讲座中国传统数学 详细版课件

1、中国传统数学黎智鹏副教授中国数学协会（数学史专业）会员2010年2月中国传统数学从远古到明代，在中国独立产生、发展起来的数学知识体系，我们称之为中国传统数学。中国传统数学以筹算为基础，以算为主，寓理于算，广泛应用。中国传统数学具有明显的算法化、模型化、程序化、机械化的特征。启蒙：远古至东周（前5000前221） 中国是世界文明古国之一，数学知识源远流长。但是中国传统数学启蒙于何时，至今仍无法确定，我们只能根据考古的发现和有关文物、文献，作出大致的推测。 大约公元前5000多年的浙江河姆渡遗址表明，中国当时的农业生产已有相当规模，与其相关的土地丈量、房屋建造、仓储结构以及天文历算都离不开数学。公

2、元前3000多年的陕西半坡遗址出土的陶器上刻画的陶文，其中有表示数量的符号。传说中的黄帝使隶首作算数就是这个时代。公元前2000多年中国历史上形成第一个奴隶制王朝夏。随着当时社会生产的进步，出现社会分工，并进行大规模土木工程和水利建设。传说大禹治水时就用了准绳、规矩等工具，还采用了勾股测量术。公元前1600年至公元前1200年的商朝，出现了比较成熟的文字甲骨文，其中有完备的十进制记数法，天干地支记日、记时法。公元前1000年至公元前800多年的西周，青铜器上镌刻的金文中的记数法与商代完全一致，并沿用至今。西周王朝中贵族子弟从9岁起接受“礼、乐、射、御、书、数”所谓“六艺”的训练；可见六艺之一的

3、“数”，已成为专门的学问。公元前770年至公元前221年的东周列国时代，尤其是公元前500年前后的春秋、战国之际，中国古代独具特色的“筹算”已普遍被应用。 所谓“筹算”，所谓算筹，就是一种好象筷子的小圆棍，长大约1416cm，直径大约24mm，它可以是竹子做成的，也可以是木制的，还有铜制的、铁制的或骨制的等等，根据拥有者的身份、地位不同而不同。按十进位值制摆布，表示数字，并按一定的程序摆弄它们进行计算，用以解决各种实际问题。中国古代“算”字常常被写成“筭”，即“从竹从弄”，取“常弄不误”之意。用来计算的这些小棍称之为“算筹”，用算筹表示数字分纵、横两式：（如图） 个位用纵式，十位用横式，自右向

4、左，纵横相间，以此类推，遇零就把该位空起来。这种记数法在数学史上具有划时代意义。 此外，战国时期诸子百家的争鸣也促进了数学的发展，尤其是名家、墨家、庄子等对于数学的概念、定义和命题的讨论，对中国传统数学理论的形成和发展起了积极的推动作用。纵式横式一、中华古代数学瑰宝从公元3世纪到公元8世纪，希腊数学正走向衰落，而我国的数学却兴旺发达，隋朝建立了国子监（掌管教育部门），到了唐朝的656年国子监设立算学馆（类似大学数学系），有算学博士和助教，共招30人，由太史李淳凤等奉命注释、编纂算经十书作为数学教材。 算经十书 指：周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、五曹算经、夏侯算经、张邱建算经、五经算术

5、、缉古算经和缀术。这十本书是中国古典数学经典的总称。不过这十书的名称和内容历代都有变动，如祖冲之的缀术“学官莫能究其深奥，故废而不理”，从而造成失传。我国古代与中小学数学有关的几大著作及其主要内容是：（一）、算数书1983年12月至1984年1月，考古工作者在湖北江陵张家山汉初（公元前187-157年）墓葬中出土了一批珍贵的古代文献算数书。其内容可归纳算术和几何两在类。1、算术部分：（1）整数。四则运算虽不完整，但提出了整数的十进位值制。（2）分数。全面介绍分数的性质及运算法则，这标志着我国是世界上最早的分数冠军。比例。涉及正、反比例、比例分配、连比例、复比例等。（3）盈不足。盈不足算法以及若

6、干应用题。2、几何部分（1）面积。有关土地面积的计算。（2）体积。介绍六种不同形状几何体体积的解法及公式。重大成就初探1、算数书的内容与秦以前的社会生产、科学技政治经济等都有密切的联系，在一定程度上说，它是当时社会各方面的简单缩影，许多社会问题在书中都有反映。2、 算数书有完整的分数约分、通分等性质及四则运算法则，并有复杂的运算实例，表明对分数作了系统归纳，其完善的运算理论，与现代的分数方法基本一致，像这样系统的叙述，在古希腊的数学中是找不到的，它比九章算术早约100多年，印度在公元5世纪才出现这方面的知识，再传到阿拉伯，直到13世纪才从阿拉伯传入意大利，所以我国古代的分数运算，至少比印度领先

