高等数学二重积分概念

1、高等数学二重积分概念第1页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四三、二重积分的性质 第一节一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章 第2页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四解法:一、引例1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：顶:侧面：求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” xOy 面上的闭区域 D连续曲面以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面类似定积分解决问题的思想:第3页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四1)“大化小”以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“

2、常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体用 曲线网分D为 n 个区域任意第4页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四4)“取极限”令则曲顶柱体的体积为：第5页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决.1)“大化小”相应把薄片也分为小块 .用 曲线网分D 为 n 个小区域任意第6页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四2)“常代变”中任取一点3)

3、“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量第7页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 第8页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四二、二重积分的定义及可积性定义 将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 在D上的二重积分.第9页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四引例1中曲顶柱体体积:

4、引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 第10页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四二重积分存在定理:若函数定理2 (证明略)定理1 在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在 D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 第11页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四三、二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 第12页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期

5、四特别, 由于则5. 若在D上6. 设D 的面积为 ,则有第13页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四7.(二重积分的中值定理)证由连续函数介值定理, 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此由性质6 可知,第14页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四例1其中解它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线从而而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上比较下列积分的大小:积分域 D 的边界为圆周第15页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四例2 估计下列积分之值解由于积分性质5即: 1.96 I 2DD 的面积为第

6、16页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四例3 判断积分的正负号.解则原式 =猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项分积分域为第17页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四8. 设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有第18页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作 第19页，共28页，2022年，5月20日，21点

7、23分，星期四同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作 第20页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四例4解利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.设两个直圆柱方程为第21页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四内容小结1. 二重积分的定义2. 二重积分的性质(与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法第22页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四被积函数相同, 且非负, 思考与练习解 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:第23页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )因 0 y 1, 故故在D上有提示:第24页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四3 计算解 第25页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四4 证明:其中D 为解又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .利用题中 x , y 位置的对称性, 有第26页，共28页，2022年，5月20日，21点23分，星期四补