重积分换元法中积分区域的转换

1、重积分换元法中积分区域的转换作者：李国平来源：当代教育理论与实践2014年第2期李国平（湖南工学院 数理教学部，湖南 衡阳421002）摘要：重积分换元法在换元过程中主要包括被积函数的变换和积分区域的转换，被积函数 的变换较固定，而积分区域的转换相对灵活，学生在学习时不易理解和掌握。提出了积分区域 转换的一种新方法，该方法能使积分区域的转换也变得相对固定，学生学习起来更易掌握。关键词：高等数学；重积分；换元法；积分区域的转换中图分类号：O13文献标志码：A文章编号：1674-5884（2014）02-0134-02收稿日期：2013-10-24基金项目：湖南工学院2013年校级教研教改项目（J

2、Y201331）作者简介：李国平（1979 -），男，湖北石首人，讲师，硕士研究生，主要从事大学数学 基础课教学研究。1积分区域为特定区域的重积分的求解方法1:日塑L-.无函数页拒*)拒重即|.城入 -3.y) I Ml. Jt) s? J 外 f ( .u5C，剧i QNi：野-i. f I工 I dyf /! .f, JiLJl* I. 3 s.函故/r 苏 |.hE?=I (= %勇”., w 上 w，刀：K注缺则| | |/ a ,.! d.idyi：L * J J dis：劣f jc y n ) dJ up % 为T- Ihi MF I引 I城I s W z W .r.y) g C

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4、 y(u, v)|j|dudv. (2.1)2.2三重积分换元法1肝理网岫&修滞广加0,它给出了空间 Orst 到空间 Oxyz 的一个映射，若 x=x(r, s, t), y=y(r, s, t), z=z(r, s, t)在空间闭区域Q*内有连续偏导数，且，则建立了空间Orst闭中区域Q*和空间Oxyz中相应 闭区域Q的一一对应.与二重积分换元法类似，有换元公式其中J=O(x, y, z)O(r, s,t)#Q.从式(2.1),(2.2 )可知：运用换元法求解重积分 时，主要有两个步骤：一是被积函数的变换.二重积分换元法时，被积函数由由f(x, y)变换 成f(x(r, s)y(r, s)

5、|j|；三重积分换元法时，被积分函数由f(x, y, z)变换成f x(r, s, t)y(r, s, t), z(r, s, t) |j|.二是积分区域的转换.二重积分换元法时，积分区域由坐标 平面xoy中的闭区域Dxy转换成坐标平面uov中的闭区域Duv；三重积分换元法时，积分区域由坐标空间Oxyz中的闭区域Q转换成坐标空间Orst中的闭区域Q*.从以上步骤可知：被积 函数的变换相对固定，而积分区域的转换相对灵活.下面给出积分区域转换的新方法，使得积 分区域的转换也变的相对固定，学生学习起来更容易掌握.3积分区域的转换3.1平面上积分区域的转换若Dxy为x型区域Dxy=(x,y)|aWxW

6、b,y1(x)WyWy2(x)(3.1)将其转换为u型区域Duv=(u,v)|aWx(u,v)Wb, y1(x(u,v)WyWy2(x(u, v) = (u,v)|cWuWd, v1(u)WvWv2(u)(3.2)若Dxy为平面xoy上任意型区域，将其转换成平面uov上任意型区域的方法与(3.1)转换 成(3.2)方法类似，至于把积分区域Dxy表示成何种形式后再转换成平面uov上何种区域形式 由积分区域结构来决定.下面给出两个例子.0 枳分 ff ( x + jr srbfdy. It I U .V + P 9亨掀 Sj - U .V + P 9亨掀 Sj - lll I Hr* I P和n

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