图形变换与齐次坐标课件

1、图形变换是计算机图形学基础内容之一几何变换，投影变换，视窗变换线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。图形变换和齐次坐标图形的几何变换几何变换：图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。几何变换的两种形式：1.图形不变，坐标系改变；2.图形改变，坐标系不变。二维图形变换1. 平移变换从点Px,y平移到点Px,yx = x + my = y + nP(x,y)P(xy)mnXYyxP(x,y)P(x,y)mnyxxy2 旋转变换(x,y)(x,y)一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。yyxxyxP(x

2、,y)P(x,y)P(x,y)P(x,y)3 比例变换P(x,y)P(x,y)x = x*sxy= y*sySx = Sy： 均匀缩放。Sx = Sy 1，放大Sx = Sy 1, 沿三个轴向等比例缩小 当0s1, 沿三个轴向等比例放大 （轴向比例变换与全比例变换的关系） 对称变换 在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。对称于XOY平面 x y z 1 = x y -z 1=x y z 1对称于YOZ平面 x y z 1 = -x y z 1=x y z 1对称于XOZ平面x y z 1 = x -y z 1=x y z 1 那么，分别对称于X

3、、Y、Z轴和坐标原点的变换矩阵是什么？平移变换 是指空间上的立体从一个位置移动到另一个位置时，其形状大小均不发生改变的变换。 x y z 1 = x+dx y+dy z+dz 1 =旋转变换绕X轴变换 空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。 x= x y= cos(+) = y*cos- z*sin z= sin(+) = y*sin+z*cos XYZ(x,y)(xy)YZOO(xy)(x,y)矩阵表示为：绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。 x= sin(+) = x*cos + z*sin y= y z= cos(+) = z*co

4、s- x*sinXYZ(x,y)(xy)XZOO矩阵表示为绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。 x= cos(+) = x*cos - y*sin y= sin (+) = x*sin+ y*cos z= zXYZ(x,y)(xy)XYOO矩阵表示为：组合变换：空间一点绕空间任一轴线的旋转变换。要通过将几个基本的变换组合在一起，得到该组合变换。 假定空间任一直线的方向矢量分别为：(l,m,n) 并经过原点(l,m,n)(x,y,z)(x,y,z)XYZON能否转换成绕X、Y或Z轴旋转的变换？ ON绕Z轴旋转2 到XOZ平面上，然后再绕Y轴旋转1，即可与Z轴重合。ON21XYZ 这

5、样，可得空间上任一点绕ON轴旋转的变换过程如下： 1）首先通过两次旋转，使ON轴与Z轴重合； 2）然后使点绕Z轴旋转角； 3）最后通过与1）相反的旋转，使ON轴回 到原来的位置。 假设，绕Z轴的旋转-2矩阵为T1 绕Y轴的旋转-1矩阵为T2 绕Z轴的旋转矩阵为T3 绕Y轴的旋转1矩阵为T4 绕Z轴的旋转2矩阵为T5则总体变换矩阵为： T = T1 T2 T3 T4 T5 由上推导可看出，只要能求出1 、2的值，即可通过上式获得绕ON轴的变换矩阵。 由于矢量 （0 0 1）绕Y轴旋转1 ，再绕Z轴旋转2 即可与ON轴重合。即： l m n 1 = sin1 cos2 sin1sin2 cos1

6、1 l = sin1cos2 m= sin1sin2 n = cos1从而通过上式即可得到1、2 的值。问题：当任一轴线的端点不在原点时，此时应如何计算变换矩阵？绕任意轴的旋转变换基本思想：因任意轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。zxyBCALLPQD绕任意轴的旋转变换（1）将空间直线平移，使之通过坐标原点T=0 1 0 0 0 0 1 0-X1 -Y1 -Z1 11 0 0 0（2）绕x轴旋转角使之位于XOZ平面内 直线段L在YOZ平面上的投影L L2= B2+ C2 Sin=B/L cos=C/L绕任意轴的旋转变换z

7、xyBCALLPQD0 cos sin 0 0 -sin cos 00 0 0 11 0 0 0Rx=(3) 绕y轴顺时针旋转角(使之与Z轴重合) 由于绕x轴旋转时，x坐标不变ALLSin =A/L cos =L/LL2-A2= B2+ C2=L2绕任意轴的旋转变换 0 1 0 0 -sin 0 cos 0 0 0 0 1cos 0 sin 0Ry=-sin cos 0 0 0 0 1 00 0 0 1cos sin 0 0Rz=(4)绕z轴旋转角绕任意轴的旋转变换(5)绕y轴逆时针旋转角(使之位于XOZ平面内)sin 0 cos 00 0 0 1Ry=cos 0 -sin 00 1 0 0(6)绕x轴顺时针旋转(使之恢复通过原点的直线)0 sin cos 00 0 0 1Rx=1 0 0 00 cos -sin 0绕任意轴的旋转变换(7)平移使坐标原点返回到它原始位置0 0 1 0X1 y1 z1 1T =1 0 0 00 1 0 0因此，绕空间任意轴旋转角的变换矩阵R=T.Rx