7、700多年，比欧州早1500年。3、盈不足术。过去认为盈不足术出现在九章算术（专列一章）。算术书的发现又把出现的年代推进100多年。盈不足术是我国古代数学家首创的解应用题的一种别开生面的算法，在古代确实称得起“万能”的解题方法。印度3、4世纪才出现类似的解法。盈不足比公元9世纪阿拉伯数学家阿尔花拉子米（AlKhowarizmi，约780-850）的著作提出假设法要早1千多年。阿拉伯人称我国“盈不足术”为“契丹算法”，后来传入欧洲。4、算术书中几种求解体积的方式，除由于 3造成误差外，它们都是正确的，书中相当多的公式与后来的九章算术相一致。 （二）、周髀算经 周髀算经原名周髀。“周”指周代，“髀

8、”指竖立着的标杆（或叫表）。是一部天文历算书籍，直到唐代官员李淳风（7世纪）等人选定数学课本时，认为周髀是一部最宝贵的数学遗产，才给它一个周髀算经的书名，又由于儒家的重要经典称为“经”，所以把重要数学著作称为“算经” 本书作者不祥，成书可能在公元前100年（有书说是公元前200年）左右，是一本由口传到帛书写成的官书。 我国古代数学属于天文学，因此古代的天文学和数学不分的。作为天文学著作周髀算经，记载了夏商周以来我国古代丰富的数学知识。 周髀算经对于我国古代数学理论体系的形成，也起到一定的作用。周髀算经的数学内容主要成就有几点：一、勾股定理的建立 勾股定理是几何学宝库一大稀世之珍。我国周髀算经记

9、载了公元前六、七世纪时，荣子和陈子两人的对话，陈子讲到计算弦长时说：若求邪至日（由太阳至表的斜边距离）者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪 至日（弦长）。这段话译成现代数学公式是：两直角边（勾和股）的平方和并开方即得斜边（弦长）的长。 这段史料证明公元前六、七世纪，我国陈子不仅掌握了一般的勾股定理，而且还用到了开平方的方法。二、测量技术 周髀卷上记载：周公问当时的数学家、测量家商高说：数学实在了不起啊！请问怎样用矩？商高回答说：将矩平放，可以确定铅直线和水平方向，将矩立（仰）起来，可以测量高度将矩反过来倒置就可以测量深度，将矩平卧可以测量水平距离的远近，将矩转一周便得圆形，

10、两矩合起来，就得方形。 这说明：商高已精通于各种测量方法，而且运用到了实际中，并且是有理论依据，它成了我国后来重差术的先驱，与古希腊测量之父泰勒斯测量金字塔的成就在时间上大约相同。 三、分数及其应用 继算术书后， 周髀算经中有分数乘公分母的求法以及分数的应用等，说明我国的分数四则运算在当时已相当成熟，而且得到普遍应用。 四、赵爽注周髀算经的贡献为了让更多的人通俗了解周髀书中的玄机妙理，赵爽对周髀进行了深入研究，对该书进行逐段注释，附录在该书首章。 注文中的勾股圆方图，则是我国数学史上极有价值的文献，这是赵爽在数学上的最大成就。赵爽在勾股圆方图中，1、给出了勾股定理的证明方法:4朱色面积黄色面积

11、=大正方形面积这种巧妙、简洁和漂亮和证明，比印度数学家婆什迦罗早900年。2、研究了二次方程问题得到两个重要结果（1）一元二次方程根与系数关系（2）一元二次方程求根公式 赵爽是一位出色的数学家，英国科学史家李约瑟称赞说：赵爽具有与希腊几何学思想方法完全不同的色彩。 周髀算经确实是一部不朽、现存最早的天文数学著作，从上叙述，已初步了解到我国古代数学思想和风格。 此外，周髀算经在讨论天地现象时，丝毫不带迷信色彩，在占卜星相占统治地位的时期，这实在是件了不起的事情。（三）、九章算术我国古代早期的数学知识多半是孤立的，没有建立其内部联系，直到公元前1世纪诞生了一部没有留下作者名字的数学专著九章算术，标

