地图的数学基础

1、地图的数学基础地图的数学基础1 地球体 2 大地测量系统 3 地图投影 4 地图比例尺 1 地球体 33第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（一）地球体的量度公元前3世纪 希腊学者亚里士多德认为大地是个球体。 埃拉托色尼对地球大小作了第一次估算。这个角度约是圆周的1/50本章首页本节首页55第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特44第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（一）地球体的量度公元724725年 张遂（一行）组织测量计算得子午线上的纬度1的地面距离约132 km，比现代测量值约长21 km。 公元827年阿拉伯回教主Al Mamu

2、m （阿尔曼孟）推算出1子午线弧长，比现代测量值只差1%。本章首页本节首页66第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特55第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（一）地球体的量度17世纪后牛顿论证地球是一个椭球体。清康熙年间天文大地测量，实证地球不是正圆球。法国1735年测量论证地球是椭球。现代天文测量地球是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。 本章首页本节首页77第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特66第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（一）地球体的量度地表是一个有些微起伏、极其复杂的

3、表面。地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。航天器观察地球机舱窗口俯视大地 地球体的自然表面本章首页本节首页88第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特77 地球的自然表面并不光滑平顺，珠穆朗玛峰（8 844.43 m）与马里亚纳海沟（11 034 m）之间的高差约达20 km。 由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，难以成为测量与制图的基准面。应寻求一种与地球自然表面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（一）地球体的量度 地球体的自然表面本章首页本节首页99 地球的自然表面并不光滑平顺，珠穆朗玛峰（88第1节

4、地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（二）地球体的物理表面地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似的不规则椭球体。WDM94 1994年的全球重力场模型本章首页本节首页1010第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基 事实上：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体(这是夸张的说法，其实南北半径相差几十公里)。 事实上：地球不是一个正球体，而是一个极半径略1010第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（二）地球体的物理表面 与重力方向相垂直，可有无数个曲面，每

5、个曲面上重力位相等，重力位相等的面被称为重力等位面，即水准面。理想水准面：它是一个无波浪、无潮汐、无水流、无大气压变化，处于流体平衡状态的静止海平面。它没有棱角，没有褶皱。寻找一种与地球自然表面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的地球面。本章首页本节首页1212第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的1111 它实际上是一个起伏不平的重力等位面，是逼近于地球本身形状的一种形体，称大地体。第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（二）地球体的物理表面大地水准面：以理想水准面作为基准面向大陆延伸，穿过陆地、岛屿，最终形成的封闭曲面。（一个假想的、与静止的平均海水面重合并向

6、陆地延伸且包围整个地球的特定重力等位面-大地水准面）本章首页本节首页1313 它实际上是一个起伏不平的重力等位面，是逼近于地图的数学基础全球大地水准面全球大地水准面中国陆地大地水准面中国陆地大地水准面1515第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（二）地球体的物理表面在实际测量中以似大地水准面代替大地水准面，两者在海洋上完全重合，在陆地上只在山区有24 m的差异。各国也往往选择一个平均海水面代替大地水准面，以其作为统一的高程基准面。大地水准面的意义：地球形体的一级逼近可用重力学理论进行研究可使用仪器测得海拔本章首页本节首页1717第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体

7、的1616 它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面地球椭球体：假想将大地体绕短轴(地轴)飞速旋转，以形成一个表面光滑的球体表面。本章首页本节首页1818 它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体1717地球椭球体 基本参数: 长半轴（赤道半径） a 短半轴（极半径） b椭球体的扁率 = (a-b) / a第一偏心率 e2 = (a2-b2)/a2第二偏心率 e 2 = (a2-b2)/b2赤道半径极半径北极南极赤道abWGS world geode

8、tic system 84椭球体:a = 6 378.137 km b = 6 356.7523 km = 1/298.257 224赤道直径 = 12 756.3 km极轴直径 = 12 713.5 km赤道周长 = 40 075.1 km地球表面积 = 510 064 500 km2对 a,b,的具体测定就是近代大地测量学的一项重要工作。第1节 地球体第2章 地图的数学基础（三）地球体的数学表面本章首页本节首页1919地球椭球体 基本参数: 赤道半径极半径北极南极赤道1818第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面参考椭球：与大地体吻合最好的旋转椭球称

