圆周运动脱轨和临界问题

1、v vv v-v vv v竖直平内的圆周运竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动阶只分析通过最高点和最低点的情, 经常考查临界状,其问题可分为以下两种模.一两模模 1:“轻类图 1图 2绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉圆圈轨道问题可归结为轻绳类只能沿某一 个方向给物体力的作用，如图 1图 所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动 过最高点的情况:(1)临界条件:在最高点，绳(圆圈轨)对小球没有力的作, v gR0(2)小球能通过最高点的条件： ， gR 时对球产生拉力，圆圈轨道对球产生 向下的压力3(）小球不能过最高点的条件： v gR ，实际上球还没到最高点脱离了圆 圈轨道而斜抛运.模

2、2:“轻类图 3图 4有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况 3 所示(小球在圆环轨道 内做圆周运动的情况类似“轻杆类 如图 所示（1)界条件：由于硬杆和管壁的 支撑作用,小球恰能到达最高点临界速度 v （2小球过最高点时轻对小球的弹0情况 :当 v 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 , 其小于小球的重，即 N ；当 时,因 m ,则 mg .轻对小球的支持力 竖向上 大小随速度的增大而减小，其取值范围是 N .当 gR 时 ;当 gR 时,则 ,即 N mg ，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小 R随速度的增大而增大注 杆绳不同最点对球既能产生拉力也能对球产生 支持力，还可对球的

3、作用力为零小结 如小球带电，且空间存在电磁场,临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度 v (应根据具情况具体分析)另外,若月球上做圆周运动则可将上述的 g 换 ，在其他天体上则月把 换 g .二、种型应 【 1如图所示,质量为 的球从光滑的斜面轨 天体道的 A 点静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动，-1 2 5 2 1 -1 2 5 2 1 问 点高度 h 至应为多?【解析】此题属于“轻绳类” , 其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是 Rg ，据机械能守恒定律得 mg 临 临把 Rg 代入上式得: h R 临

4、【例 2如 6 所在直向下的匀强电场,一个带负图 5电 q、质量为 且力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的 点由静止下滑,若小球恰能通过半径为 R 的直圆形轨道的最高点 B 而圆周运动 的高度 至少应为多少【解析此题属于“轻杆类”带电小球在圆形轨道的最高点 受三个力作用电力 qE, 方 向 竖 直 向 上 ; 重 力 mg ； 弹 力 N , 方 向 竖 向 下 . 由 向 心 力 公 式 ， 有vmg N qE 要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B 而圆周运动 ,说小此时处于临界状态 ,其率v为临界速度临界条件是 .由此可列出小球的临界状态方程为 m qE m B 根据动能定,有 (m

5、g ) mv 解之得： h 2 2说明 把式中的 qE换成 m ，较容易求出 R R -5 2 1 2 1 2 g mR m -5 2 1 2 1 2 g mR m 【例 3】如图 6 所示,在竖直向的匀强电场中，一个带正电 q 、质量为 m 且力大于所受 电场力的小球，从光滑的斜面轨道的 点静下滑，若小球恰能通过半径为 的直圆形轨道的最高点 而做圆周运动，问 点高度 h至少应为多?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条,要使带电小球恰能通过圆形轨道 的最高点 而圆周运动说明小球此时处于临界状态，其速率 为界速度，临界条件是N 由此可列出小球的临界状态方程为 :mg qE mv 根据

6、动能定理 , 有(mg ) 12mv由上述二式解得： h R述两题条件虽然不同 ,但结果相 什么 ?因图 6小 结 上为 电 场 力与重力做功具有相同的特,重做功仅与初位置的高度差有关匀电场中,电场力 做功也仅与沿电场力方向的距离差有我们不妨可以这样认,例中效力加速度g”比例 1 中重力加速度 g 减小，例 3 中“等效重力加速度 g ”例 1 中的重力加速度 g 增 大 例 2中 临 , mg mg mv 临; 例 中临 Rg , h mg 临图 7把 v 代各自对应的式子，结果 、 分别都 临界 约去了故 h 52R 【例 】如图所示,一带正电 q 、量为 m 的荷从滑的斜面轨道的 A 点

