材料物理性能 晶体结构

1、材料物理性能 晶体结构第1页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四晶体内部结构概括为是由一些相同点子在空间有规则作周期性无限分布，这些点子的总体称为点阵。（该学说正确地反映了晶体内部结构长程有序特征，后来被空间群理论充实发展为空间点阵学说，形成近代关于晶体几何结构的完备理论。）1.1.1 空 间 点 阵一、布喇菲的空间点阵学说第2页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四关于结点的说明： 当晶体是由完全相同的一种原子组成，结点可以是原子本身位置。 当晶体中含有数种原子，这数种原子构成基本结构单元（基元），结点可以代表基元重心，原因是所有基元的重心都是结构中

2、相同位置，也可以代表基元中任意点子 结点示例图1 . 点子空间点阵学说中所称的点子，代表着结构中相同的位置，也为结点，也可以代表原子周围相应点的位置。第3页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四晶体由基元沿空间三个不同方向，各按一定的距离周期性地平移而构成，基元每一平移距离称为周期。在一定方向有着一定周期，不同方向上周期一 般不相同。基元平移结果：点阵中每个结点周围情况都一样。2 . 点阵学说概括了晶体结构的周期性第4页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四3 . 晶格的形成通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族和平行的晶面族，点阵成为一些网格-晶格。

3、第5页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 平行六面体原胞概念的引出： 由于晶格周期性，可取一个以结点为顶点，边长等于该方向上的周期的平行六面体作为重复单元，来概括晶格的特征。即每个方向不能是一个结点（或原子）本身，而是一个结点（或原子）加上周期长度为a的区域，其中a叫做基矢 。这样的重复单元称为原胞。第6页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 原胞（重复单元）的选取规则 反映周期性特征：只需概括空间三个方向上的周期大小，原胞可以取最小重复单元（物理学原胞），结点只在顶角上。反映对称性特征：晶体都具有自己特殊对称性。结晶学上所取原胞体积不一定最小，结

4、点不一定只在顶角上，可以在体心或面心上（晶体学原胞）；原胞边长总是一个周期，并各沿三个晶轴方向；原胞体积为物理学原胞体积的整数倍数。 第7页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四引出物理学原胞的意义：三维格子的周期性可用数学的形式表示如下： T(r)=T(r+l1a1+l2a2+l2a3)r为重复单元中任意处的矢量；T为晶格中任意物理量；l1、l2、l3是整数，a1、a2、a3是重复单元的边长矢量。为进行固体物理学中的计算带来很大的方便。位矢RrR+r第8页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四不喇菲点阵的特点： 每点周围情况都一样。是由一个结点沿三维空

5、间周期性平移形成，为了直观，可以取一些特殊的重复单元（结晶学原胞）。 完全由相同的一种原子组成，则这种原子组成的网格为不喇菲格子，和结点所组成的网格相同。 晶体的基元中包含两种或两种以上原子，每个基元中，相应的同种原子各构成和结点相同网格-子晶格（或亚晶格）。 复式格子（或晶体格子）是由所有相同结构子晶格相互位移套构形成。4 .结点的总体-不喇菲点阵或不喇菲格子第9页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四晶体格子（简称晶格）：晶体中原子排列的具体形式。原子规则堆积的意义：把晶格设想成为原子规则堆积，有助于理解晶格组成，晶体结构及与其有关的性能等。二 、 晶 格 的 实 例1

6、. 简单立方晶格2. 体心立方晶格3. 原子球最紧密排列的两种方式第10页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四特点：层内为正方排列，是原子球规则排列的最简单形式；原子层叠起来，各层球完全对应，形成简单立方晶格；这种晶格在实际晶体中不存在，但是一些更复杂的晶格可以在简单立方晶格基础上加以分析。 原子球的正方排列简单立方晶格典型单元1. 简单立方晶格第11页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四简单立方晶格的原子球心形成一个三维立方格子结构，整个晶格可以看作是这样一个典型单元沿着三个方向重复排列构成的结果。 简单立方晶格单元沿着三个方向重复排列构成的图形第

7、12页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四2. 体心立方晶格 体心立方晶格的典型单元排列规则：层与层堆积方式是上面一层原子球心对准下面一层球隙，下层球心的排列位置用A标记，上面一层球心的排列位置用B标记，体心立方晶格中正方排列原子层之间的堆积方式可以表示为 ： AB AB AB AB体心立方晶格的堆积方式第13页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四体心立方晶格的特点：为了保证同一层中原子球间的距离等于A-A层之间的距离，正方排列的原子球并不是紧密靠在一起；由几何关系证明，间隙=0.31r0，r0为原子球的半径。具有体心立方晶格结构的金属：Li、Na