12、志着我国古算理论体系的形成。一、九章算术的内容九章算术是一部密切联系实际的问题集的算书，全书共246道数学问题，共分九章，每章又按解题法则（称为术）分为若干类，每道题都有答案，并且可用相应的“术”进行解答，各章内容简介如下第一章：方田共38题21个术(方法) 主要讲各种不同形状的田地面积计算和详细的分数四则运算法则的理论，如给出直田（长方形）、圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）、宛田（球冠形）、圆田（圆）、弧田（弓形）和环田（圆环）等面积公式，除弧田和宛田面积公式是近似的外，其他面积公式与今天一样正确。第二章：粟米“粟”泛指粮食，有46题33个术。全章对20种不同粮食规定了

13、兑换比例，涉及砖、竹、漆、丝、布等生产、生活资料的买卖问题以及比例问题，本章开始出现一题多解。第三章：衰分共20题，22 个术主要讲按比例分配农、工、商提出的问题。如：商品、税收、罚款、计工和粮食买卖等，涉及数学知识有正比例、复比例、反比例、连比例、等差与等比数列等。第四章：少广共24题16个术主要讨论：已知图形面积与体积，反过来求出图形边长、直径等五类问题，涉及开平方、开立方、开圆术（由球的体积推出球的直径），但该书球体积公式是错误的（V=9/16D的立方，D是圆的直径）第五章：商功共28题24个术指推算各处土方工程的体积和粮仓容积的算法，涉及计算劳动人数，本章给出了14种计算体积公式，除球

14、体积外，其余的如柱、锥、台体等13种体积公式基本上与今天一样。第六章：均输共28题，28个术内容比较复杂，基本上是征收租税、合理安排运输为中心的计算问题。是前面粟米和衰分两章的进一步发展。第七章：盈不足共20题，17个术主要讲盈亏问题的解法，所涉及的内容多与商业有关，有些题长期选入初中代数课本。第八章：方程共18题，19个术主要讲多元一次方程（线性方程组）及其解法（中学叫一次方程组），内容涉及不定方程、正负数概念及其四则运算。第九章：勾股共24题，22个术内容有三部分。一是勾股定理及其应用。二是相似直角三角形性质定理。三是求勾股数。内容涉及测量问题、一般二次方程的解法等九章算术及其刘徽注的贡献

15、由于万言九章算术是用竹简写成，成书时间久远，文辞晦涩，许多数学方法、理论没有写出来，阻碍人们对其丰富内容的理解，所以，历代学者对它进行校订与注释，特别魏晋刘徽的注释，补出一些证明，使它精湛博大的数学理论和光彩夺目的数学思想方法，抹去历史尘灰，成为中华数学瑰宝和世界数学经典名著，因此，刘徽是继希腊泰勒斯后，世界论证数学的杰出代表之一。纵观九章算术及其刘徽等注释的贡献很多，扼要评述如下：1、分数理论：（分数的概念、分数的性质和分数的四则运算）是世界上系统叙述分数算法的最早著作，比印度早600年，比欧州早1440年。2、方程的解法：比印度早600年，比欧州早1500年。3、正负术：（正负数定义及加减

16、法则）比印度早500年，比欧州早1800年。4、不定方程：比希腊丢番图研究不定方程早200年。5、无限与极限理论：（最早提出）6、几何理论： （最早提出）7、比率理论： （最早提出） 由此可知，九章算术反映我国人民在数学上偏重应用和计算的特色，它的形成，是记录我国古代数学理论体系的里程碑，是体现我国古代数学理论体系特征和风格的典籍，同时有力地驳斥了外国某些数学家说中国古代数学没有理论的观点。 令人振奋的是：我国古代传统数学的模式化和机械化，可以改写成计算机算法语言程序，在电脑上进行操作。我国的吴文俊院士等人，已经成功地创造电脑证明几何等问题。 值得一提的是：九章算术具有重要的历史地位，在数学教

17、育方面，是一部重要的数学教科书，唐朝前后的 1000年间它一直被作为数学课本，朝鲜、日本也曾选它做教科书，还被译成多种文字 ，流传到世界各地，如英国（1956年）、苏联（1957年）、西德（1968年）、日本（1975年）等都有译本。 日本数学史家小仓金之助（1885-1962年）称：九章算术是中国的欧氏几何原本。 九章算术与几何原本不同之处：1、九章算术重计算轻逻辑证明，几何原本则重逻辑证明轻计算。2、九章算术讲究实际应用，内容丰富多彩，几何原本不讲实际应用，内容只涉及几何一个方面。（四）、数书九章南宋数学家秦九韶（1202-1261年，四川安岳县人）写的数书九章，是古算中唯一能与九章算术相