9、为参考椭球，也叫总椭球或平均椭球，大地测量在确定这个参考椭球时，要其达到与大地体最密合的4个条件： 参考椭球体中心和地球的质心重合；参考椭球体的短轴和地球的地轴重合；参考椭球体起始大地子午面和起始天文子午面重合；在确定参数a、时要满足在全球范围的大地水准面差距的平方和为最小。本章首页本节首页2020第1节 地球体第2章 地图的数学基础一、地球体的基 通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近 参考椭球体。 国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。 通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的

10、位置上， 由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。椭球体名称年代长半径（m）短半径（m） 扁率使用的主要国家白塞尔（德,Bessel）18416 377 3976 356 0791：299.15波兰，罗马尼亚，捷克，斯洛伐克，瑞士，瑞典，智利，葡萄牙，日本克拉克（英，Clarke）18666 378 2066 356 5341：295.0埃及，加拿大，美国，墨西哥，法国克拉克（英，Clarke）18806 378 2496 356 5151：293.47越南，罗马尼亚，法国，南非海福特（美国，Hayford）19106 378 3886 356 9121：29

11、7.0意大利，比利时，葡萄牙，保加利亚，罗马尼亚，丹麦，土耳其，芬兰，阿根廷，埃及，中国（1952年前）克拉索夫斯基（前苏，）19406 378 2456 356 8631：298.3前苏联（1946年起），保加利亚，波兰，罗马尼亚，匈牙利，捷克，斯洛伐克，原得意志民主共和国，中国1975年国际椭球19756 378 1406 356 7551：298.2571975年国际第三个推荐值1980年国际椭球19806 378 1371：298.2571979年国际第四个推荐值 由于国际上在推求年代、方法及测定的地2121第1节 地球体第2章 地图的数学基础 克拉索夫斯基椭球体 1975 IAG椭球

12、体 WGS84椭球体 a 6 378 245.000 m 6 378 140.000 m 6 378 137.000 m b 6 356 863.019 m 6 356 755.288 m 6 356 752.314 m 1/298.3 1/298.257 1/298.257 224 e 0.006 693 422 0.006 694 385 0.006 694 380 e 2 0.006 738 525 0.006 739 502 0.006 739 497中国1954年北京坐标系采用中国1980年西安坐标系采用全球定位系统GPS 采用2323第1节 地球体第2章 地图的数学基础 地球表面上

13、的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。（二）地球坐标系2.1 地理坐标 用经纬度表示地面点位的球面坐标。 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度 地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。2.1 地理坐标天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用

14、天文经度和 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。2.1 地理坐标大地经度l ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度

15、。 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地天文纬度大地纬度地心纬度AB天文纬度大地纬度地心纬度AB1.中国的大地坐标系统:1954年坐标系（BJS54） : 克拉索夫斯基椭球体1980年坐标系（XAS80）：自1980年开始采用 ICA-75参考椭球体系 （国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）。2000国家大地坐标系（CGCS2000 ）：2008年以后，原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。采用地心坐标系，有利于采用现代空间技术对坐标系进行维护和快速更新，测定高精度大地控制点三维坐标，并提高测图工作效率。第2节 大地测量系统1.中国的大地坐标系统:

16、第2节 大地测量系统2.2 中国的大地测量系统1、1980年以前： 中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 1954年坐标系（BJS54） 19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ；（北京或54坐标系） 2.2 中国的大地测量系统2、 80年坐标系（XAS80）：自1980年开始采用 ICA-75参考椭球体系 （国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）ICA-75椭球参数a = 6 378 140mb = 6 356 755mf = 1/298.2572、 80年坐标系（XAS80）：自1980年开始采用 IC确定陕西泾阳县

17、永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。陕西省泾阳县永乐镇为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点大地原点。参考椭球体大地原点大地原点坐标大地控制网 和 大地点坐标确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标2000中国大地坐标系我国目前使用的参心坐标系1954年北京坐标系（BJS54）、1980年西安坐（XAS80）标系。是基于地面控制网测量成果建立的，但现在都满足不了需求。战场准备、武器研制、航天技术、经济建设、科技发展等诸方面都迫切要求采用高精度地心坐标系。原点位于地球质量中心的坐标系统（简称地心坐标系） 2000中国大地坐标系我国目前使用的参心坐标系