8、、K、 Rb、 Cs、 Fe等，第14页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四密排面：原子球在该平面内以最紧密方式排列。堆积方式：在堆积时把一层的球心对准另一层球隙，获得最紧密堆积，可以形成两种不同最紧密晶格排列。AB AB AB排列（六角密排晶格）ABC ABC ABC排列（立方密堆）3.原子球最紧密排列的两种方式第15页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四前一种为六角密排晶格，（如Be、Mg、Zn、Cd），后一种晶格为立方密排晶格，或面心立方晶格（如Cu、Ag、Au、Al） 面心立方晶格 （立方密排晶格） 面心（111）以立方密堆方式排列第16页，

9、共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 面心立方晶体（立方密排晶格）第17页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四六方密堆晶格的原胞第18页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四、不喇菲格子与复式格子把基元只有一个原子的晶格，叫做不喇菲格子；把基元包含两个或两个以上原子的，叫做复式格子。注：如果晶体由一种原子构成，但在晶体中原子周围的情况并不相同（例如用X射线方法，鉴别出原子周围电子云的分布不一样），则这样的晶格虽由一种原子组成，但不是不喇菲格子，而是复式格子。原胞中包含两个原子。第19页，共187页，2022年，5月20日，22点19

10、分，星期四1 . 氯化钠结构 表示钠 表示氯钠离子与氯离子分别构成面心立方格子，氯化钠结构是由这两种格子相互平移一定距离套购而成。第20页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四2 . 氯化铯结构 表示Cs 。 表示Cl第21页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四3 . 钙钛矿型 结构 表示Ba 表示O 表示Ti结晶学原胞 氧八面体第22页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四基元中任意点子或结点作周期性重复的晶体结构复式原胞重复的晶体结构第23页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四第24页，共187页，2022

11、年，5月20日，22点19分，星期四 五个子晶胞第25页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四注：结点的概念以及结点所组成的不喇菲格子的概念，对于反映晶体中的周期性是很有用的。基元中不同原子所构成的集体运动常可概括为复式格子中各个子晶格之间的相对运动。固体物理在讨论晶体内部粒子的集体运动时，对于基元中包含两个或两个以上原子的晶体，复式格子的概念显得重要，第26页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四四、结晶学原胞与固体物理学原胞间的相互转化 简立方 体立方 面心立方 立方晶系不喇菲原胞原胞的基矢为： a1=ia, a2=ja, a3=ka结晶学中，属于立

12、方晶系的不喇菲原胞有简立方、体心立方和面心立方。1. 简立方第27页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四2. 体心立方第28页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系： a1=(-i+j+k)a2 a2=(k+i-j)a2 a3=(i+j-k)a2体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的2倍。原因是结晶学原胞中含有两个原子，而物理学原胞中含有一个原子。第29页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四R=l1a1+l2a2+l2a3R=2a1+a2+a3R物理=a2+a3R结晶=(1/2)a+ (

13、1/2) a+a= (1/2)(a+a+2a)3. 面心立方a1a2a3第30页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四4. 六角密堆固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系： a1=(j+k)a2 a2=(k+i)a2 a3=(i+j)a2体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的4倍。原因是结晶学原胞中含有4个原子，而物理学原胞中含有一个原子。第31页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四1.1.2 密 勒 指 数一、晶列 1. 晶列通过任意两个格点连一直线，则这一直线包含无限个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表上所见的晶棱。其上的格点分布具有

14、一定的周期-任意两相邻格点的间距。 第32页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四1. 晶列的特点 （1）一族平行晶列把所有点 包括无遗。 （2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。 （3）通过一格点可以有无限 多个晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列与之对应。 （4 ）有无限多族平行晶列。第33页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 - 。 。 。 。 。 。 。 。 。 晶面的特点：（1）通过任一格点，可以作全同的晶面与一晶面平行，构成一族平行晶面.（2）所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏；（3）一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布情况相

15、同；（4）晶格中有无限多族的平行晶面。二、晶面第34页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四三、晶向 一族晶列的特点是晶列的取向，该取向为晶向； 同样一族晶面的特点也由取向决定，因此无论对于晶列或晶面，只需标志其取向。 注：为明确起见，下面仍只讨论物理学的不喇菲格子。第35页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四任一格点 A的位矢Rl为 Rl =l1a1+l2a2+l3a3式中l1、l2、l3是整数。若互质，直接用他们来表征晶列OA的方向（晶向），这三个互质整数为晶列的指数，记以 l1，l2，l3同样，在结晶学上，原胞不是最小的重复单元，而原胞的体积是最