18、媲美的高水平著作，堪称当时世界一流成果。秦九韶博学多才，1244年，其母亲去世，并辞官回家为母亲守孝三年，在此期间，把他做官时收集民间、测量、营建、天文、赋役、交易等方面实际问题，进行研究整理、精选成20万字的数书九章，成为后人了解他的宝贵史料。全书九章，每章两卷， 共18卷，81全实际问题。数书九章主要内容第一章：大衍类。即“大衍求一术”，用一次同余式组解答各类问题。第二章：天时类。天文、历法和气象中的数学问题。第三章：田域类。各种土地面积计算问题。第四章：测望类。有关几何测量、勾股、重差的问题。第五章：赋税类。有关税收的计算问题。第六章：钱谷类。有关钱、粮食转动与仓库容积的数学计算问题。第

19、七章：营建类。有关土木建筑工程的数学问题。第八章：军旅类。有关军营计算、营盘布列、军需供应等数学问题。第九章：市易类。有关贸易和利息的数学计算问题。数书九章的主要数学成就1、神奇的大衍求一术。在当时处于世界最先进水平，比西方同类解法早500多年。1874年德国科学史家马蒂生公开指出：高斯解法符合“大衍求一术， 从此，欧州人才逐步将“高斯定理”改为“中国剩余定理”。2、闪光的正负开方术（高次方程的数值解法也叫“秦九韶程序” ）。比英国霍纳创造的”霍纳法“早570年，1973年比利时数学家李倍始的13世纪的中国数学. 秦九韶的数书九章在美国出版后，才改变西方数学界的旧观点，认为秦九韶是高次方程近似

20、根的最早创造者。3、独特的三斜求积（海伦公式） 。秦九韶也独立发现此公式，虽晚于古希腊的阿基米德和海伦，但不是模仿或抄袭，而是根据古代“出入相补”原理，利用九章算术勾股章折射问题推证出来的，具有中国特色，所以人们主张称此公式为“海伦-秦九韶公式”。4、创新的方程术（线性方程组解法）。秦九韶在前人的基础进行改革，完全与现在解多元一次方程组的方法一样，而且还有规范的矩阵解法，这也是他对方程理论的一大贡献。 （五）、算法宝鉴明代的数学家王文素（山西汾阳人）著 明代的数学家王文素（山西汾阳人）著的算法宝鉴，无论是四则运算，或者其它运算，甚至于解方程、解高次方程，都是全部用珠算，而他之前有几部书，从内容

21、来看，还是珠算和筹算合用的书，唯有算法宝鉴完全用珠算来计算，所以，它是第一部珠算书，它的出现标志着我国古代数学从筹算到珠算转变的完成。 珠算是我国最早发明的，是我国的一项重要文化遗产。 珠算自产生以来，历史上就表现出两大功能（计算和启智功能），也由于电子计算机的迅速发展和普及，珠算的计算功能趋于次要位置，而启智功能则日显重要（如小学的进位加法，以算盘作为教具，帮助学生理解，即启智功能）。另外，目前小学常开设的“珠心算”，是珠算发展的新阶段，已为学界所共识。二、中国数学史上的灿烂群星（数学家）以勤劳、智慧著称于世的我国古、近代许多杰出的数学家，为推动数学发展作出了彪炳千古的贡献。这些具有东方色彩

22、的伟大成就，就像一颗颗夜明珠，永久地挂在蓝蓝的天空，照亮着数学家前进的道路。（一）、刘徽刘徽刘徽（生卒不详，公元世纪魏晋时期山东人），是古代杰出的布衣数学家。他的贡献卓著，归纳起来主要有：作九章算术注解；创“割圆术”，补证出圆面积公式，求得3.14124；对极限理论的应用；著海岛算经，发明“重差术”（测量专著）；把“以盈补虚”推而广之，概括为“出入相补，各从其类”的普遍原理等.严谨的治学态度刘徽自幼学习九章算术，年长后又作详细钻研，观察事物的正反、分割，总结数学的根本原理。在深入探索奥秘幽深的过程中逐渐领悟其中的道理。于是收集所见，提出自己的见解，为九章算术作注。.光辉的数学思想独立思考。刘徽

23、走自己的路，不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见，在研究上，实事求是，以理服人。正是他这种科学精神，使他在吸收前人许多有益东西的同时，敢于纠正前人的错误，形成了他那一套先进的数学思想。 朴素辩证法。刘徽主张对具体问题的分析，解决数学问题不应拘于一法。他对抽象的数学概念，能给以朴素的唯物主义解释。例如在约分的注中说：“物之数量不可悉全（整数），必以分（分数）言之”（事物的数量不可能都表示为整数，有时必须表示为分数），阐明他对分数的看法。 探思数学内部规律的思想。如刘徽在注序中说：对于事物相互推导，各有所归，树的枝条虽然繁多，但属同一主干，知其发于一端而已，这是他钻研教学寻求数学内部规律的至

