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文档简介

1、关于微积分函数第一张,PPT共四十页,创作于2022年6月集合论与悖论第二张,PPT共四十页,创作于2022年6月悖论定义“悖论”这个词的意义比较丰富,它包括一切与人们直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式:1、一种论断看起来好象肯定错了,实际上却是对的(佯谬);2、一种论断看起来好象肯定对了,实际却错了(似是而非);3、一系列理论看起来好象无懈可击,却导致逻辑上自相矛盾。第三张,PPT共四十页,创作于2022年6月各种各样的悖论说谎者悖论我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。 这句话是错的上面这个句子对吗?如果是对的,这句话就是错的!如

2、果这句话是错的,那这个句子就对了!像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。第四张,PPT共四十页,创作于2022年6月理发师悖论著名的理发师悖论是伯特纳德罗素提出的。一个理发师的招牌上写着: 告示: 城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸,我也只给这些人刮脸。谁给这位理发师刮脸呢?如果他自己刮脸,那他就属于自己刮脸的那类人。但是,他的招牌说明他不给这类人刮脸,因此他不能自己来刮。第五张,PPT共四十页,创作于2022年6月理发师悖论如果另外一个人来给他刮脸,那他就是不自己刮脸的人。但是,他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来,没有任何人能给这位理发师刮脸了!伯

3、特纳德罗素提出这个悖论,为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如,所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果,所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗?无论你作何回答,你都自相矛盾。第六张,PPT共四十页,创作于2022年6月帕特先生沿着一条小路向山顶进发。他早晨七点动身,当晚七点到达山顶。他在山顶做了一夜的考察工作,第二天早晨七点沿同一条小路下山。那天晚上七点钟,他到达山脚。在那里,他遇到了他的拓扑学老师克莱因夫人。克莱因:帕特!你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点,你

4、通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同?帕特:您一定是在开我的玩笑!这绝对不可能。我走路时快时慢,有时还停下来吃饭和休息。尽管这样,克莱因夫人还是对的。不可逃遁的点第七张,PPT共四十页,创作于2022年6月的排列无规则,可是让我们看从第710154个数以下的数字是怎样排列的:一连串排有7个3。的数字从它是随机产生的这一点来讲,它不是没有规律的,可是从它的数字排列规律是“无章可循”这一点来讲,又是没有规律的。数学家对的小数位不断增加作了很多试 验,看是有什么“规律性”, 可是毫无结果。的小数位 数字就像一个旋转圆盘可以 旋到0至9任何一个数字那样 毫无规律。圆周率中的数字结构第

5、八张,PPT共四十页,创作于2022年6月时间机器布朗教授刚刚返回到了30年前,他正注视着还是婴儿的自己。布朗:假定我把这婴儿杀死,那他不会有长大起来而变成布朗教授!我会突然消失吗?现在布朗教授又跑到未来30年后。他正在他实验室外的橡树上刻他的名字。教授又回到离去的那个时间。几年以后,他决定砍掉他那颗橡树。他砍完以后,一下变得困窘起来。布朗:呣三年前,我曾漫游未来的30年后,并在这颗树上刻下了我的名字。27年以后,当我到了我过去曾经到过的地方时,将会出现什么情景呢?什么树也没有了。我要把名字刻在其上的树从哪儿来呢?第九张,PPT共四十页,创作于2022年6月神秘的悖论悖论是属于领域广阔、定义严

6、格的数学分支的一个组成部分,这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而,切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏(一种在小方格中插小木条的游戏)时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯诺易曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。第十张,PPT共四十页,创作于2022年6月什么是悖论?笼统地说,是指这样的推理过程:它看上去是合理的,但结果却得出了矛盾。悖论在

7、很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题:由它的真,可以推出它为假;由它的假,则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点,因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话,这种冲击波会更为强烈,由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下,悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法,在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。神秘的悖论第十一张,PPT共四十页,创作于2022年6月希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此,我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。

8、天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用,同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国.最早的一部天文数学著作周髀算经中就已有了关于这一定理的初步认识。第十二张,PPT共四十页,创作于2022年6月不过,在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。在国外,最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂,而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号:“百牛定理”。神奇的毕达哥拉斯学派.毕达哥拉斯学

9、派第十三张,PPT共四十页,创作于2022年6月毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而,具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯学派第十四张,PPT共四十页,创作于2022年6月 Pythagoras 毕达哥拉斯Pythagoras (约-569?) ,生于Samos岛,卒于意大利。毕氏学派的创始人。由于他万物皆数的信念,为希腊数学的

10、昌盛奠下基本的思想质素。Pythagoras生于爱琴海东岸靠近安那托利亚半岛的Samos岛,母亲是本岛人,父亲则是来自于地中海东岸Tyre的商人。Pythagoras一生的事迹由于历史久远,近于传奇,在事件的年代考证差别颇大,不过若不计较确定的时间, 第十五张,PPT共四十页,创作于2022年6月Pythagoras 毕达哥拉斯第十六张,PPT共四十页,创作于2022年6月Pythagoras 毕达哥拉斯第十七张,PPT共四十页,创作于2022年6月Pythagoras 毕达哥拉斯第十八张,PPT共四十页,创作于2022年6月Pythagoras 毕达哥拉斯第十九张,PPT共四十页,创作于20