7、静止下滑，若小球恰能通过半径为 的竖直圆形轨道的最高点 B 圆弧左半部 分加上垂直纸面向外的匀强磁)，问点 A 的度至少应为多少？【解析题于“轻绳类”,中“恰能隐含条要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 ，说明小球此时处于临界状态，其速率 v 为界速率，临界条件是 ,此可列出小球的临界状态方程mg qv m v1mgh mv2, 由式可得： v ( qB m R 因 v 只能取正值即 ( ) m R 则 h R ( qB ) R 【例 5】如图 8 所，在竖直向的均匀电场中，一个带正电 、量为 m 的荷从滑 的斜面轨道的 A 点静止下滑,若球恰能通过半径为 的竖直圆形轨道的最高点 (弧 左半部分加

8、上垂直纸面向外的匀强磁场问点 A 的度 至少应为多少？-1 -1 图 8【解析属“轻绳类”题“恰能”是隐含条,使小球恰能通过圆形轨道的最高 点 B ,说小球此时处于临界状态 ,其速率 为临界速率,临条件是 ，由此可出小 球 的 临 界 状 态 方 程 为 qE mg qE ) mv2由式可得 2m ( )4 ( mg ) 只能取正值即 2m ( )4 ( qE ) 则 h 8m )qB qB ) 4R ) 小结 小受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特,即都与速度 的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是 【例 6】如图所示， 为直平面内的光滑绝缘轨道，其中 AB 段是水平的， 段 半径 R

9、 0.2m 半圆两段轨道相切于 B 点整个轨道处在竖直向下的匀强电场中大 .一带电的绝缘小球以速度 沿平轨道向右运,与静止在 B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为 m ，乙所带电荷量q ， g 取 0m/s（平轨道足够长甲乙球 视为质,整个运动过程无电荷转移(1乙球碰撞,乙恰能通过道的最高点 D 乙在轨道上的首次落点到 B 点的距离 （2）在满足(1）的条件下。求甲的速度 ;（若仍以速度 v 向右运动增甲的质量保乙的质量不变求在轨道上的首次落点到 B 点的距离范.图 9【解析1)在恰通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为 达水平轨道的时间为 t ,的落点到 B 点距

10、离为 ，-D 离开 D 点到2 乙 甲 1 乙 D M D -2 乙 甲 1 乙 D M D vD1 qE2 (2 )t t D联立得 x m(）设碰撞后甲、乙的速度分别为 甲 mv mv 1 mv 2 2联立得 乙 、 v乙根据动量守恒定和机械能守恒定律有由动能定理，得 mv mv 2 联立得 v 5(mg ) R m2 5m/s（3）设甲的质量为 M ，撞后甲、乙的速度分别为 、v ,根据动量守恒定律和机械能守 恒定律有Mv Mv mv 1 1 Mv mv 2 2联立得 v 2Mv 错 由错 和 M ,可得 v v 2 错 ! 设乙球过 D 点时速度为 ，由动能定理得 qE 1 mv 2

11、错 联立错 得 v 错 !设乙在水平轨道上的落点距 B 点的距离 x 联立错 !错 !得 1.6m有t错 【例 7】如图所示，杆长为 ,一固一质量为 m 的球杆的质忽略不,整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动 g 10m/s 多少时，才能使杆和小球 作用力为?求)小球在最高点 A 的度 v为A(2)小球在最高点 时，杆对小球的用力 为拉力和推力时的临界速度分别是多?(3)若 0.5kg 大？， L , v ，则在最高点 和低点 ,对小球 的用力多图 10图 图 12【解析】此题属于“轻杆类”若和小球 m 之无相互用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力 mg 提，根据牛顿第二定律有:vm

12、g L解得 v gL 若小球 在高点 A 时拉 F 受力如图 1所示牛顿第二定律， A-1 11 -1 11 有vF mg L解得 v gL m 若球 m 在高点 A 时受推力 F ，力如图 12 所示由牛顿 第二定律有： F m 解得： v m可见 gL 是对小球 作用力 F 在推力和拉力之间突变的临界速. ()杆长 L 时，临界速度 v gL 2.2m/s， v,杆小球有推力 F ，有 F m ，则 L由 至 只有重力做功,机械能守恒设 B 点所处水平面为参考平,则 mv mv2 2,解得 gL 4.5m/sv v在最低点 ，球 受力 ，由 F 解得 L L【例 8】如图 所示光的圆管轨道

