量子力学小结

1、量子力学小结第1页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三第一章 绪论（小结） 1、经典物理的困难 黑体辐射，光电效应，原子光谱线系2、旧量子论普朗克能量子论爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性；光电效应的规律；爱因斯坦公式： 光子能量动量关系：第2页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三玻尔的原子理论量子化条件 ：定态的假设、频率条件 ：3、微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系。4、量子力学的建立物质波薛定谔方程非相对论量子力学 相对论量子力学量子场论 第3页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，

2、星期三第二章 波函数和薛定谔方程（小结）1量子力学中用波函数描写微观体系的状态。2波函数统计解释：若粒子的状态用 描写， 表示在t时刻，空间 处 体积元内找到粒子的几率（设 是归一化的）。3态叠加原理：设 是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加：也是体系的一个可能状态。第4页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三若体系处于 态，我们讲体系部分处于 态。4波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：当势场 不显含 时 ，其解是定态解： 满足定态薛定谔方程 ：其中定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。第5页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三5波函数的归一化条件：

3、 相对几率分布： 波函数存在常数因子不定性；相位因子不定性。6波函数标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。7几率流密度 与几率密度 满足连续性方程：第6页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三8一维无限深方势阱 本征值 本征函数 若 则本征值 第7页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三本征函数 9三维无限深方势阱 可以用分离变量法求解得到本征值 本征函数第8页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三10一维谐振子 本征值 本征函数 11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。第

4、9页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三12、势垒贯穿隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。第10页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三第三章 量子力学中的力学量（小结）1量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。2.厄米算符A的定义： 厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备等条件。第11页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三3力学量的测量值：在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的本征值；在非

5、的本征态 中测量F，可能值是F的本征值。将 用算符F的正交归一的本征函数 展开： 则在 态中测量力学量F得到结果为 的几率为 ，得到结果在 范围内的几率为: 。第12页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三力学量的平均值是: 或第13页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三4 连续谱的本征函数可以归一化为 函数。5简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。简并度： 算符的属于本征值 的线性无关的本征函数有f个，我们称 的第n个本征值 是f度简并的。6 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数) 正交归一性 第14页，共48页，2

6、022年，5月20日，21点35分，星期三7 角动量 分量 本征函数 的本征值 8 平面转子（设绕 轴旋转）哈密顿量 能量本征态 能量本征值 第15页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三9 有共同的本征函数球谐函数： 中心力场中，势场 ，角动量 为守恒量。1第16页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三10中心力场中，定态薛定谔方程 选 为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为 11氢原子第17页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三类氢离子 12 守恒力学量的定义：若 （即力学量的平均值不随时间变化），则称 为守恒量。力学量 的平均值随

7、时间的变化满足因而力学量 为守恒量的条件为： 且 第18页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三13宇称算符宇称算符的定义： ，本征值，本征函数。14 对易式定义：15 对易式满足的基本恒等式： （Jacobi恒等式）第19页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三16 一些重要的对易关系：第20页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三17若算符 对易，即 ，则 和 有共同的本征函数系。在 和 的共同的本征函数表示的态中测量 ，都有确定值。若算符 不对易，即 ，则必有简记为 特别地， 第21页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，

8、星期三第四章 态和力学量的表象小结1 表象是以 的本征函数系 为基底的表象，在这个表象中，有第22页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是:选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。平均值公式是： 归一化条件是： 本征值方程是： 2 在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足 ；态的变换是；算符的变换是。幺正变换不改变算符的本征值。3 量子态可用狄拉克符号右矢或左矢表示。狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论，而且运算简洁。第23页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三基矢的封闭性： 坐标表象 狄拉克

9、符号第24页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三4粒子占有数表象以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿的本征态为基矢的表象。粒子数算符：湮灭算符：产生算符：第25页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三第五章 微扰理论小结1定态微扰理论适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求的本征值和本征函数已知或较易计算，另一方面又要求把的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰比较小，以保证微扰计算收敛较快，即（1）非简并情况：第26页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三其中，能量的一级修正等于态中的平均值。（2）简并情况 能级的一