11、22年6月 Pythagoras 的一生 青年时期的Pythagoras随商人父亲四处游历,到过叙利亚游学,也到过意大利。他的教育良好,有三个影响他很大的老师:Pherekydes、Thales、Anaximander,后者尤其在数学、几何、天文上对他多有启发。卅岁后,Pythagoras到埃及待了约十年,他四处拜访神庙僧侣,研究宗教仪式,许多埃及宗教的特色与戒律,后来在毕氏学派的生活里都可以看得出来。后来波斯入侵埃及,Pythagoras 被俘,送往巴比伦,他在这里学习了算术、音乐与其它数学。 第二十张,PPT共四十页,创作于2022年6月 Pythagoras 的一生五十岁左右,Pytha

12、goras回到Samos岛,在短暂地到 Crete 岛学习法律,并在Samos岛建立一个短命学派后,他在两年之后到意大利南边的Croton建立了影响重大的毕氏学派,这是一个哲学宗教团体,以数学的秘密知识为中心。它的核心圈称为mathematikoi,有点像今日所谓的僧团,必须放弃财产、持戒、素食,另外还有像是居士的外围团体。而教主就是Pythagoras。 第二十一张,PPT共四十页,创作于2022年6月Pythagoras 学派的信念 宗派弟兄必须绝对的忠实与守密。 实在最深刻的本性是数学。 哲学可以使精神纯净。 灵魂可以与上天契合。 符号有神秘的力量。第二十二张,PPT共四十页,创作于20

13、22年6月毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数sqrt(2)的诞生。小小sqrt(2)的出现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。毕达哥拉斯学派第二十三张,PPT共四十页,创作于2022年6月这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高度发展时,这

14、个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的sqrt(2)的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就直接导致人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”。希帕索斯悖论与第一次数学危机第二十四张,PPT共四十页,创作于2022年6月第一次数学危机的解决二百年后,大约在公元前370年,才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保留住与之相关的一些结论,从而解决了由无理数出现而引起

15、的数学危机。但欧多克索斯的解决方式,是借助几何方法,通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下,对无理数的使用只有在几何中是允许的,合法的,在代数中就是非法的,不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号,而不被当作真正的数。第二十五张,PPT共四十页,创作于2022年6月直到18世纪,当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立:一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数,另一方面也真正彻底

16、、圆满地解决了第一次数学危机。第一次数学危机的解决第二十六张,PPT共四十页,创作于2022年6月第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高,十七世纪几乎在同一时期,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世,就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿,还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。贝克莱悖论与第二次数学危机第二十七张,PPT共四十页,创作于2022年6月从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。

17、其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。贝克莱指责牛顿,为计算比如说 x2 的导数,先将 x 取一个不为0的增量x,由(x+x)2-x2,得到2xx+(x2),后再被x 除,得到2x+x ;最后突然令x=0,求得导数为2x。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零,一会儿又说不是零。数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。贝克莱悖论第二十八张,PPT共四十页,创作于2022年6月第二次数学危机的解决贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题:就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0。但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾。这一问题的提

18、出在当时的数学界引起了一定的混乱,由此导致了第二次数学危机的产生。柯西开始用不等式来刻画极限,使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来,德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“-”方法。第二十九张,PPT共四十页,创作于2022年6月1892年,一些数学家又利用“闭区间套原理”来建立实数理论。由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础,这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出

19、学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立,结束了数学中暂时的混乱局面,同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。第二次数学危机的解决第三十张,PPT共四十页,创作于2022年6月罗素悖论与第三次数学危机十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。集合论成为现代数学的基石。好景不长,1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。第三次数学危机的爆发了。第三十一张,PPT共

20、四十页,创作于2022年6月Cantor、康托 (18451918)康托生于圣彼得堡,卒于德国Halle。是数学史上最被误解,而又最具革命性的思想家之一。康托1862年就读于苏黎士,先后受教于Weierstrass、Kummer 及Kronecker。1867年以一篇数论问题的论文,从柏林大学获得博士学位。他因为对一般数学的正确性产生质疑,因而受到数学界的排挤。特别是有Kronecker 作敌人,所以只能到第二流的小学校当教授,直到退休。 第三十二张,PPT共四十页,创作于2022年6月Cantor、康托 (18451918)由于受到Weierstrass 在分析方面的影响,使得康托注意到实数

21、在线点集的本质。1874年他在Crelle 杂志上发表了集合论的第一篇文章。后来由于比较无穷集合的大小而产生了超限数的概念,使集合论变成数学的一支。在他之前,所有的无穷都被视为一样,但康托证明它们是不同的。1632年伽利略在他的对话录中说:”数与平方数一样多,因为每个数都有平方根。“他问,自然数及平方数那一比较多。 第三十三张,PPT共四十页,创作于2022年6月Cantor、康托 (18451918)康托给”一样多“一个精确的意义,他说: 两集合等价,如果它们的元素间存在一一对应。现在我们可以定义有限集合与无限集合如下: 一个集合如果它是空集,或者存在一个自然数,使得此集合等价于,则此集合为

22、有限集,否则它是无限集。康托的无限的概念,激起了许多人的反对,包括Kronecker及Gauss 等人。Kronecker说:”上帝创造自然数,其余的都是人造的“ 。Kronecker对数学存在性的严厉要求大大地伤害了康托。 第三十四张,PPT共四十页,创作于2022年6月罗素构造了一个集合S:S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问:S是否属于S呢?根据排中律,一个元素或者属于某个集合,或者不属于某个集合。因此,对于一个给定的集合,问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S;反之,如果S不属于S,同样根据定义,S就属

23、于S。无论如何都是矛盾的。第三次数学危机的产生第三十五张,PPT共四十页,创作于2022年6月危机产生后,数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则。 “这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年,策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来经其他数学家改进,称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。第三次数学危机的解决第三十六张,PPT共四十页,创作于2022年6月第三次数学危机的解决除ZF系统

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