18、1954年2000中国大地坐标系（CGCS2000）： 2000国家GPS大地控制网平差和全国天文大地网与空间大地网联合平差（以下简称联平）二期工程的完成建立而成。获得全国范围约五万个优于0.3米的高精度地心坐标成果。CGCS2000是我国新一代地心坐标系，它通过2000国家GPS大地控制网的点位坐标和速度具体实现，其实现精度，在历元2000.0时优于3cm。国务院批准自2008年7月1日启用我国的地心坐标系2000国家大地坐标系（8-10年实现过渡与转换）2000中国大地坐标系（CGCS2000）：3333余弦定理大地测量第2节 大地测量系统二、大地控制网（一）平面控制网1. 三角测量 以大

19、地原点为基础，在地面上选择一系列控制点，并建立起一系列三角形，组成三角锁和三角网。大地原点各三角形边长及三角形顶点坐标三角锁的起始边基线端点三角形各内角天文经纬度天文方向角本章首页本节首页3535余弦定理大地测量第2节 大地测量系统二、大地控制网3434第2节 大地测量系统二、大地控制网（一）平面控制网1. 三角测量一等三角测量(精度最高)布设：基本按经纬线方向。构成：约等边三角形，边长2025 km。锁段：长约200 km，1620个三角形。国家控制网设置： 一、二、三、四等三角网。本章首页本节首页3636第2节 大地测量系统二、大地控制网（一）平面控制网3535第2节 大地测量系统二、大地

20、控制网（一）平面控制网1. 三角测量二等三角网三角形平均边长13 km三等三角网三角形平均边长约8 km四等三角网三角形平均边长约4 km保证测绘110万、15万地形图时，每150 km内有一个大地控制点，即每幅图内不少于3个大地控制点。保证l2.5万测图时，每50 km内有一个大地控制点，即每幅图内有23个控制点。保证在11万测图时，每点可以控制20 km，即每幅内有12个控制点。本章首页本节首页3737第2节 大地测量系统二、大地控制网（一）平面控制网3636第2节 大地测量系统二、大地控制网（一）平面控制网2. 导线测量 把各个控制点连接成连续的折线，然后测定这些折线的边长和转角，最后根

21、据起算点的坐标和方位角推算其他各点坐标。国家控制网设置一、二、三、四等导线网，一、二等为精密导线测量。 支导线本章首页本节首页3838第2节 大地测量系统二、大地控制网（一）平面控制网三角测量 以大地原点为基础，在地面上选择一系列控制点，建立起一系列相连接的三角形，形成三角锁和三角网。分为四等，一等三角锁是全国平面控制的骨干，全部实测，精度最高，布设形式基本沿着经纬线的方向。其他的是在一等三角锁基础上扩展的。导线测量 把各个控制点连接成连续的折线，然后测定这些折线的边长和水平角，最后根据起算点的坐标和方位角推算其他点坐标。也分为四等，一、二等导线测量为精密导线测量。一等导线主要沿着交通干线布设

22、，构成纵横交叉的导线环。总结三角测量导线测量总结南沙天后宫南沙天后宫39国家平面控制网国家平面控制网含三角点、导线点共154 348个，构成1954北京坐标系、1980西安坐标系两套系统。 O本章首页本节首页41国家平面控制网国家平面控制网含三角点、导线点共154 3第2节 大地测量系统二、大地控制网（二）高程控制网青岛观象山水准原点高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。海拔（绝对高程）：地面点对似大地水准面（海平面）的高度。 第2节 大地测量系统二、大地控制网（二）高程控制网青岛观象高程起算基准面：黄海平均海水面1985国

23、家高程：72.260 4 m1956年黄海高程：72.289 m国家水准原点：山东青岛中国高程起算面是 黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用1985国家高程基准取代黄海平均海水面其比黄海平均海水面上升 29毫米。高程起算基准面：1985国家高程：72.260 4 m国家水4242第2节 大地测量系统二、大地控制网（二）高程控制网1.水准测量 AB两点间高差 h = hB hA 待求点B的高程 HB= HA + h 高程控制网的主要建立方法 一等水准路线是国家高程控制骨干，沿交通干线布设

24、，并构成网状。 二等水准路线是高程控制的全面基础，沿公路、铁路、河流布设，构成网状。 三、四等水准路线，提供地形测量的高程控制点。本章首页本节首页4444第2节 大地测量系统二、大地控制网（二）高程控制网4343第2节 大地测量系统二、大地控制网（二）高程控制网2.三角高程测量用于地面通行条件困难，难以实施水准测量的地区。h = S x sin + i l 制约大地测量精度因素： 仪器误差、地球曲率与大气折光差等。需要许多地球空间科学的理论支持。h = D tan + i l本章首页本节首页4545第2节 大地测量系统二、大地控制网（二）高程控制网4444国家高程控制网使用的是1985国家高程

