的表达式2同相正交形式的表达式（ 同相分量 ）（ 正交分量 ） t的统计特性由a t和 t或ct和st的统计特性确定；假设t的统计特性，那么a t和 t或ct和st的统计特性也随之确定。 通信原理【 第三章：随机过程】53一、ct和st的统计特性 1、数学期望均值第五节 窄带随机过程 因为t平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有Et = 0 ，所以通信原理【 第三章：随机过程】54第五节 窄带随机过程2、 t的自相关函数推导略见教材P53 假设窄带过程t是平稳的，那么ct和st也必然是平稳的。通信原理【 第三章：随机过程】5

24、5同相分量ct和正交分量st具有相同的自相关函数。第五节 窄带随机过程（t）、 c（t）和s（t）具有相同的平均功率或方差。 结论1：一个均值为零的窄带平稳高斯过程t ，它的同相分量ct和正交分量st同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。 此外，同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。通信原理【 第三章：随机过程】56二、at和t的统计特性第五节 窄带随机过程设at和t的联合概率密度函数为 f a , 得：a的一维概率密度函数可见， a服从瑞利Rayleigh分布。通信原理【 第三章：随机过程】57第五节 窄带随机过程 的一维概率密度函数可见，服从均匀分布。 结论2：均值为零，

25、方差为2的窄带平稳高斯过程t，其包络at的一维分布是瑞利分布，相位t的一维分布是均匀分布；并且就一维分布而言， at与t是统计独立的 ，即有 。 通信原理【 第三章：随机过程】58学习内容随机过程的根本概念1234高斯随机过程平稳随机过程5第三章 随机过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声67高斯白噪声和带限白噪声通信原理【 第三章：随机过程】59设正弦波加窄带高斯噪声的表示式为第六节 正弦波加窄带高斯噪声其中，一、正弦波加窄带高斯噪声的表示 1、同相正交表示式通信原理【 第三章：随机过程】602、包络和相位表示式第六节 正弦波加窄带高斯噪声二、正弦波加窄带高斯噪声的包络

26、的统计特性推导略 1、包络的概率密度函数 f z称为广义瑞利分布，又称莱斯Rice分布。通信原理【 第三章：随机过程】61讨 论1当信号很小时，即A0时，莱斯分布退化为瑞利分布。2当信噪比很大时，近似为高斯分布。第六节 正弦波加窄带高斯噪声包络概率密度函数 f （z）曲线结 论：包络分布与信噪比有关。通信原理【 第三章：随机过程】62第六节 正弦波加窄带高斯噪声F（）正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性结 论：相位分布也与信噪比有关。2、相位分布通信原理【 第三章：随机过程】63学习内容随机过程的根本概念1234高斯随机过程平稳随机过程5第三章 随机过程平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声67高斯白噪声和带限白噪声通信原理【 第三章：随机过程】64一、白噪声n t 1、定义：功率谱密度在所有频率上均匀为常数的噪声。第七节 高斯白噪声和带限白噪声 白噪声的自