10、级修正由久期方程即给出。有个实根，记为第27页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三分别把每一个根代入方程 ，即可求得相应的解，记为，于是得出新的零级波函数2变分法选择尝试波函数，计算的平均值，它是变分参量的函数，由极值条件定出，求出，它表示基态能量的上限。相应能量为第28页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三3.与时间有关的微扰理论（1）由的跃迁几率是（在一级近似下）此公式适用的条件是对于（2）能量和时间的测不准关系：（3）偶极跃迁中角量子数与磁量子数的选择定则第29页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三例题1、设在H0表象中， 的矩

11、阵为：试用微扰论求能量的二级修正。解：本题的意义在于：并不知道无微扰算符 ，微扰 和总的（一级近似）哈氏算符 的形式，也不知道零阶近似波函数 的形式，知道的是在 表象中 的矩阵。但仅仅根据这矩阵的具体形式，按习惯用代表字母的涵义，可以知道几点：第30页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三（1）能量本征值是分立的（因为用分立矩阵表示，若是连续能量本征值，不能用此表示法），无微扰能量本征值有三个 ，本征函数 。因 （2）微扰算符的的矩阵是 根据无简并微扰论，一级能量修正量是：从（2）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量：第31页，共48页，2022年，5月20日，21

12、点35分，星期三又二级能量公式是：所需的矩阵元已经直接由式（2）表示出，毋需再加计算，因而有：第32页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三例2、设在H0表象中用微扰论求能量修正量（到二级近似），严格求解与微扰论计算值比较。解：直接判断法：题给矩阵进行分解，有第33页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三从矩阵（3）知道一级修正量（用对角矩阵元）和二级修正量（用非对角矩阵元）仿前一题，直接写出两个能级（正确到二级修正量）严格求解法：这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用单列矩阵表示）。我们设算符H（1）

13、具有本征矢 ，本征值是 ，列矩阵方程式：第34页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三展开后成两式 又假设本征矢是归一化的：（5）式有 非平凡解的条件是：第35页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三（7）后一式可展开（8）第36页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三（7）是正确本征值解，共有二个，以符号 来区别。（8）的级数展开式可分写为中断在第三项的时侯便是二阶近似值，这由对比便能知道两个能级近似值的绝对误差是有下述上限的。第37页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三第七章 自旋与全同粒子1电子自旋电子自旋假设的两

14、个要点：（1） （2）内禀磁矩的值即玻尔磁子的值： 斯特恩盖拉赫实验证明了原子具有磁矩和电子自旋。2.自旋算符和自旋波函数（1）自旋算符与Pauli矩阵 ：第38页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三对易关系：（单位算符） 第39页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三（2）自旋波函数（200-203页） 考虑电子的自旋后，电子的波函数是二行一列矩阵：当电子的自旋与轨道相互作用可以忽略时，电子的波函数可以写为： 第40页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三的本征函数：（3）两电子体系的自旋波函数：第41页，共48页，2022年，5月20

15、日，21点35分，星期三算符3、 两个角动量的耦合若 是两个独立的角动量，则 也是角动量。 C-G系数的性质： ，j的取值 第42页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三4、全同粒子（1）量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等）相同的粒子称为全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的。这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性 或者交换反对

16、称性。 第43页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三（3） 全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。玻色子：自旋为整数倍（ ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如介子（ ），光子（ ）。它们遵守Bose统计，称为Bose子。费米子：自旋为 半奇数倍（ ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是反对称的，例如电子，质子，中子等。它们遵守Fermi 统计，称为Fermi子。 由“基本粒子”组成的复杂粒子，例如粒子（氦核）或其它原子核，如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同性概念仍然适用，也可以当成一类全同粒子来处理。如果它们是由Bose 子组成，则仍为Bose子。如它们由奇数个Fermi 子组成，则仍为Fermi子；但如由偶数个Fermi子组成，则构成Bose子。 第44页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三（4）Pauli不相容原理：不容许有两个或两个以上的全同Fermi子处于同一个单粒子态。第45页，共48页，2022年，5月20日，21点35分，星期三例题1.设自由粒子的动能为，粒子的速度远小于光速，求其德布罗意波长。例题2. 如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，即：求阱中粒子的波函数和能级的表达式。例题3