25、系统共有水准点成果114 041个，水准路线长度为416 619.1 km。 本章首页本节首页4646国家高程控制网使用的是1985国家高程系统共有水准点4545第2节 大地测量系统三、全球定位系统卫星定位优势：无需通视及觇标 提供三维坐标 定位精度高 观测时间短 全天候作业 操作简便 目前的卫星定位系统 美国： GPS俄罗斯： GLONASS （格鲁纳斯） 欧盟： GALILEO（加利略）中国：北斗卫星导航系统 GPS global positioning system本章首页本节首页4747第2节 大地测量系统三、全球定位系统卫星定位优势：4646第2节 大地测量系统三、全球定位系统197

26、3年美国国防部便开始组织海陆空三军，共同研究建立新一代卫星导航系统，即“授时与测距导航系统/全球定位系统,简称为全球定位系统（GPS）。GPS global positioning system本章首页本节首页4848第2节 大地测量系统三、全球定位系统1973年美国GPS卫星在空间上的这种配置，使用户在地球上任何地点、任何时间至少可以同时接收到4颗卫星的定位数据，这是保证GPS定位精度的基本条件。 空间卫星星座，由均匀分布在6个等间距轨道上的24颗卫星组成。轨道之间的夹角为60，轨道平均高度为20183km，卫星运行周期为11小时58分。GPS卫星在空间上的这种配置，使用户在地球上任何地点、

27、任何时481个主控站3个注入站5个监测站 收集各监测站的数据，编制导航电文，监控卫星状态。 通过注入站将卫星星历注入卫星，向卫星发送控制指令。 卫星维护与异常情况的处理。 将导航电文注入GPS卫星。 接收卫星数据，采集气象信息，并将所收集到的数据传送给主控站。本章首页本节首页GPS的地面监控系统501个主控站3个注入站5个监测站 收集各监测站的数据，编制49GPS的地面监控系统监测和控制卫星运行，编算卫星星历（导航电文），保持系统时间。本章首页本节首页51GPS的地面监控系统监测和控制卫星运行，编算卫星星历（导GPS用户终端GPS的用户接收部分基本设备是GPS信号接收机，其作用是接收、跟踪、变

28、换和测量GPS卫星所发射GPS信号，以达到导航和定位的目的。GPS用户终端GPS的用户接收部分基本设备是GPS信号接收机5151第2节 大地测量系统三、全球定位系统 GLONASS：由24颗工作卫星和3颗备份卫星组成，均匀地分布在3个近圆形的轨道面上，每个轨道面8颗卫星，轨道高度19 100 km。 GALILEO：星座由30颗卫星组成。卫星采用中等地球轨道，均匀地分布在高度约为2.3万km的3个轨道面上，星座包括27颗工作卫星，另加3颗备份卫星。本章首页本节首页5353第2节 大地测量系统三、全球定位系统 G5252第2节 大地测量系统三、全球定位系统北斗一号：卫星导航试验系统：由4颗卫星组

29、成，具备中国及其周边地区的导航定位及通讯能力。 本章首页本节首页北斗卫星导航系统：(BeiDou（COMPASS）Navigation Satellite System) 中国自主研发、独立运行、正在建设中的全球卫星导航系统。2012年，系统将首先具备覆盖亚太地区的服务能力；2020年前后，整个系统将具备覆盖全球的定位、导航和授时服务能力。北斗二号：卫星导航定位系统：正在建设中，将分两阶段完成： 2012年形成亚太区域覆盖，2020年实现全球覆盖。整个系统由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成。目前，已成功发射9课卫星。5454第2节 大地测量系统三、全球定位系统北斗一号：卫星5353第

30、2节 大地测量系统三、全球定位系统 GPS在大地测量领域主要完成了：建立和维持了全球统一的地心坐标系统。在局部大地网之间进行了联测和转换。与水准测量、重力测量相结合，研究与精化大地水淮面。测量全球性的地球动力参数四维大地测量。建立新的城市、矿山等控制测量系统。 我国在20世纪末已建立了国家高精度GPS-A级网、B级网和高精度GPS测量控制网，进行海岛与陆地的GPS联测。 本章首页本节首页5555第2节 大地测量系统三、全球定位系统 GGPS控制网国家测绘局GPS控制网国家测绘局5555国家高精度GPS网本章首页本节首页5757国家高精度GPS网本章首页本节首页5656阅读参考1 国家测绘局：