13、 AB 部平直， 部是处于竖直平面内半径为 R 的半圆，圆 管截面半径 r ，质量为 、径比 r 略的光滑小球以水平初速度度 v 射入圆.（)若要小球能从 端出来，初速 v 多?（2)小球从 端来瞬间，对管壁压力哪几种典型情,速度 各应满足什么条件图 13【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类”.(1)小球恰好能到达最高点的条件是 ,由机械能守恒初速度应满足 即 gR .2要使小球能从 C 端来，需 所以入射速度 0(2）小球从 端来瞬间对壁压力以三种典型情: 刚好对管壁无压力,此时重力恰好充当向心力，即 mg 由机械能守恒定律，知 1 mg mv 2联立解得v 5 g

14、Rv对下管壁有压,应有 相的入射速度 L应满足4 gR gR对上管壁v有压力，此时应有 mg m ，应的入速度 vL应满足v 5 gR小结 本中的小球不能做匀速周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心,其他条件 下均不过圆,因而在一般位置处，它具有切向加速.【例】如图 14 所示,一内壁光滑 的环形细圆管位于竖直平面内,的半径 (细管的半径大得多,在圆管中有两个直径与 细管内径相同的小球 ,质分别为 、m ,沿形管顺时针运动当 A 球动到最低点 时速为 v , 球恰到最高点，若要此时圆管的合力为零， B 的度 为大 -图 14图 15图 【解析本题综合考察了竖直平内圆周运动临界问题的分,属“杆类

15、低点对 球进行受力分析,如图 15 所示,应用牛顿第二定律有 N v 由牛顿第三定律， 球 对有向下的压力 ,根据题意 N ,即球 对管有向上的压力 ， 受情况如图 1所示由顿第三定律管球 B 有向下的压力 , 对球 B v应用牛顿第二定律，有： N g ,于 N N 联立可得 v 三小在、半上运 m 在凸半球上最高点运动时：如图所示 ,小球(1)当 0 gR ,小球不会脱离凸半球且能通过凸半球的最高.()当 gR ，轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动图 17图 18(3)当 ,小球已脱离凸半球最高点做平抛运动如图 1所示，小球若通过凹半的最低点时速度只要 v 即可由以

16、上分析可知，通过凸 ( 或 半最高点 或低点 的界条件是小球速度 (或 v 【例 10】如图 19 所示汽质为 1 kg，以不变速率通过凸形路,路半径为 5m ，若汽车安全行驶 ,则车不脱离最高点的临界速度为多少 若汽车达到临界速度时将做何种运动？水平运动位移为多?图 19【解析(1)此属于“轻绳类道只能沿某一方向给物体作用力界件为汽车对-3 1 v 8 2 -3 1 v 8 2 轨道压力 ,则汽车不脱离最高点的临界速为 v,则:vmg 可得 v gR ; (2)当 时, 汽车在轨道最高点仅受重力作用 , 且初速度 ，做平抛运动 , R 12gt ， x t,可得 R .【例1明在水平地面上握

17、不可伸长轻绳一绳的另一端系有质量 m 的球， 甩动手腕使球在竖直平面内做圆周动球某次运动到最低点,绳然断掉,球飞离水平距离 后落地如图 20 所示.知握绳的手离地面高度为 手与球之间的绳长为 力4速度为 忽略手的运动半径和空气力（1)求绳断时球的速度大小 和落地时的速度大小 问绳能承受的最大拉力多大？（3改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平 距离最大绳长应为多 大水平距离为多?图 20【解析】(1)设绳断后球飞行时间为 t由平抛运动规律,有：竖直方向 gt 水平方向d t 得： v 2 由机械能守恒定有：12mv mg ( ) ,得 v 2 452gd(设绳能承受的最大拉力为 T ，也是球到绳的最大拉力大小，球做圆周运动的半径为 34d由向心力公有 mg ，得 T ）设绳长为 l，绳断时球的速度大小为 v绳承受的最大拉力不变，有 T mg ml，得 v gl 3绳断后球