16、小重复简单整数倍，以任一格点o为原点，a、b、c为基矢，任何其他格点A的位矢为 k ma+knb+kpc其中m、n、p为三个互质整数，于是用m、n、p来表示晶列OA的方向，记以nmp。1 . 晶列指数 （晶列方向的表示方法）ORlAa1a2a3第36页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四表示晶面的方法，即方位： 在一个坐标系中用该平面的法线方向的余弦；或表示出这平面在座标轴上的截距。a1a2a3设这一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为n，则这族晶面中，离开原点的距离等于d的晶面的方程式为： R n=d为整数；R是晶面上的任意点的位矢。R2. 密勒指数（ 晶面方向

17、的表示方法）第37页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四设此晶面与三个座标轴的交点的位矢分别为ra1 、sa2、ta3,代入上式，则有 ra1cos(a1,n)=d sa2cos(a2,n)=d ta3cos(a3,n)=da1 、 a2、a3取单位长度，则得cos(a1,n)： cos(a2,n) ：cos(a3,n)=1r：1s：1t结论：晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。第38页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 已知一族晶面必包含所有的格点 ，因此在三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同

18、的晶面上。设a1 、 a2、a3的末端上的格点分别在离原点的距离为h1d、h2d、h3d的晶面上，其中h1、h2、h3都是整数，三个晶面分别有 a1n=h1d , a2n=h2d , a3n=h3dn是这一族晶面公共法线的单位矢量，于是 a1cos(a1,n)=h1d a2cos(a2,n)=h2d a3cos(a3,n)=h3d证明截距的倒数之比为整数之比第39页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四cos(a1,n)： cos(a2,n) ：cos(a3,n)=h1：h2：h3结论： 晶面族的法线与三个基矢的夹角的余弦之比等于三个整数之比。可以证明 ：h1、h2、h3三

19、个数互质，称它们为该晶面族的面指数，记以（ h1h2h3）。即把晶面在座标轴上的截距的倒数的比简约为互质的整数比，所得的互质整数就是面指数。几何意义：在基矢的两端各有一个晶面通过，且这两个晶面为同族晶面，在二者之间存在hn个晶面，所以最靠近原点的晶面（=1）在坐标轴上的截距为a1/h1、a2/h2、a3/h3,同族的其他晶面的截距为这组截距的整数倍。第40页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四实际工作中，常以结晶学原胞的基矢a、b、c为坐标轴来表示面指数。在这样的坐标系中，标征晶面取向的互质整数称为晶面族的密勒指数，用(hkl)表示。例如：有一ABC面，截距为4a、b、c

20、, 截距的倒数为1/4、1、1，它的密勒指数为（1，4，4）。另有一晶面，截距为2a、4b、c, 截距的倒数为1/2、1/4、0，它的密勒指数为（2、1、0）。第41页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四简单晶面指数的特点： 晶轴本身的晶列指数特别简单，为100、010、001； 晶体中重要的带轴的指数都是简单的； 晶面指数简单的晶面如（110）、（111）是重要的晶面； 晶面指数越简单的晶面，面间距d就越大，格点的面密度大，易于解理； 格点的面密度大，表面能小，在晶体生长过程中易于显露在外表；对X射线的散射强，在X射线衍射中，往往为照片中的浓黑斑点所对应。第42页，共1

21、87页，2022年，5月20日，22点19分，星期四1.1.3 倒 格 子条件：X射线源、观测点与晶体的距离都比晶体的线度大的多，入射线和衍射线可看成平行光线；散射前后的波长不变,且为单色。 一、从X射线衍射方程 反射公式引出倒 格矢概念第43页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四第44页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四第45页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四第46页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四第47页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四CO= -Rl S0 OD= R

22、l S衍射加强条件： Rl （ SS0 ）=有：ko=(2/ ) S0 k=(2/ ) S得：Rl （ kk0 ）= 2 设： kk0 =n Khkk0 =n Kh的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个Kh（倒格矢）时，满足衍射加强条件， n为衍射级数。1. 衍射方程CRlD衍射线单位基矢S OA入射线单位基矢S0晶面第48页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四2. 反射公式 |kk0 |= 2 |S/ - S0 / | =( 4/ ) sin |kk0 | = | n Kh |= 2n/dh1h2h3 | Kh |= 2/dh1h2h3PATAPQQSd入射线与

23、反射线之间的光程差： =SA+A T=2d sin 满足衍射方程：2dh1h2h3 sin =n kk0kk0第49页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四设一晶格的基矢为 a1 、 a2、a3，有如下的关系： b1= 2(a2a3) 说明b1垂直于a2和a3所确定的面； b2= 2(a3a1) 说明b2垂直于a3和a1所确定的面 b3= 2(a1a2 说明b3垂直于a1和a2所确定的面 式中： = a1 ( a2a3)为晶格原胞的体积。二、倒格子的概念1. 倒格子的数学定义第50页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四倒格子：以b1、b2、b3为基矢的

