CH4-3连续非周期信号的Fourier变换性质解析课件

1、4.3 傅里叶变换的性质4.3.1 线性性质其中a和b均为常数。利用傅氏变换的线性特性， 可以将待求信号分解为若干基本信号之和， 如将阶跃信号分解为直流信号与符号函数之和。 10/10/202214.3 傅里叶变换的性质4.3.1 线性性质其中a和b均为4.3.2 时域移位性质式中t0为任意实数 证明： 令v = t-t0，则dv = dt，代入上式可得 信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。10/10/202224.3.2 时域移位性质式中t0为任意实数 证明： 令v 10/10/2022310/9/20223 4.3.3 时域-频域对称性质（奇偶,虚实

2、）10/10/20224 4.3.3 时域-频域对称性质（奇偶,虚实）10/9/2010/10/2022510/9/2022510/10/2022610/9/20226为的偶函数 为的奇函数 为的奇函数 10/10/20227为的偶函数 为的奇函数 为的奇函数 10/9/2022幅值的量度单位 / 频率的量度单位若x(t)是t的实偶函数， 则X(j)必为的实偶函数。 X(j)=R()若x(t)为实奇函数，则X(j)必为的虚奇函数。 X(j)=jI()10/10/20228幅值的量度单位 / 频率的量度单位若x(t)是t的实偶函数，互为复共轭对称10/10/20229互为复共轭对称10/9/20

3、2294.3.4.1 时域微分性质若 则10/10/2022104.3.4.1 时域微分性质若 10/9/202210例 试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。 解： 由上式利用时域微分特性，得 因此有10/10/202211例 试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。 解： 4.3.4.2 时域积分性质若信号不存在直流分量即X(0)=010/10/2022124.3.4.2 时域积分性质若信号不存在直流分量即X(0)=4.3.5 时域-频域尺度变换性质证明:令 v = at，则 dv = adt ，代入上式可得 时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。10/10/2022134.3.5

4、 时域-频域尺度变换性质证明:令 v = at，则展缩特性10/10/202214展缩特性10/9/2022144.3.5 时域-频域尺度变换性质如果那么当a=-1时， 得到x(t)的折叠函数x(-t)， 其频谱亦为原频谱的折叠， 即 x(-t) X(-j) 尺度特性说明， 信号在时域中压缩， 频域中就扩展； 反之， 信号在时域中扩展， 在频域中就一定压缩； 即信号的脉宽与频宽成反比。 10/10/2022154.3.5 时域-频域尺度变换性质如果那么当a=-1时， 得 一般时宽有限的信号， 其频宽无限， 反之亦然。 由于信号在时域压缩（扩展）时， 其能量成比例的减少（增加）， 因此其频谱幅度

5、要相应乘以系数1/|a|。 也可以理解为信号波形压缩（扩展）a倍， 信号随时间变化加快（慢）a倍， 所以信号所包含的频率分量增加（减少）a倍， 频谱展宽（压缩）a倍。 又因能量守恒原理， 各频率分量的大小减小（增加）a倍。 下图表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。10/10/202216 一般时宽有限的信号， 其频宽无限， 反之亦然。 由于信号图 矩形脉冲及频谱的展缩10/10/202217图 矩形脉冲及频谱的展缩10/9/202217联合使用上述两性质：10/10/202218联合使用上述两性质：10/9/2022184.3.6 时域-频域对偶性质含义：信号的波形与信号的频谱的图形有着互相置换的

6、关系。 (注意：这种对称关系只适用于偶函数。)10/10/2022194.3.6 时域-频域对偶性质含义：信号的波形与信号的频谱的频域微分特性若将上式两边同乘以j得 证明：10/10/202220频域微分特性若将上式两边同乘以j得 证明：10/9/20224.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理那么如果 帕斯瓦尔定理， 它表明信号的时域能量等于信号频域的能量， 即信号经傅氏变换其总能量保持不变， 符合能量守恒定律。10/10/2022214.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理那么如果 由于信号x(t)为实数，故X(-jw)=X *(jw)，因此上式为证明物理意义：非周期能量信号的归一化能量 在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。10/10/202222由于信号x(t)为实数，故X(-jw)=X *(jw)，因此非周期信号的能量谱 帕什瓦尔能量守恒定理： 定义单位角频率的信号能量为能量频谱密度函数，简称能量频。10/10/202223非周期信号的能量谱 帕什瓦尔能量守恒定理： 定例7 计算 。解： 由 根据Parseval能量守恒定律，可得10/10/202224例7 计算 。解