量子力学考试题

1、量子力学考试题(共五题，每题20分)1、扼要说明：束缚定态的主要性质。单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。2、设力学量算符(厄米算符)F，G不对易，令K = i( F G-G F ), 试证明：K的本征值是实数。对于F的任何本征态k；, K的平均值为0。在任何态中云+萨NK3、自旋力/2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用，已 知其能量算符为H =3 SH =七 + v Sx(，v 0，v)求能级的精确值。视v Sx项为微扰，用微扰论公式求能级。4、质量为m的粒子在无限深势阱(0 xa)中运动，处于基态。写 出能级和波函数，并计算平均值X，p，瓦5、某物理体系由两个粒子组成

2、，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种：k a仔)，W，(了 )，K仔)，试分别就 以下两种情况，求体系的可能(独立)状态数目。无自旋全同粒子。自旋力/2的全同粒子(例如电子)。量子力学考试评分标准1、(a)， (b)各 10 分能量有确定值。力学量(不显含。的可能测值及概率不随时 间改变。(n l m ms)(n 1 m m)选择定则：A/ = +1, Am =0,土 1,、ms =0根据：电矩m矩阵元-e 了 nig l m ms丰02、(a) 6 分(b) 7 分(c) 7 分K是厄米算符，所以其本征值必为实数。胃=人川，顼F =人VK =：留 K = i VF G

3、-G F 您=i人Vg：-：w|gI中；=0(F +iG)(F-iG) = F2+ G2-K斗I (F +iG)(F-iG) = I (F-iG) I I 2NO.N0，即F2 + g 2 N K3、(a)，(b)各10分方1 0方0 1方 v(a)H = 3 七 + V Sx = 2 3 L 0 1 _ + 2 vL 1 0 _ = 2 L v 3 _a方H =E , = b ,令= 2 人，则一人 v a一人 vv 一人b =0，| v 一人 | =人 2g 2-v 2 =0 方方Ij1I人= 寸2 +v2，E = - 2 寸2 +v2，E2= 2 J2 +v2 TOC o 1-5 h z

4、 v 2v 2v 2当V，板2 +v 2 =(1+ 2 ) 1/2 Q (1+ 2rn 2 )= + 2rn方 v 2方v 2r . T- Ir. T- -1E Q - 2L + 2o，E2= 2L + 2o _|(b) H =七 + v Sx = Ho+ H ，Ho=七， H，= v Sx 1斗1斗1斗 力3力3力3H0本征值为 2 ，取 E (0) =-2，E2 (0) = 201相当本征函数(Sz表象)为1(0)=1 ， 2(0)= 0 则H，之矩阵元(Sz表象)为/zvH =0, H =0, H =H = 211221221H21E =E（o）+H，+ E（o） H21E =E（o）+

5、H，+ E（o） E（o）111112-/CD=-2方 2V 2 4+。_ 方 CD1 +1 方V 2一力 CD=-2-4 cd_方Q）E =E（o）+H + E（。）一 E（o）= 2+ 4 CD2222212 .兀 x加; Qxa4、E = 2ma2 , w =。 xa1 1f ,2 f . Tlx r aJ w 2 xdx J x sin 2 dx 1a ci2f d2f l.兀 x一 J V f dx= ti i d（ sm2 一）= 0 p =_i p, 1 dx 1 _i a 2 aX n 00f d ,2 f . 7lx7ix JV x一V dx = - in J xsm一d（s

6、m xp =-if. 1 dx 1a aaX n 00十 1. TlX a S . nx-ih x sm2 一 J sin2 一 ax= a a 0- a0ih f 7 ihJ v 2dx =0+ 2 o2四项各5分5、（i）, （ii）各 10 分（i） s=0,为玻色子，体系波函数应交换对称。V （r,r）有：V （r ） V （尸），v （，） W （尸）v （r ） V （尸）,12a 1 a 2b 1 b 2cl c 2（r）V （Ew （r）V （7）j2 a 1 b 1 b 1 a 2accabccb共6种。1(ii) s= 2 ?单粒子态共6种:V1V0V1V0V1V0a0a1