24、格子是以a1、a2、a3为基矢的格子的倒格子。（1） 正格子基矢和倒格子基矢的关系2. 正格子与倒格子的几何关系 =2 (i=j) aibj=2i j =0 (ij)证明如下： a1b1=2 a1 ( a2a3) / a1 ( a2a3) = 2 因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有： a2b1=0 a3b1=0第51页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 （2）除（2）3因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积*互为倒数。 *=b1 ( b2b3) = (2）3/ 表示正格点 表示倒格点ABC为一族晶面（h1h2h3）中的最靠近原点的晶面，与 k h垂直a1a2

25、a3BCAk ha1/h1a3/h3a2/h2（3）正格子中一族晶面（h1h2h3）和倒格矢 k h=h1b1+h2b2+h3b3 正交，即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标.第52页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四由（3）、（4）可知，一个倒格矢代表正格子中的一族平行晶面 。 晶面族（h1h2h3）中离原点的距离为 d h1h2h3的晶面的方程式可写成： R l kh/|kh|= d h1h2h3 (=0,1,2,)得出正格矢和倒格矢的关系： R l kh= 2 结论：如果两矢量的关系：R l kh= 2，则其中一个为正格子，另一个必为倒格子；即正格矢和倒

26、格矢恒满足正格矢和倒格矢的关系。（4）倒格矢的长度正比于晶面族（h1h2h3）的面间距的倒数。dh1h2h3=a1/h1kh/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2/|kh|第53页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四结论： 倒格矢Kh垂直某一晶面（ h1h2h3 ），也即该晶面的法线方向与此倒格矢方向一致。 倒格矢Kh的大小与和其垂直的晶面间距成正比。 一个倒格矢对应一族晶面，但一族晶面可以对应无数个倒格矢，这些倒格矢的方向一致，大小为最小倒格矢的整数倍。 满足X射线衍射的一族晶面产生一个斑点，该斑点代表一个倒格点，即该倒格点对应一族晶面指数。

27、第54页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四kk0 =n Kh的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个倒格矢Kh时，则该族晶面（h1h2h3） 满足衍射加强条件， n为衍射级数。从2dh1h2h3 sin =n 中可知：对于某一个确定的晶面族，要满足衍射加强条件，可以改变入射波矢的方向，即改变，或改变入射波矢的大小，即改变。第55页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 b1 a1 =2 b2 a2=2a2a1b1b2Kl|Kl|=(3b1)2+4b2)21/2 =(32/ a1)2+4 2/a2)21/2面间距：d= 2/ |Kl|=(6/ a

28、1)2+ (8/a2)21/2RlOAB Rl=l1a1+l2a2+l3a3 Kl=l1b1+l2b2+l3b3 Rl=5a1+2a2 Kl=3b1+4b2证明：3b1+4b2 (3 4) 有：AB=OA-OB=a1/3 - a2/4AB (3b1+4b2 )=(a1/3 - a2/4) (3b1+4b2 )= a1 b1 - a2 b2 a1 b1 =0例如第56页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四利用倒易点阵（倒格子）与正格子间的关系导出晶面间距和晶面夹角。 晶面间距dh1h2h3 ：dh1h2h3=2/ |kh1h2h3| 两边开平方， 将kh1h2h3 =h1b

29、1+h2b2+h3b3及正倒格子的基矢关系代入，经过数学运算，得到面间距公式。晶面夹角 ： k1 k2 = k1 k2 COS 第57页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四100200300001002003101201301103202203(100)(001)(102)O倒格子与正格子间的相互转化102第58页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四0b1b2 一维格子倒格子原胞：作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，这些平面完全封闭形成的最小的多面体（体积最小）-第一布里渊区。b1b20二维格子3 . 倒格子原胞和布里渊区ab第59页，共187页，2

30、022年，5月20日，22点19分，星期四构成第一布里渊区（简约布里渊区）的垂直平分线的方程式如下： x=/a 及 y=/a 第二布里渊区的各个部分分别平移一个倒格矢，可以同第一区重合。第三布里渊区的各个部分分别平移适当的倒格矢也能同第一区重合。 (2/a) i-(2/a) i(2/a) j-(2/a) j第60页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四4 . X射线衍射与倒格子、布里渊区的关系（1） X射线衍射与倒格子的关系根据公式： kk0 =n Kh , 建立反射球或衍射球入射线的波矢k0 反射线的波矢k倒格矢KhOCA晶面反射球R l kh/|kh|= d h1h2h

31、3Rl .( kk0 ）= 2 dh1h2h3=2/ |kh1h2h3|（h1h2h3）（h1 h2 h3 ）第61页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四建立反射球的意义 通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点直接联系起来。 利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向 （若反射球上的A点是一个倒格点，则CA就是以OA为倒格矢的一族晶面h1h2h3的衍射方向S）。第62页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四OC倒格矢球面与反射球相交于一圆同一晶面由于晶体的旋转引起该晶面倒格矢的旋转从而形成倒格矢球面。第63页，共187页，2022年，5月2