24、理名言。重视推理。刘徽重视逻辑推理，运用逻辑方法。他推理时所用的方法有直接法、间接法、分析法、综合法、归纳法以及反驳法和等积变换法等等。因此，刘徽是我国早期论证数学的开始人，只可惜晚于希腊的泰勒斯。 （5）推理与直观。刘徽很注意推理的逻辑性和直观性，并把两者结合起来形成有效的推理方法 。如九章算术中不少概念缺乏逻辑定义，有的题只有解法而没有理论证明，甚至结果不正确，刘徽在注释中补出解释或逻辑定义，有的补出了公式、定理的逻辑证明，在推理中，刘徽还善于使用图形和模型，帮助他发现或表达逻辑关系和推理方法。 （6）虚怀若谷。他发现九章算术中球体积公式是错误的，经他长期思考研究，未能得出正确公式，他实事

25、求是、谦虚地告诉人们：欲推究此不规则图形性质，只好把这个疑难问题留给他人来解了。后来，祖冲父子在他研究的基础上，正确解决了。（二）、祖冲之 祖冲之（429年500年），字文远，南北朝时期著名数学家、天文学家。 祖冲之祖籍河北涞水，为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任刘宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝中做官，学识渊博，受人敬重。 祖冲之公元429年生于江苏南京。祖家历代都对天文历法素有研究，祖冲之从小就有机会接触天文、数学知识。在青年时代祖冲之就博得了博学多才的名声，宋孝武帝听说后，派他到“华林学省”做研究工作。公元464年他调至娄县(今江苏昆山东北)任县令。在此期

26、间他编制了大明历，计算了圆周率。宋朝末年，祖冲之回到南京任事，此后，直到宋灭亡一段时间后，他花了较大精力来研究机械制造。公元494年到498年之间，他在南齐朝廷担任长水校尉一职，受四品俸禄。鉴于当时战火连绵，他写有安边论一文，建议朝廷开垦荒地，发展农业，安定民生，巩固国防。公元500年祖冲之在他72岁时去世。 祖冲之的主要成就在数学、天文历法和机械制造三个领域。此外祖冲之精通音律，擅长下棋，还写有小说述异记。祖冲之著述很多，但大多都已失传。祖冲之是一位少有的博学多才的人物。 祖冲之的儿子祖暅也是中国古代著名数学家。为纪念这位伟大的古代科学家，人们将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，将

27、小行星1888命名为“祖冲之小行星”。 祖冲之在天文历法方面的贡献： 祖冲之在天文历法方面的成就，大都包含在他所编制的大明历及为大明历所写的驳议中。 在祖冲之之前，人们使用的历法是天文学家何承天编制的元嘉历。祖冲之经过多年的观测和推算，发现元嘉历存在很大的差误。于是祖冲之着手制定新的历法，宋孝武帝大明六年（公元462年）他编制成了大明历。大明历在祖冲之生前始终没能采用，直到梁武帝天监九年（公元510年）才正式颁布施行。大明历的主要成就如下： 区分了回归年和恒星年，首次把岁差引进历法，测得岁差为45年11月差一度（今测约为70.7年差一度）。岁差的引入是中国历法史上的重大进步。定一个回归年为36

28、5.24281481日（今测为365.24219878日），直到南宋宁宗庆元五年（公元1199年）杨忠辅制统天历以前，它一直是最精确的数据。 采用391年置144闰的新闰周，比以往历法采用的19年置7闰的闰周更加精密。定交点月日数为27.21223日（今测为27.21222日）。 交点月日数的精确测得使得准确的日月食预报成为可能，祖冲之曾用大明历推算了从元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年间发生的4次月食时间，结果与实际完全符合。得出木星每84年超辰一次的结论，即定木星公转周期为11.858年（今测为11.862年）。给出了更精确的五星会合周期，其中水星和木星的会合周期

29、也接近现代的数值。提出了用圭表测量正午太阳影长以定冬至时刻的方法。 求算圆周率的值是数学中一个非常重要也是非常困难的研究课题。中国古代许多数学家都致力于圆周率的计算，而公元5世纪祖冲之所取得的成就可以说是圆周率计算的一个跃进。 祖冲之35岁时，他开始计算圆周率。在中国古代，人们从实践中认识到，圆的周长是“圆径一而周三有余”，也就是圆的周长是圆直径的三倍多，但是多多少，意见不一。 在祖冲之之前，中国数学家刘徽提出了计算圆周率的科学方法“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长，用这种方法，刘徽计算圆周率到小数点后4位。 祖冲之在前人的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，将圆周率推算至小数点后7位