7、b0b1c0c，1任取两个，可构成体系(交换)反对称态，如-W b (r)2J2X-、-、=-W b (r)2J2X-、-、=2 W (r )W (r )-WV a 1 b 2体系态共有c： =15种6Wa， Wb，Wc三种轨道态任取两个b (商1100a11或：V-2 W可构成一种轨道对称态一种反对称态(W (-W OpW (，前者应与自旋单态X相乘，而构成体 1 b 2 b 1 a 200系反对称态，共3种。后者应与自旋三重态X，x10，x1_1相乘而构成体系反对称态，共3x 3 = 9种。但轨道对称态还有W (r ) W (型，共3种型，各与自旋单态配合， a1 a2共3种体系态，故体系

8、态共3+3+9=15种。量子力学习题第一章绪论1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长xm 与温度T成反比，即如T=b(常量)；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。1.2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。1.3氦原子的动能是E=3kT/2 (k为玻耳兹曼常数)，求T=1K时，氦原子的 德布罗意波长。1.4利用玻尔一索末菲的量子化条件，求：一维谐振子的能量；在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子MB=9 X 10-24焦耳/特斯拉，试计算动能 的量子化间隔AE，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

9、1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相 等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章 波函数和薛定谔方程2.1由下列两定态波函数计算几率流密度：(1) W=eikr/r,(2) W2=e-ikr/r.从所得结果说明v1表示向外传播的球面波，W2表示向内(即向原点)传播的球 面波。2.2 一粒子在一维势场8,X 0U ( x) = o,0 x a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。2.3求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。2.4 一粒子在一维势阱|x| |x| a|x| a中运动，U =0,中运动，求束缚态(0EU)的能级所满足的方程。2.5对于一维无限

10、深势阱(0 xa)中的定态Wn(x)，求X、x2和Ax，并与经典 力学结果比较。2.6粒子在势场8,X 0V ( x) = 一 V ,0 x a0,a X中运动，求存在束缚态(E0)的条件(力，m，a，V0关系)以及能级方程。12.7求二维各向同性谐振子V=2k(x2+y2)的能级，并讨论各能级的简并度。2.8粒子束以动能E=如k5从左方入射，遇势垒V (V (X)=0,M,求反射系数、透射系数。EV0情形分别讨论。TT 力 2 d 2H = 一2.9质量为m的粒子只能沿圆环(半径R)运动，能量算符2 mR 2伽2，中为旋转角。求能级(En)及归一化本征波函数Wn(。，讨论各能级的简并度。第三

11、章基本原理 a02x2 iW (x)=：e - 2 - 21求：3.1 一维谐振子处在基态兀求：3.1 一维谐振子处在基态U =呻 2 x 2势能的平均值 2；T =已动能的平均值 即；动量的几率分布函数。3.2设t=0时，粒子的状态为1W(x)=Asin2x+ 2 cosx，求此时粒子的平均动量和平均动能。3.3在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为s如果粒子的状态由 波函数W(x)=Ax(a-x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。3.4证明：如归一化的波函数W(x)是实函数，则。px=i方/2；如w=W(,)(与_0,中无关)，则,汾=-3/2。3.5计算对易式

12、x,Ly，pz,Lx，并写出类似的下标轮换式(xy,耘z z-x)。3.6证明算符关系 r x L + L x r = 2ihrp x L + L x p = 2i 方p3.7设F为非厄米算符(F+尹F)，证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄 米算符。求A、B与F、F+之关系。13.8 维谐振子(V1=2如)处于基态。设势场突然变成V2=如，即弹性力增 大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。3.9有线性算符L、M、K，L, M=1，K=LM。K的本征函数、本征值记为 Wn、人(n=1, 2,)。证明：如函数Mwn及Lwn存在，则它们也是K的本征函数， 本征值