32、0日，22点19分，星期四结论：所有落在此球上的倒格点都满足关系式: kk0 =n Kh即满足衍射加强条件。衍射线束的方向是C点至A点的联线方向。第64页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 第一布里渊区 第一布里渊区 第一布里渊区 二维正方格子的布里渊区 (2/a) i-(2/a) i(2/a) j-(2/a) j（2） X射线衍射与布里渊区的关系结论： 入射波矢从倒格子原点出发终止在布里渊区边界，该对应的入射波满足衍射条件kk0 =n Kh。第65页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四第66页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星

33、期四复式格子（几个子晶格）子晶格复式原胞基矢子原胞固体物理学原胞 平行六面体 最小重复单元 基矢 多原子 周期性晶格 结点 基元 空间点阵 晶列晶面 单原子 晶向 对称性晶格 面指数晶列指数 最小重复单元的 布喇菲格子（正格子） 倒格子 倒格矢 结晶学原胞 布喇菲原胞 子原胞 复式原胞 基矢 几倍晶体结构中的概念体系第67页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 晶体的基本特征是结构具有周期性。用空间点阵概括周期性，空间点阵是由R =l1a1+l2a2+l3a3的点的集合组成的点阵。 布喇菲格子的最主要特征是每个格点周围的情况都一样。对于多个原子组成的“分子”，将其看作基元

34、。真实的晶体结构是由点阵+基元构成。 晶体结构的周期性重复单元称为原胞。最小的重复单元是固体物理学原胞（包含一个原子或一个“分子”），最小单元的整数倍是结晶学原胞（包含多个原子或多个“分子”）。由周围情况相同的原子组成的格子为子晶胞，子晶胞相互沿空间移动（套购）形成的晶胞为复式格子。 晶体中的晶面用密勒指数表示。 重要的简单结构有体心立方、面心立方、六角密堆、氯化钠、氯化铯、金刚石结构。小 结第68页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 每个晶体结构有两个点阵同它联系：晶体点阵和倒格子点阵，正格子点阵是真实空间的点阵，倒格子点阵是在波矢空间的点阵。结晶学家喜欢用正格子，而

35、物理学家喜欢用倒格子，因为它在数学处理上具有优越性。 两个点阵的基矢具有一定的几何关系（包括方向、大小）。 倒格子原胞的选取：作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，为这些平面所完全封闭的最小体积-第一布里渊区。其体积与正格子体积成正比。 倒格子中的一个格点与正格子中的一族晶面相对应。 衍射条件：入射波矢和反射波矢之差为该平面族所对应的倒格矢的整数倍。 晶体衍射的过程就是把正格子中一族晶面转化为倒格子中的一点的过程。第69页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四1.2.1 晶体结合的类型1.2.2 结合力 1.2 晶体的结合结合力的不同可以将其分成五个典型的结合类型: 离子晶体

36、 原子晶体 金属晶体 分子晶体 氢键晶体1.2.1 晶体的结合类型第70页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四I-VII族组成的晶体是典型的离子晶体，如： NaCI、 CsCI；II-VI族化合物可以看作离子晶体，如：CdS、ZnS。一、离子晶体1 . 类型刚球模型：组成离子晶体的原子在得失电子后，电子组态与惰性原子的电子组态一样，这种电子壳层结构是稳定的，具有球形对称性，由此可以把正负离子作为钢球来处理。 2. 基本概念第71页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四结合力：正负离子间的静电库仑力 。 配位体：离子的最邻近的异种离子。配位数：异种离子的

37、总数。晶体的结合能Eb：晶体由N个原子组成，这些原子的在自由时的总能量EN与晶体处于稳定状态时的能量（动能和势能）E0之差。晶体结合能的意义：结合能对了解组成晶体的粒子间相互作用的本质，为探索新材料的合成提供了理论指导。第72页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 (1） 氯化钠型是由两种面心立方结构的离子沿晶轴平移1/2间距而成，配位数为6。NaCI、KCI、AgBr、PbS、MgO等皆属此类； ( 2）氯花铯型是由两种简立方结构的离子沿空间对角线位移1/2长度套购而成，配位数为8。TiBr、TiI等皆属此类。3 . 晶格复式格子。4 . 典型的离子晶体结构（3）离子结

38、合成分较大的半导体材料ZnS等，是由两种各为面心立方结构的离子沿空间对角线位移1/4程度套购而成的闪锌矿结构，配位数为4。第73页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四结合能的数量级约在800kJ/mol，结构稳定导致4 . 特性导电性能差、熔点高、硬度高、热膨胀系数小。在红外区有一特征峰，但对可见光是透明的 。第74页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四晶格：复式格子类型： IV族元素C（晶刚石）、Si、Ge、Sn(灰锡）的晶体。结合力：共价键力。特点：饱和性-形成键的数目（配位数）有一 最大值；方向性-各个共价键之间有确定的取向。 例如：金刚石结构