31、/.2 王树连. 最早实施子午线测量的科学家张一行J. 海洋测绘，2003，23 (2). 3 岳迎春，等. 空间大地测量新技术及应用J. 空间地理信息，2007，5(5).4 陈俊勇，等. 2000国家大地控制网构建和其技术进步J. 测绘学报，2007 ，36(1). 5 吴晓平. 似大地水准面的定义及在空中测量中涉及的问题J. 测绘科学， 2006 ，31 (6). 6 宁津生，等. 测绘学概论M. 武汉：武汉大学出版社，2004.7 文湘北，等. 测绘天地纵横谈 M. 修订版. 北京：测绘出版社，2006.8 冯学智，等. 数字地球导论M. 北京：商务印书馆， 2006.第 2 节 结束

32、本章首页本节首页5858阅读参考1 国家测绘局： http:/www.绝对高程相对高程国家水准原点 国家测绘局绝对高程国家水准原点 国家测绘局为什么要进行地图投影第 3 节 地图投影为什么要进行地图投影第 3 节 地图投影 将椭球面上的客观世界表现在有限的平面上,首先要实现由球面到平面的转换.如何转换? 将椭球面上的客观世界表现在有限的平面上,沿经线直接展开?沿经线直接展开?沿纬线直接展开?沿纬线直接展开?沿经线直接展开?沿经线直接展开?沿经线直接展开?沿经线直接展开? 可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形,无法绘制科学,准确的地图.因此解决 球面与

33、平面之间的矛盾 将地球椭球面上的点转换成平面上的点。 地图投影大与小的矛盾比例尺 可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如 地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。 地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。x = f1(j , l ) y = f2(j , l )3.1 地图投影的定义和实质 地球椭球体表面是不可展曲面，要思考：地球仪的经纬网形状特点？思考：地球仪的经纬网形状特点？地球仪上经纬网的特点1.地球仪上所有经

34、线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。4.长度：同一条经线上，纬差相同的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。 5.面积：同一纬度带内，经差相同的经纬线球面梯形面积相等，不同纬度带内，球面梯形面积不等，同一经度带内，纬度越高，球面梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。地球仪上经纬网的特点1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆地图的数学基础地图的数学基础2).变形椭圆 取地

35、面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比；为纬线长度比2).变形椭圆为经线长度比；为纬线长度比微小圆变形椭圆 该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即： 以O为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入： X2 + Y2 = 1，得微小圆变形椭圆 该方程证明: 地球面上的微小特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向 长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b经线方向 m ；纬线方向 n统称 主方向据阿波隆尼定理，有m2

36、+ n2 = a2 + b2mnsinq = ab特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向 长轴方研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，说明变形性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比，为b 0 变大 0 变大 0 变小 面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形 角度变形： 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以表示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A 点的坐标为(x 、y )，则 角度变形： 投影面上任意两

37、方向线所夹之角与将上式两边各减和加 tana 即：将两式相除，得：将上式两边各减和加 tana 即：将两式相除，得： 显然当（a +a ）= 90时，右端取最大值，则最大方向变形：以w表示角度最大变形：若已知 m, n, q ，则： 显然当（a +a ）= 90时，右端取最大值， 地图投影变形是球面转化成平面的必然结果，没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在另一种或两种变形。但制图时可做到：在有些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影图上沿某一方向无长度变形。 地图投影变形是球面转化成平面的必然结果，没有变形的投等角投影按变形性质分类等距投影等积投影任意投影3

38、.4 地图投影的分类（1）等角投影按变形性质分类等距投影等积投影任意投影3.4 地图 地图投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。下图是几种不同投影的经纬线网形状 ： 地图投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的经纬线网形等角投影根据变形特征：等角投影根据变形特征：等角投影（正形投影）定义:投影以后角度没有变形的投影。投影条件： w=0或a=b，m=n变形椭圆投影特点：面积变形大。等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。用途：多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。等角投影（正形投影）等积投影等积投影等积投影 定义:投影以后面积没有变形的投影。投