30、数（即3.1415926与3.1415927之间），并得出了圆周率分数形式的近似值。 祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从查考。如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16000多边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！ 祖冲之计算得出的圆周率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把圆周率叫做“祖率”。 除了在计算圆周率方面的成就，祖冲之还与他的儿子一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利”（Cavalieri）原理，但这是在祖冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦

31、列利发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，数学上也称这一原理为“祖氏原理”。圆周率 圆周率的发展历史圆周率是指平面上圆的周长与直径之比 （ratio of the circumference of a circle to the diameter） 。用符号（读音：PAI）表示。中国古代有圆率、密率等名称。 古希腊欧几里得几何原本（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书周髀算经（ 约公元前2世纪）中有 “径一而周三” 的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值 ，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取=（4/3）43.160

32、4 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米得 ，他在圆的度量（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到(3+(10/71) (3+(1/7) ，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米得方法），得出精确到小数点后两位的值。 中国数学家刘徽在注释九章算术时（263年）只用圆内接正多边形就求得的近似值，也得出精确到两位小数的值，他的方法被后人称为割圆术。 南北朝时代数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，

33、密率355/113和约率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。 阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。 德国数学家柯伦于1596年将值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 1579年法国数学家韦达给出的第一个解析表达式。此后，无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值表达式纷纷出现，值计算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算值突破100位小数大关。1873 年另一位英国数学家尚可斯将值计算到小数点

34、后707位，可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。 电子计算机的出现使值计算有了突飞猛进的发展。1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机（ENIAC）计算值，一下子就算到2037位小数，突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷2型和IBMVF型巨型电子计算机计算出值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下新的纪录。 除的数值计算外，它的性质探讨也吸引了众多数学家。1761年瑞士数学家兰伯特第一个证明是无理数。1794年法国数学家勒让德又证明了2也是无

35、理数。到1882年德国数学家林德曼首次证明了是超越数，由此否定了困惑人们两千多年的化圆为方尺规作图问题。还有人对的特征及与其它数字的联系进行研究。如1929年苏联数学家格尔丰德证明了e 是超越数等等。计算圆周率 古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。 十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。 进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。 历史

36、上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的William Shanks，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了 把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人

37、计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。 自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数，1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。 现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。（三）、从和尚到数学家的僧一行(张遂 ) 张遂（公元6837270，法名一行，河南省南乐县人)， 张遂是唐代著名的天文学家、数学家，他的祖父和父辈均在朝做官，得了许多封地，但由于武则天当皇帝后，下令收回封地，少年时代的张遂变成了一个穷孩子，连吃饭都 要靠别人救济，张遂从小就爱读书，勤奋用功，据旧唐书说：“一行少聪敏，博览经史，尤精历象“他很快成为长安

38、城小有名气的青年学者。 21岁那年，武则天的侄子武三思的家人找上门来，要张遂与武三思结交，武三思是一个不学无术，靠阿谀奉承爬上梁王宝座的人；他仗势欺人，残害百姓，迫害忠良，无恶不作，现在想借与学者交朋友来装满门面， 想得到“礼贤下士”美名，这对品性耿直、不阿权贵的张遂来说是不肯的 。 为了躲避武三思，张遂出家当了和尚，法名一行，在嵩山佛门下，他继续专研天文、数学。 一行记忆能力惊人，据传一篇有数千字句怪僻的文章，他看过一遍之后，便能一字不漏的背诵出来 ，他曾“访求贤师，不远数千里”，例如，他听说浙江天文台有一和尚精通数学，就从河南步行上千里去拜师求教，后来，一行在天文、数学上研究出了名，受到皇

39、帝唐玄宗的赏识，于公元717年受召入京，在长安的10年中，他主要致力于历法改革，领导了著名的天文和大地测量，同时又和他人一道创造了“黄道铜游仪”、“水运浑仪”等大型天文仪器，皇帝多次请他当大官，都被他拒绝了，他的著作有心机算术括、一行算法和大衍历等。 一行在天文数学上成就很多，主要有： 1、编订大衍历。历法中提出了“不等间距三次内插法公式”。不幸的是，在新历法尚未颁实施前，一行便病故于长安，终年仅44岁。 后人用他新历推算日食，比旧历准确率高，因此大衍历是当时著名不朽文献。 一行又是世界上最早发现恒星在天上的位置会变动的天文学家。 2、等差数列求和与方程解法 在大衍历里，一行用等差数列求和公式