39、的4个键的方向是沿着正四面体的4个顶角方向，键间的夹角恒为109028。 二、原子晶体（共价晶体）第75页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四特性：特性差别较大。典型的原子晶体，具有熔点高、导电性能差、硬度高等特点。例如：从熔点来看，金刚石约为3280k、而Si为1693k，Ge为1209k。从导电性来看，金刚石是一种良好的绝缘体，而Si和Ge在极低温度下才是绝缘体，同时它们的电阻率随温度升高而急速的下降，是典型的半导体材料。第76页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四类型：I、 II族元素及过渡元素都是典型的金属晶体。结合力：主要是由原子实和 电子

40、云之间的静电库仑力，所以要求排列最紧密。晶格：不喇菲格子。 原胞：大多数金属为立方密积和六角密积，配位数均为12。前者如Cu、Ag、Au、AI，后者如Be、Mg、Zn、Cd。少数金属具有体心立方结构，如Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W等。特性：具有良好的导电性，结合力小，但过渡金属的结合能则比较大。三、金属晶体第77页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四晶体中粒子的互作用可分为两大类： 1 . 吸引作用：是由于异性电荷之间的库仑力，引起的作用在远距离是主要的。 2. 排斥作用：一是同性电荷之间的库仑力，二是泡利原理所引起，在近距离是主要的。 在一适当的距离 吸引作用

41、= 排斥作用 晶格处于稳定状态1.2.2 结合力一 、 结合力第78页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四原子间的相互作用由势能u(r)可以按下式计算互作用力： f(r) = -du(r)/dr 当两原子很靠近时，斥力大于引力， 总的作用力f(r) 0。 当两原子相离比较远时，总的作用力为引力，f(r)0 二 互作用力、互作用势能和原子间距的关系u(r)rrf(r)rorm斥力吸引力1. 计算ro 、rm第79页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四在某一适当距离ro，引力和斥力相抵消，f(r)=0即： du(r)/dr| ro=0得 ro 由：df(

42、r)/dr| rm=- d2u(r)/dr2|rm= 0 得 rm第80页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四两原子间的互作用势能可用密函数来表达： u(r)=A/rm+B/rn A、B、m、n为大于零的常数 ，第一项表示吸引能，第二项表示斥力能。晶体中总互作用势能为原子或离子对间的互作用势能之和用经典的处理方法： 先计算两个原子之间的互作用势能，再把晶体的结构因素考虑进去，综合起来就可以求得晶体的总势能。 设晶体中两原子的互作用势能为u(rij),则由N个原子组成的晶体其总的互作用势能为： u(r) =1/2 u(rij) 2 . 求结合能第81页，共187页，2022

43、年，5月20日，22点19分，星期四已知原子间的结合力、结合能的数学表达式，可以计算晶格常数、体积弹性模量、抗张强度等许多物理量。例如： 晶胞常数的计算：原子处于平衡位置时，结合能最小，由 du(r)/dr| ro=0 求晶格常数。 三、结合力、势能的意义第82页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 小 结1 . 固体的结合全部归因于电子的负电荷和原子核的正电荷之间的静电吸引作用。但不同类型，表现形式不同。 离子键是由异性离子的静电吸引而形成； 共价键是反平行自旋的交叠电子，通过静电吸引束缚与它们关联的离子而形成； 金属键是靠负电子云同正离子实间的库仑力形成； 分子键靠感

44、生偶极矩间的互作用形成 氢键是氢原子核通过库仑作用与负电性较大的离子结合形成。2. 原子间的排斥作用来源于交叠电荷的静电排斥和泡利原理造成的排斥。3. 晶体采用何种结合类型决定于原子束缚电子的能力，这个能力由原子的电负性衡量。4 . 晶体结合力是研究其理化性能的基础。第83页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四1.2.1 晶体结合的类型1.2.2 结合力 1.2 晶体的结合结合力的不同可以将其分成五个典型的结合类型: 离子晶体 原子晶体 金属晶体 分子晶体 氢键晶体1.2.1 晶体的结合类型第84页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四I-VII族组成

45、的晶体是典型的离子晶体，如： NaCI、 CsCI；II-VI族化合物可以看作离子晶体，如：CdS、ZnS。一、离子晶体1 . 类型刚球模型：组成离子晶体的原子在得失电子后，电子组态与惰性原子的电子组态一样，这种电子壳层结构是稳定的，具有球形对称性，由此可以把正负离子作为钢球来处理。 2. 基本概念第85页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四结合力：正负离子间的静电库仑力 。 配位体：离子的最邻近的异种离子。配位数：异种离子的总数。晶体的结合能Eb：晶体由N个原子组成，这些原子的在自由时的总能量EN与晶体处于稳定状态时的能量（动能和势能）E0之差。晶体结合能的意义：结合能

