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文档简介

1、4.3 傅里叶变换的性质4.3.1 线性性质其中a和b均为常数。利用傅氏变换的线性特性, 可以将待求信号分解为若干基本信号之和, 如将阶跃信号分解为直流信号与符号函数之和。 10/10/202214.3 傅里叶变换的性质4.3.1 线性性质其中a和b均为4.3.2 时域移位性质式中t0为任意实数 证明: 令v = t-t0,则dv = dt,代入上式可得 信号在时域中的时移,对应频谱函数在频域中产生的附加相移,而幅度频谱保持不变。10/10/202224.3.2 时域移位性质式中t0为任意实数 证明: 令v 10/10/2022310/9/20223 4.3.3 时域-频域对称性质(奇偶,虚实

2、)10/10/20224 4.3.3 时域-频域对称性质(奇偶,虚实)10/9/2010/10/2022510/9/2022510/10/2022610/9/20226为的偶函数 为的奇函数 为的奇函数 10/10/20227为的偶函数 为的奇函数 为的奇函数 10/9/2022幅值的量度单位 / 频率的量度单位若x(t)是t的实偶函数, 则X(j)必为的实偶函数。 X(j)=R()若x(t)为实奇函数,则X(j)必为的虚奇函数。 X(j)=jI()10/10/20228幅值的量度单位 / 频率的量度单位若x(t)是t的实偶函数,互为复共轭对称10/10/20229互为复共轭对称10/9/20

3、2294.3.4.1 时域微分性质若 则10/10/2022104.3.4.1 时域微分性质若 10/9/202210例 试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。 解: 由上式利用时域微分特性,得 因此有10/10/202211例 试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。 解: 4.3.4.2 时域积分性质若信号不存在直流分量即X(0)=010/10/2022124.3.4.2 时域积分性质若信号不存在直流分量即X(0)=4.3.5 时域-频域尺度变换性质证明:令 v = at,则 dv = adt ,代入上式可得 时域压缩,则频域展宽;展宽时域,则频域压缩。10/10/2022134.3.5

4、 时域-频域尺度变换性质证明:令 v = at,则展缩特性10/10/202214展缩特性10/9/2022144.3.5 时域-频域尺度变换性质如果那么当a=-1时, 得到x(t)的折叠函数x(-t), 其频谱亦为原频谱的折叠, 即 x(-t) X(-j) 尺度特性说明, 信号在时域中压缩, 频域中就扩展; 反之, 信号在时域中扩展, 在频域中就一定压缩; 即信号的脉宽与频宽成反比。 10/10/2022154.3.5 时域-频域尺度变换性质如果那么当a=-1时, 得 一般时宽有限的信号, 其频宽无限, 反之亦然。 由于信号在时域压缩(扩展)时, 其能量成比例的减少(增加), 因此其频谱幅度

5、要相应乘以系数1/|a|。 也可以理解为信号波形压缩(扩展)a倍, 信号随时间变化加快(慢)a倍, 所以信号所包含的频率分量增加(减少)a倍, 频谱展宽(压缩)a倍。 又因能量守恒原理, 各频率分量的大小减小(增加)a倍。 下图表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。10/10/202216 一般时宽有限的信号, 其频宽无限, 反之亦然。 由于信号图 矩形脉冲及频谱的展缩10/10/202217图 矩形脉冲及频谱的展缩10/9/202217联合使用上述两性质:10/10/202218联合使用上述两性质:10/9/2022184.3.6 时域-频域对偶性质含义:信号的波形与信号的频谱的图形有着互相置换的

6、关系。 (注意:这种对称关系只适用于偶函数。)10/10/2022194.3.6 时域-频域对偶性质含义:信号的波形与信号的频谱的频域微分特性若将上式两边同乘以j得 证明:10/10/202220频域微分特性若将上式两边同乘以j得 证明:10/9/20224.3.7 帕斯瓦尔(Parseval)定理那么如果 帕斯瓦尔定理, 它表明信号的时域能量等于信号频域的能量, 即信号经傅氏变换其总能量保持不变, 符合能量守恒定律。10/10/2022214.3.7 帕斯瓦尔(Parseval)定理那么如果 由于信号x(t)为实数,故X(-jw)=X *(jw),因此上式为证明物理意义:非周期能量信号的归一化能量 在时域中与在频域中相等,保持能量守恒。10/10/202222由于信号x(t)为实数,故X(-jw)=X *(jw),因此非周期信号的能量谱 帕什瓦尔能量守恒定理: 定义单位角频率的信号能量为能量频谱密度函数,简称能量频。10/10/202223非周期信号的能量谱 帕什瓦尔能量守恒定理: 定例7 计算 。解: 由 根据Parseval能量守恒定律,可得10/10/202224例7 计算 。解

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