40、来计算行星的行程。 3、世界上第一次实测午线 一行组织僵12个点的大地测量。测量结果汇集长安，由他汇总计算。他利用河南的数据，算出了子午线每差一度，南北相距351里80步（合129.22公里），并得出最佳值为122.8公里。这一结果比现代用先进工具测得的数据111.2公里只差11公里多一点，比后来的阿拉伯天文学家阿尔花拉子米（约780850）等人实测子午线要早90多年。4、计算棋局都数 围棋是我国 人民发明的，至今已有四千多年的历史，它的招法变化无穷。但围棋棋局究竟有多少变化呢？一行进行了研究，因棋盘横直各19路，共有1919=361个交叉点着了位置，每个位置都有着白、着黑和留空3种情况，求棋

41、局总数，是一个计算排列总数问题。一行得出棋局总数 ，等于1至361各整数的连乘积，其值有769位之多。一行是怎样算出来的，书中没有记载，他绝不是用算筹，也不可能用大数阶乘公式（因大数阶乘公式是欧洲数学家斯特灵发明的，晚于一行1000年），显然是按照某种规律求出的。这个问题，如果用现代每秒1亿次的计算机来计算，约要17.4亿年才能运算完毕。由此说明我国僧一行时代计算技术的巧妙性和先进性。 此外，一行品格高尚，为人刚直不阿，奉公守法，不徇私情。 有一次他竟敢“直言不讳”向皇帝提出 批评。 又有一次，一行小时候得到邻居王老太太的大量周济，一行也曾想方设法要报答王老太太。可就在一行在皇帝面前说话很有作

42、用的时候，老太太请求一行搭救她犯有杀人死罪的儿子时，可是一行却对恩人说：“如果你老人家需要金钱布匹，我可以 十倍报答，但对此事，我不能徇私枉法。” 老太太气愤的指着一行大骂说：“认识你这样的人有什么用！”一行始终没有答应她的要求。宋元著名数学家选介 （四）贾宪北宋时期的数学家，生平不详，大约活动于11世纪上半叶。他曾著有算法敩古集三卷（敩“音穴）和黄帝九章算法细草（九卷）前者已失传，后者被杨辉著详解九章算法全部抄录，这是对九章算术术文进一步加工抽象，从而发展了中国古典数学算法理论，在算法理论及算法的抽象化、程序化和一般化方面作出了贡献，贾宪主要成就从杨辉书可知有下列两方面 创造 “开方作法本源

43、”。 贾宪列出n从0到6次的二项式展开的系数表。中学代数课本长期叫做“杨辉三角形。这是不正确的，其实是贾宪 最早发明的，是杨辉抄录保存而已，应称“贾宪三角”。因杨辉录书说：“出释算书，贾宪此术” 。 阿拉伯数学家阿尔卡西在算术之钥(1427)年才出现与贾宪完全相同的结果，但比贾宪 晚约370多年。 贾宪发明的增乘开方法，比九章算术等古算的开平（立）方的方法更容易 推广到更高次的开方。如求高次方程x4=1336336，用他的方法，容易 求出X=34。这个方法与1804年意大利数学家鲁菲尼和1819年英国 一位中学数学教师霍纳的方法完全 一致。西方叫“鲁菲尼-霍纳方法”，但他们比贾宪的晚约770年

44、。 法国的帕斯卡在1654年也发表这个结果，但比中国贾宪 晚五、六百年。所以从发现时间确定，应叫“贾宪三角形“。2、增乘开方法。（五）沈括 北宋沈括（约1033约1097）浙江钱塘人，是著名科学家之一。其父曾做过地方官吏，母亲知书达理。他14岁读完家中藏书。长大后从当县令升到后来的三司使，管理全国财政，两次被诬劾贬官，最后降职为团练副使。 1088年（约55岁）告老定居润州（今江苏镇江）梦溪园，闭门谢客，完成科学巨著梦溪笔谈26卷等著作，内容十分丰富，书中二百余条自然科学知识，其中数学有11条，包括测算、度量、运粮、对策、隙积术、会圆术等。 沈括博学多才，文武双全，日本国算史学家三上义夫在中国

45、算学之特色一书里说：“沈括这样的人物，在全世界数学的史上找不到，惟有中国出了这一个人。”英国人科学史家李约瑟在中国科学技术史一书中说:“沈括可算是中国整部科学史中最卓越的人物”，并把梦溪笔谈誉“中国科学史上的坐标”.沈括在数学的成就有： 1、隙积术。 2、会圆术。 3、运筹学思想的运用。（六）、杨辉杨辉（13世纪）南宋钱塘（今杭州）人，生平不详，曾任地方官员，数学著作宏丰，计有五种21卷，其著作有两个特点：一是深入浅出，文笔流畅，易于教学和民间流传；二是广征博引，录载了前代数学的典籍精华，以致一些原著虽已失传，但其主要内容通过杨辉的书得以保留下来。其成就有：注释古典名著九章算术，撰成详解九章算