46、对了解组成晶体的粒子间相互作用的本质，为探索新材料的合成提供了理论指导。第86页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 (1） 氯化钠型是由两种面心立方结构的离子沿晶轴平移1/2间距而成，配位数为6。NaCI、KCI、AgBr、PbS、MgO等皆属此类； ( 2）氯花铯型是由两种简立方结构的离子沿空间对角线位移1/2长度套购而成，配位数为8。TiBr、TiI等皆属此类。3 . 晶格复式格子。4 . 典型的离子晶体结构（3）离子结合成分较大的半导体材料ZnS等，是由两种各为面心立方结构的离子沿空间对角线位移1/4程度套购而成的闪锌矿结构，配位数为4。第87页，共187页，20

47、22年，5月20日，22点19分，星期四结合能的数量级约在800kJ/mol，结构稳定导致4 . 特性导电性能差、熔点高、硬度高、热膨胀系数小。在红外区有一特征峰，但对可见光是透明的 。第88页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四晶格：复式格子类型： IV族元素C（晶刚石）、Si、Ge、Sn(灰锡）的晶体。结合力：共价键力。特点：饱和性-形成键的数目（配位数）有一 最大值；方向性-各个共价键之间有确定的取向。 例如：金刚石结构的4个键的方向是沿着正四面体的4个顶角方向，键间的夹角恒为109028。 二、原子晶体（共价晶体）第89页，共187页，2022年，5月20日，22

48、点19分，星期四特性：特性差别较大。典型的原子晶体，具有熔点高、导电性能差、硬度高等特点。例如：从熔点来看，金刚石约为3280k、而Si为1693k，Ge为1209k。从导电性来看，金刚石是一种良好的绝缘体，而Si和Ge在极低温度下才是绝缘体，同时它们的电阻率随温度升高而急速的下降，是典型的半导体材料。第90页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四类型：I、 II族元素及过渡元素都是典型的金属晶体。结合力：主要是由原子实和 电子云之间的静电库仑力，所以要求排列最紧密。晶格：不喇菲格子。 原胞：大多数金属为立方密积和六角密积，配位数均为12。前者如Cu、Ag、Au、AI，后者

49、如Be、Mg、Zn、Cd。少数金属具有体心立方结构，如Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W等。特性：具有良好的导电性，结合力小，但过渡金属的结合能则比较大。三、金属晶体第91页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四晶体中粒子的互作用可分为两大类： 1 . 吸引作用：是由于异性电荷之间的库仑力，引起的作用在远距离是主要的。 2. 排斥作用：一是同性电荷之间的库仑力，二是泡利原理所引起，在近距离是主要的。 在一适当的距离 吸引作用 = 排斥作用 晶格处于稳定状态1.2.2 结合力一 、 结合力第92页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四原子间的相互作用由势

50、能u(r)可以按下式计算互作用力： f(r) = -du(r)/dr 当两原子很靠近时，斥力大于引力， 总的作用力f(r) 0。 当两原子相离比较远时，总的作用力为引力，f(r)0 二 互作用力、互作用势能和原子间距的关系u(r)rrf(r)rorm斥力吸引力1. 计算ro 、rm第93页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四在某一适当距离ro，引力和斥力相抵消，f(r)=0即： du(r)/dr| ro=0得 ro 由：df(r)/dr| rm=- d2u(r)/dr2|rm= 0 得 rm第94页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四两原子间的互作用

51、势能可用密函数来表达： u(r)=A/rm+B/rn A、B、m、n为大于零的常数 ，第一项表示吸引能，第二项表示斥力能。晶体中总互作用势能为原子或离子对间的互作用势能之和用经典的处理方法： 先计算两个原子之间的互作用势能，再把晶体的结构因素考虑进去，综合起来就可以求得晶体的总势能。 设晶体中两原子的互作用势能为u(rij),则由N个原子组成的晶体其总的互作用势能为： u(r) =1/2 u(rij) 2 . 求结合能第95页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四已知原子间的结合力、结合能的数学表达式，可以计算晶格常数、体积弹性模量、抗张强度等许多物理量。例如： 晶胞常数的

52、计算：原子处于平衡位置时，结合能最小，由 du(r)/dr| ro=0 求晶格常数。 三、结合力、势能的意义第96页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 小 结1 . 固体的结合全部归因于电子的负电荷和原子核的正电荷之间的静电吸引作用。但不同类型，表现形式不同。 离子键是由异性离子的静电吸引而形成； 共价键是反平行自旋的交叠电子，通过静电吸引束缚与它们关联的离子而形成； 金属键是靠负电子云同正离子实间的库仑力形成； 分子键靠感生偶极矩间的互作用形成 氢键是氢原子核通过库仑作用与负电性较大的离子结合形成。2. 原子间的排斥作用来源于交叠电荷的静电排斥和泡利原理造成的排斥。3