13、为(人1)。3.10证明：如H= p2/2m+V( r )，则对于任何束缚态 p =0。3.11粒子在均匀电场中运动，已知H= p2/2m-qex。设t=0时x =0，px =p0， 求 x (t)，膈)。3.12粒子在均匀磁场B =(0,0, B)中运动，已知H= P2/2m Lz，=qB/2mc。设 t=0 时=(p0, 0, 0)，求 t0 时。3.13粒子在势场7()中运动，V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则 束缚态能级下降。第四章中心力场4.1证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer=JeO=0,ehm h 2 j = _ yer sin Ol nim 。

14、，e中。4.2由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为(SI)(SI)(CGS)2 ymeh2yc原子磁矩与角动量之比为 TOC o 1-5 h z M = I 2y(SI)盘 CGS)这个比值，称为回转磁比率。4.3设氢原子处于状态13h(r,O,甲)=-R (r)K (O,平)?R (r)Y (O,甲), 2 21102 211-1求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和 这些力学量的平均值。4.4利用测不准关系估计氢原子的基态能量。4.5对于类氢离子的基态h100，求概然半径(最可几半径)及r,克。

15、4.6对于类氢离子的hm态，证明1= _ 2= En。4.7对于类氢离子的基态W100，计算Ax, 玖，验证不确定关系Ax - Ap 方 j24.8单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的 库仑作用势可以近似表示成V （r）=竺一o,0 X 1试求价电子能级。与氢原子能级比较，列出主量子数n的修正数公式。提示：将V（r）中第二项与离心势合并，记成I（I +】）五2/2Hr2，计算（l）之值，.。第五章表象理论一 5.1设|Wn，|%是厄米算符H的本征态矢，相应于不同的本征值。算符F与H对易。证明wkFWn=0。5.2质量为H的粒子在势场V（x）中作一维运动，设能级是离散的

16、。证明能量 表象中求和规则方加2H（人为实数）。5.3Ap。方加2H（人为实数）。5.3Ap。5.4*设J为角动量*n为常矢量，证明对于一维谐振子的能量本征态|n，利用升、降算符计算T、5.4*设J为角动量*n为常矢量，证明 对于角动量 对于角动量J的g态32, Jz共同本征态），计算Jx、Jy、Jx2、J2等平5.5均值，以及AJx、AJy。5.6设n （单位矢量）与z轴的夹角为0,对于角动量的jm态，计算Jn*（即n - J的平均值）。5.7以 叫表示L2，Lz共同本征态矢。在1=1子空间中，取基矢为 11, 10, 1 1）,建立L2，Lz表象。试写出Lx及Ly的矩阵表示（3阶），并 求

17、其本征值及本征态矢（取力=1）。*5.8对于谐振子相干态优(1履=以度，以为实数)，计算n, s E, AE, x, Ax, p, Ap第六章微扰理论6.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为,电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。6.2转动惯量为/、电偶极矩为D的空间转子在均匀电场8中，如果电场较 小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 一 . 一 一 6.3设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02，现在受到微扰H的 作用。微扰矩阵元为H12=H21=a, H=H=b; a, b都是实数。用微扰公式求能 量至二级修正值。6.4 一电荷为e的线性谐振子受恒定

18、弱电场8作用，设电场沿正x方向：用微扰法求能量至二级修正；求能量的准确值，并和(1)所得结果比较。6.5设在t=0时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设 单色光的电场可以近似地表示为8sint, 8及均为常量；电离后电子的波函数 近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。6.6基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降， 即80， t 0(T 0)求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。6.7计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。6.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。6.9粒子(质量四)在无限深势阱0 x0)中作一维运动。试用变

19、分法求基态能量近似值。建议取试探波函数wQ, r)=Aexp(-X2r2)o6.12某量子力学体系处于基态3)。t0后受到微扰作用，H(x,t)=F(x)e-g 试证明：长时间后(tc)该体系处于激发态Wn(x)的几率为F 112 /(E - E)2 + 加 /T 2第七章自旋7.17.2求在自旋态*：*)中，7.2求在自旋态*：*)中，S7.3 求 x(as侦)=?力仰-i)7.4求自旋角动量在(cos以，cos。，cos7.4求自旋角动量在(cos以，cos。，cosy)方向的投影=S cosa + S cos。+ S cosyXyz的本征值和所属的本征函数。A .在这些本征态中，测量SZ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出