46、法12卷 （1261年），目的是让人们容易学习古代数学。继承和发展古代数学理论。杨辉著作博采众长，既保存了一些珍贵资料，又在其基础上做了创造性的发挥。例如对刘益的正负开方术、贾宪三角形与增乘开方法等。垛积术。杨辉的“垛积术“实质上是求数列前N项和的问题，他首创了一大批高阶等差级数 。纵横图（幻方）的研究。如从三行三列10个数码的三阶幻方，其性质是在任一直线上三个数之和皆为15，推广到N行N列的幻方也都有类似性质。计算技术的研究与改进。如他的日用算法是 一本实用通俗算书，他用诗歌歌诀表述问题，概括算法，押韵顺口，便于记忆，具有浓郁的民间数学色彩，是我国最早用歌诀写的数学书籍。数学教育的贡献。杨辉

47、在其著作中，提出重要的教育原则和教育思想方法。 （七）、李冶 李治（1192-1279）河北栾城县人，原名李治，后发现唐高宗也叫李治，为了避开与古代帝王同名而不吉利的说法，所以改为李冶。他的数学著作有测圆海境12卷（1248）和益古演段3卷（1259）。这两部著作一直流传至今，成为我国宋元数学的宝典遗产。 其主要数学成就有：1.改进天元术。“天元术”就是列一元方程的方法。2.几何问题代数化 。 （八）、朱世杰（第一位职业数学教育家）. 朱世杰生于北京附近（13世纪末14世纪初），元代大数学家兼教育家。他周游各地二十多年，四方之来学者日众，到扬州时，“踵门而学者云集”。朱世杰继承前人成果，并创造

48、性加以发挥，把我国古代数学理论研究推向高潮。他的数学著作有 算学启蒙（1299年）及四元玉鉴（1303年）。算学启蒙的内容有乘除、面积、体积、垛积、盈不足、差分、方程、天元术等，按照由浅入深的原则排列，十分便于学习，是一本好的数学启蒙书籍。四元玉鉴的内容有“招差术”和他首创的“四元术”，所列方程，从一元到四元都有。此外还有涉及几何、代数方面的一些问题。 朱世杰在数学上的主要贡献 ：（1）垛积术和内插法。 （2）四元术。（3）数学教育工作。 （九）程大位程大位（15331606）安微人。明代著名数学家、珠算大师。他少年时代对书法和数学很感兴趣，从二十多岁后在长江下游一带经商。在此过程中他遍访名师

49、，搜罗数学书籍，积学十年的努力，在60岁时，写成了算法统宗一书，又因同时期有山西的王文素也写了算学宝鉴的一部珠算著作，所以后人对明代的这两位数学家尊称为：北王南程。（十）、徐光启（首译欧氏几何）徐光启（15631633）上海市徐家汇人。19岁考上秀才，35岁考中进士。曾任礼部尚书翰林学士。和意大利耶稣会会长、传教士利玛窦首次合译几何原本前六卷，利口授徐笔录。因徐不懂拉丁文，又没有中外文词表对照，许多译名都是从无到有，边译边创造。先由利玛窦用中文逐句口头翻译，徐光启后用笔抄录下来。每天晚上徐坐在灯烛下，再字斟句酌地作一番推敲、修改，然后由利再对原著进行核查，不妥的地方，重新修改，如此反复数次，直

50、到满意为止。 徐光启确定译文，借用我国古代用语，并从词义、音译及概念本身考虑，精心研究，煞费苦心，使译文通俗易懂，意明理通，错误很少。许多译名十分贴切，不但我国沿用至今，并且还影响了日本、朝鲜等国。如点、直线、平行线、角、三角形、四边形”、“有理比例”等。“几何”一词，欧氏书名原本中没有这个词，是徐光启翻译时创用的。 徐光启和利玛窦虽然只译完原本前六卷，但欧氏几何大厦的基础和框架已显端倪。欧氏几何演绎推理的证明方法，与中国古算不同，因而得到徐光启、李之藻等人的推崇，这对中国后来产生了较大影响。 此外，徐光启在发展农业、兴修水利、修改历法方面也有相当的贡献 。 （十一）、梅文鼎（数学世家）清代数学家、天文学家梅文鼎（163