39、影条件： Vp=p p=1 或a=1/b或b=1/a变形椭圆 投影特点：角度变形大。这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。用途：一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。 等积投影 等距投影等距投影任意投影定义:既不等角也不等积的投影。在任意投影中，有一种特殊的投影，叫做等距投影。投影条件： a=1或b=1或m=1变形椭圆投影特点：面积变形、角度变形都不大（面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影）。用途：用于教学地图、交通地图。任意投影地图的数学基础投影构成方法几何投影 非几何投影 方位投影 圆柱投影 圆锥投影 伪方位投影 伪圆柱投影 伪圆锥投影 多圆锥投影

40、3.5 地图投影的分类（2）投几何投影 非几何投影 方位投影 圆柱投影 圆锥投影 伪方位（1）几何投影: 源于透视几何学原理，以几何特征为依据，将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。方位投影:圆柱投影:圆锥投影:（1）几何投影: 源于透视几何学原理，以几何特征为依据，将 方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为

41、平面而成。按地图投影的构成方法分类方位投影圆柱投影圆锥投影 按地图投影的构成方法分类方位投影圆柱投影圆伪圆锥伪圆柱按构成方法分类（2）非几何投影 (条件投影 ) 不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影等。多圆锥伪圆锥伪圆柱按构成方法分类（2）非几何投影 (条件投影 )1)方位投影(Azimuth projection)一、方位投影的概念和种类：概念：方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。适合制作形状大致为圆形

42、区域的地图。1)方位投影(Azimuth projection)一、方位1. 方位投影分类根据投影面和地球球相切位置不同当投影面切于地球极点时，为正轴投影。当投影面切于赤道时，为横轴方位投影。当投影面切于既不在极点也不在赤道时，斜轴方位投影。1. 方位投影分类根据投影面和地球球相切位置不同二、正轴方位投影投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，两条经线间的夹角与实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。 包括等角、等积、等距三种变形性质，主要用于制作两极地区图。二、正轴方位投影投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的1.正轴等角方位投影投影条件：视点位于球面上，投影面切于极

43、点。纬线投影为以极点为圆心的同心圆，纬线方向上的长度比大于1。赤道上的长度变形比原来扩大1倍。经线投影为以极点为圆心的放射性直线束，经线夹角等于相应的经差，沿经线方向上的长度比大于1，赤道上各点沿经线方向上的长度变形比原来扩大1倍。投影的误差分布规律：由投影中心向外逐渐增大。经纬线投影后，仍保持正交，所以经纬线方向就是主方向，又因为m = n，即主方向长度比相等，无角度变形，但面积变形较大，边缘面积变形是中心的四倍。1.正轴等角方位投影投影条件：视点位于球面上，投影面切于极点.正轴等角方位投影.正轴等角方位投影?地图的数学基础三、横轴方位投影平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通过

44、投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都是对称于中央经线和赤道的曲线。三、横轴方位投影平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特三、横轴方位投影横轴等积方位投影：中央经线上从中心向南北，纬线间隔逐渐缩小；赤道上，自投影中心向东西，经线间隔也是逐渐缩小的。横轴等距方位投影：中央经线上从中心向南北，纬线间隔相等；赤道上，自投影中心向东西，经线间隔逐渐扩大。三、横轴方位投影横轴等积方位投影：中央经线上从中心向南北，纬四、斜轴方位投影投影面切于两极和赤道间的任意一点上。中央经线投影为直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影为曲线。 四、斜轴方位投影投影面切于两极和赤道间的任意一点上

45、。中央经线四、斜轴方位投影斜轴等距方位投影：中央经线上的纬线间隔相等。斜轴等积方位投影：中央经线上自投影中心向上、向下纬线间隔是逐渐缩小的。斜轴等角方位投影：中央经线上投影中心向上、向下纬线间隔逐渐增大。四、斜轴方位投影斜轴等距方位投影：中央经线上的纬线间隔相等。方位投影变形性质的图形判别方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。正轴投影，纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为放射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直线外，其余的经纬线均为曲线。根据中央经线上经纬线图的间隔变化，

46、判别变形性质。等角投影，中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐增大；等积投影，逐渐缩小；等距投影，间隔相等。方位投影变形性质的图形判别方位投影经纬线形式具有共同的特征，方位投影总结特点：投影平面上，由投影中心（平面与球面的切点）向各方向的方位角与实地相等，其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。绘制地图时，总是希望地图上的变形尽可能小，且分布较均匀。一般要求等变形线最好与制图区域轮廓一致。因此，方位投影适合绘制区域轮廓大致为圆形的地图。从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。方位投影总结