53、. 晶体采用何种结合类型决定于原子束缚电子的能力，这个能力由原子的电负性衡量。4 . 晶体结合力是研究其理化性能的基础。第97页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 晶格振动对晶体的许多性质有影响，例如，固体的比热、热膨胀、热导等直接与晶格的振动有关。 设：原胞中只含有一个原子， 整个原子平面作同位相运动。 可以有三种振动波，一个纵向振动波，两个横向振动波. 1.3 晶格振动1.3.1 一维原子链的的振动1.3.2 晶体振动的量子化1.3.3 确定晶格振动谱的实验 第98页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 s-1 s s+1 s+2 s+3 s+

54、4aK或q第99页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四K或q第100页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四一、一维单原子晶格的线性振动 1.3.1 一维原子链的振动条件：每个原子都具有相同的质量m；晶格常数（平衡时原子间距）为a；热运动使原子离开平衡位置x。 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3第101页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反的弹性力；两个最近邻原子间才有作用力-短程弹性力。xn表示第n个原子离开平衡位置的位移

55、，第n个原子相对第n+1个原子间的位移是： a+ xn xn+1- a= xn xn+1同理：第n个原子相对第n-1个原子间的位移是： xn xn-1第102页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四第n个原子受第n+1个原子的作用力 ： Fn，n+1= -ks(xn- xn+1)第n个原子受第n-1个原子的作用力： Fn，,n-1= -ks(xn- xn-1) 则第n个原子所受原子的总力为： F= Fn，n+1 +Fn，,n-1 得：F=ks(xn+1+xn-1-2xn) 1. 原子间的作用力服从虎克定律第103页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四第

56、n个原子运动方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn) 2. 原子间的作用力服从牛顿定律第104页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四晶格中所有原子作简谐振动（或具有前进波的形式）： xn=Aexpi(t-naq)、xn=Ae i(t-naq) 、xn=Acos(t-naq) A：振幅； ：角频率； n：1，2，3，4N； aq：相邻原子的位相差； naq：第n个原子振动的位相差。此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。 0 1 2 3 43. 原子振动方程第105页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四如果第n个和n第个原子

57、的位相之差： (qna-qna)=2s(s整数)，即 qn-qn=2s/a时，原子因振动而产生的位移相等，因此晶格中各个原子间的振动相互间存在着固定的位相关系 。结果：在晶格中存在着角频率为的平面波-格波。第106页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四格波格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的形式在晶体中传播形成的波。 格波的特点： 晶格中原子的振动； 相邻原子间存在固定的位相。nn+2n-1n+1n-22/q= 第107页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四4. 色散关系（晶格的振动谱）色散关系：频

58、率和波矢的关系。（1）色散关系的数学表达式将间谐振动方程：xn=Ae i(t-naq)代入牛顿方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)得 ： 2=1-cos(qa)2ks/m 或 =2(ks/m)1/2|sin(qa/2)|上式为一维简单晶格中格波的色散关系（ -q的关系)，也为频谱关系。 -q的关系为周期函数。第108页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四根据函数的周期性，|qa/2|/2即 |q| /a 在此范围以外的一切q值，只是重复此范围的q值所得频率。该范围的长度正好是倒格矢的长度(|-/a |+|/a|= 2/a) 。q的正负号说明： 正

59、的q对应在某方向前进的波，负的q对应于相反方向进行的波。 第109页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四色散关系为周期函数； 当q=0时，=0 当sin(qa/2)=1时，有最大值， 且max=2(ks/m)1/2-2/a -/a 0 /a 2/a max max一维不喇菲格子振动的频谱（2）频谱图第110页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四 有： (q)= (q+2 /a)说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊区边长.由布里渊区边界 q= /a=2 / 得： / 2 = a 满足形成驻波的条件q= /a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条

60、件，反射波与入射波叠加形成驻波。入射波反射波第111页，共187页，2022年，5月20日，22点19分，星期四一维单原子简谐振动的波函数：xn=Aeit-qna将波矢 ： q=2s/a+q（为任意整数）代入得 xn=Aeit- (2s/a+q )na = Aei 2sn ei(t- q na) ei 2sn=1 xn=Aeit-qna= xn(3) 分析讨论 结论 如果q -q =2s/a （为任意整数）这两种波矢对同一种原子所引起的振动完全相同。 对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢q，它们之间都相差2/a的整数倍。 为了保证xn的单值性，把q值限制在(-/a, /a), 其中a是该格