47、特点：投影平面上，由投影中心（平面与球面的切点）2)圆柱投影(cylindrical projection)假定以圆柱面作为投影面，把地球体上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的母线把圆柱切开展成平面，就得到圆柱投影。圆柱面和地球体相切时，称为切圆柱投影，和地球体相割时称为割圆柱投影。2)圆柱投影(cylindrical projection)正轴、横轴和斜轴圆柱投影正轴圆柱投影：圆柱轴和地球地轴一致；横轴圆柱投影：圆柱轴和地轴垂直并通过地心；斜轴圆柱投影：圆柱轴通过地心，和地轴不垂直不重合。正轴、横轴和斜轴圆柱投影正轴圆柱投影：圆柱轴和地球地轴一致；正轴圆柱投影经线投影为平行直线，间距和

48、经差成正比。纬线投影成为一组与经线正交的平行直线，间距视投影条件而异。和圆柱面相切的赤道弧长或相割的两条纬线的弧长为正长无变形。圆柱投影按变形性质可分为等角圆柱投影、等积圆柱投影和任意圆柱投影。正轴圆柱投影经线投影为平行直线，间距和经差成正比。二、墨卡托投影等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于1569年所创，所以又称墨卡托投影。二、墨卡托投影等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于156二、墨卡托投影赤道投影为正长，纬线投影成和赤道等长的平行线段，即离赤道越远，纬线投影的长度也越大，为了保持等角条件，必须把地图上的每一点的经线方向上的长度比和纬线方向上的长度比相等。所以随着纬线长度比的增加

49、，相应经线方向上的长度比也得增加，并且增加的程度相等。所以在墨卡托投影中，从赤道向两极，纬线间隔越来越大。二、墨卡托投影赤道投影为正长，纬线投影成和赤道等长的平行线段地图的数学基础二、墨卡托投影墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度60度地区，经纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在=80度时，经纬线都扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬通常不绘。该投影被广泛应用于航海和航空方面，因为等角航线（或称斜航线），在此投影中表现为直线，等角航线是地球表面上与经线相交的相同角度的曲线，或者说地球上两点间的一条等方位线，船只

50、要按等角航线航行，不用改变方位角就能从起点到达终点。二、墨卡托投影墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度60度地区，正轴圆柱投影总结特点：经纬线互相垂直直线，经纬线方向是主方向。切圆柱投影，赤道是一条没有变形的线，离开赤道越远变形越大，等变形线与纬线平行，称平行线状分布。适合绘制赤道附近和沿赤道两侧呈东西方向延伸地区的地图。正轴圆柱投影总结特点：经纬线互相垂直直线，经纬线方向是主方向地图的数学基础地图的数学基础3)圆锥投影(conic projection)一、圆锥投影的概念和种类假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面

51、而成.当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影，与地球相割时，称为割圆锥投影。按圆锥面与地球相对位置的不同，分为正轴、横轴、斜轴圆锥投影，但横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。 3)圆锥投影(conic projection)一、圆锥投影切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上是互相平行的圆，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则呈扇形，顶角小于360度，纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线为由顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应经差成正比但比经差小。 圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线

52、，叫标准纬线，通常位于制图区域中间。切线向南北，变形渐增。切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上是互相平行的圆，经割圆锥投影，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向两边逐渐增大，凡是距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。割圆锥投影，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两条割线符构成圆锥投影需确定画纬线的半径和经线间的夹角。是纬度的函数=f() ；是经差的函数=.不同的圆锥投影C值不同，但对某一具体圆锥投影，C值相同。当C=1时（圆锥顶角为180度），为方位投影；C=0时（圆锥体的顶角小到0度），为圆柱投影。方位

53、投影和圆柱投影都可看成是圆锥投影的特例。构成圆锥投影需确定画纬线的半径和经线间的夹角。二、等角圆锥投影圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距圆锥投影三种。等角圆锥投影的条件是在地图上没有角度变形，=0为了保持等角条件，每一点经线长度比与纬线长度比相等，m = n.。二、等角圆锥投影圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距圆锥投等角切圆锥投影等角切圆锥投影上，相切的纬线没有变形，长度比为1。其他纬线投影后为扩大的同心圆弧并且离开标准纬线越远，这种扩大的变形程度也就越大，标准线以北变形增加的要比以南快些。经线为过纬线圆心的一束直线。纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐增大的。等角切圆锥投影等角切圆锥投影

54、上，相切的纬线没有变形，长度比为等角割圆锥投影等角割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线，长度比为1。两条标准纬线之间纬线长度比小于1。两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，离开标准纬线长度变形逐渐增大。从两条标准纬线向外，纬线间距逐渐增大，两条标准纬线向里，纬线距离缩小。等角圆锥投影面积变形大。等角割圆锥投影等角割圆锥投影上，相割的两条纬线为标准纬线，长双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区图。例如“中国地图集”各分省图就是用的这种投影。“世界地图集”大部分分国地图采用该投影。世界上有些国家如法国、比利时、西班牙也都采用此投影作为地形图的数学基础。此外西方国家出版的许多挂

55、图地图集中已广泛采用等角圆锥投影。双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区三 等积圆锥投影等积圆锥投影的条件是地图上面积比不变。等积切圆锥投影：相切的纬线没有变形，长度比为1，其他纬线投影后均扩大并且离开标准纬线越远，这种变形也就越大。投影后要保持面积相等，在纬线方向上变形扩大多少倍，那么在经线方向上就缩小多少。所以等积切圆锥投影图上，纬线间隔从标准纬线向南北逐渐缩小。 三 等积圆锥投影等积圆锥投影的条件是地图上面积比不变。三 等积圆锥投影两条纬线为标准纬线其长度比等于1；两条标准纬线之间，纬线长度比小于1。要保持面积不变，经线长度必要相应扩大，所以两条标准纬线之间，纬线间

56、隔愈向中间就越大；两标准纬线之外，纬线长度比大于1，要保持等积，经线长度则相应缩小，且经线方向上缩小程度和相应纬线上扩大程度相等，因此两条标准纬线外，纬线间隔逐渐缩小。等积圆锥投影上面积没有变形，但角度变形比较大，离开标准纬线越远角度变形也就越大。三 等积圆锥投影两条纬线为标准纬线其长度比等于1；三 等积圆锥投影等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度图及社会经济地图或某些自然图。当制图区域所跨纬度较大时，常采用双双标准纬线等积圆锥投影。如它是绘制我国地图时常采用投影之一，其他国家出版的许多图集也采用该投影。 三 等积圆锥投影等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度圆锥投影总结特点：纬线是

57、同心圆弧，经线是放射状直线束，经纬线互相垂直，经纬线方向是主方向。等变形线是平行与纬线的同心圆弧，离开标准纬线越远变形越大。适合绘制中纬度沿东西方向延伸地区的地图。思考题：编制中国教学地图为什么多采用双标准纬线等距圆锥投影？圆锥投影总结特点：纬线是同心圆弧，经线是放射状直线束，经纬线3.6 几种主要投影(1)正轴等角切圆柱投影（墨卡托投影Mercator ）是荷兰地图学家墨卡托于1569年所创，所以又称墨卡托投影。 经纬线形式：经线是一组间隔相等的平行线，纬线是与经线垂直的一组平行线，且在中央经线上纬线间隔自投影中心向南北两极逐渐增大。3.6 几种主要投影(1)正轴等角切圆柱投影（墨卡托投影M

58、特点: 不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有重要的实用价值。等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。特点: 不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在等角航线与大圆航线关系（P61）等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘

59、按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。 但是等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两点间的最短距离是通过两点的大圆弧，（又称大圆航线或正航线）。大圆航线与各经线的夹角是不等的，因此它在墨卡托投影图上为曲线。 等角航线与大圆航线关系（P61）等角航线在墨卡托投影图上表现二、墨卡托投影由于经线收敛于两极，所以地球表面上的等角航线是除经线和纬线以外，以极点为渐近点的旋转曲线，因墨卡托投影是等角投影，且经线投影为平行直线，则两点间的等方位螺旋线在投影中是连接两点的一条直线。二、墨卡托投影由于经线收敛于两极，所以地球表面上的等角航线是二、墨卡托投影等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航

60、海航空具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。二、墨卡托投影等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于二、墨卡托投影但等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两点间的最短距离是通过两点的大圆弧，（又称大圆航线或正航线）。大圆航线与各经线的夹角是不等的，因此它在墨卡托投影图上为曲线。 二、墨卡托投影但等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两二、墨卡托投影远航时，沿着等角航线，走的是一条较远路线，不太经济，但船只不必时常改变方向；大圆航线是一条最近的路线，但船