小学奥数专题-几何计数(三).教师版

1、7-8-3. 计（教学目掌握计常用方法；熟记一计数公式及其推导方法；根据不题目灵活运用计数方法进行计数本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法,渗透分类计数和用容 斥原理的计数思想知识要一、几何计数在几何图形中,许多有趣的计数问题,如计算线段的条数满某种条件的三角形的个数,若干个图分平面 所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循 ,但通过认真分析 是可以找到一些处理方法 的 常 用 的 方 法 有 枚 举 法 、 加 法 原 理 和 乘 法 理 法 及 递 推 法 等 n 条 直 线 最 多 将 平 面 分 成 ( 2) 个部分 圆最多分平面的部分数为 n

2、(-1)+2 个三角形将平面最多分成nn-1)+2 部； 个四边形将平面最多分成 4(n-1)+2 部在其它计数问题也经常用到枚举法、法原理和乘法原理法以及递推法等解题时需要仔细审题、综 合所学知识点逐步求解排列问题不仅与参加排列的事物有而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后 顺序无关只与这两个组合中的元素有关二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有 点包括两个端)或含有 个基本线）那么这 n+1 个点把这条 线段一共分成的线段总数为 +(-+2+1 数角：数角与数线段相似,段图形中的点类似于角图形中的边数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法因为 DE 上

3、15 条线,每条线段的两 端点与点 相可构成一个三角形,共有 15 个三角,同样一边在 上三角形也有 个所以图中共有 30 个三角形数长方形、平行四边形和正方形：一般,对于任意长方形（平行四边形,若其横边上共有 n 条段纵 边上共有 m 线段,图中共有长方形（平行四边形 个例题精模块一、立体几何计数【 1 用同大的方小块堆如图立图那一用_块正体7-3.何计数（三）题库教师版page 1 10【考点】立体图形几何计数 【度3 星 【型】填空【关键词】迎春中年级初 题走4 年级,赛第 【解析 一有： 4 【答案】 50 块【 2 将 个相的正体成个积 立方米长体,将表面上漆然分 ,其中有 2 个涂

4、的正体 个则 1 面红小方有 个。【考点】立体图形几何计数 【度3 星 【型】填空【关键词】学而思杯, 级第 【解析】 5 所以这个长方体的尺寸只有 1 , , 2 五种情况 ,其只有 尺寸为 2 的方体的表面染色后 ,有 个正方体有 个涂红,所以有 个面涂红的小正方体有 个。【答案】 0【 3 如图一由 个棱为 1 的色正体块成棱为 的正体块现任挖其的 个棱为 的正体然后所暴在的面部上漆那么余下 个棱为 的小 正体恰有 3 面蓝漆最能_个【考点】立体图形几何计数 【度3 星 【型】填空【关键词】学而思杯, 级第 12 【解析】 ）角块本身为 3 面暴露在外的小方块；2挖去外侧面中部的小方,够

5、增加 块三面暴露在外的小方块,上角块共成 块 3 面漆的 小方块为最优方案3因此挖去对称的 块侧中部的小方块后,产生 3 面暴露在外的小方块4然后再挖去任意一个外侧面中部的小方将增加 3 块 面露外的小方,但同时破坏原来 的 块 在外的小方块.5所以最多有 块 3 面涂漆的小方块【答案】17模块二、几何计数的应用【 4 如图每个正形面都 l 平方米则在图最可画_个积 平 厘的点方(顶都图交点的方)。【考点】几何计数的应用 【度】3 星 【题型】填空【关键词】希望, 年级1 试【解析】 每两正方形可确定 3 个积是 2 平厘米的格点正方,总共有33=9() 【答案】 9【固 图中的个方都面为 的

6、方面为 的形个【考点】几何计数的应用 【度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望五年级二, 题【解析】 【答案】 31 个7-3.何计数（三）题库教师版page 2 10【固 下图是 个积于 的正形成大方图面是 6 的方有个【考点】几何计数的应用 【度】3 星 【题型】填空【关键词】希望四年级二, 题【解析】 每两正方形可确定 3 个积是 2 平厘米的格点正方,总共有 24 (个)【答案】 个【 5 如图示在边为 的正形组的 44 方图共 格。以点顶的角 角中两直角长别 和 3 的直角角共 个。【考点】几何计数的应用 【度】3 星 【题型】填空【关键词】华杯决赛第 【解析】 我 们一排连续三个

7、正形叫做三连正方形 ,三连正方形的个数乘上每个三连正方形直角三角形 的个数就得到所求的总数64 （）【答案】 【 6 用 9 个子成互隔 厘的方(如右图)果一皮将当三钉子结来 就到个角这得的角中面积等 1 平厘的角的数有少 积于 2 平厘的角有少？【解析】 面积于 1 平厘米的三角形有 个 面积于 平方厘米的三角形有 8 个 (1)面等于 1 平厘米的分类统计如下： 底为 2,高 1 底为 2,高 1 底为 1,高为 232=6( 32=6(个 32=6() 底为 1,高 底为 2,高 底为 1,高 232=6( 22=4(个 22=4() 所以面等于 1 平方厘米的三角形的个数有6+6+6+

8、6+4+4=32(个 (2)面等于 2 平厘米的分类统计如下：32=6() 个所以面等于 2 平方厘米的三角形的个数有6+2=8()7-3.何计数（三）题库教师版page 3 10【 7 下图的方被成 9 个同小方它一有 个点（同顶算个以中 不一直上 个为点可以成角在些角中与阴三形同大面积 有少？【考点】几何计数的应用 【度】3 星 【型】解答【解析 1显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是 则正方形的边长是 阴影三角形的面积是23=32思考图中怎样的三角形的面积等于 （1一边长 2,这边上的高是 三角形的面积等于 （即形如图中阴影三角形这时长为 边只能在原正方形的边上,这样的三角形有

9、 244=32个（2一边长 3,这边上的高是 的角形的面积等于 这长为 边是原正方形的一边或平 行于一边的分割线这样的三角形有 82=16个）注意：不能与）中的三角形重所以这样的 三角形共有 32+16=48（个【答案】 个【固 图中每小方的长是 l 厘,则在图最可画面是 方厘米格三形顶点 图交点的角)个。【考点】几何计数的应用 【度】3 星 【题型】填空【关键词】希望五年级一, 11 题【解析】 由三形面积为 3 平厘米,知三角形的底高 6,6=16=23,为图形中长方形的长为 3 厘米宽 为 2 厘。当三角形的= 厘时有 42=8 种况；底2 厘时有 12=2 种况所,一共 有 8+2=1

10、0 个【答案】 10 个【 8 在一圆上 个 正把周等 ,以这点顶点三形,以出 个等三 角【考点】几何计数的应用 【度】4 星 【题型】解答【解析 由 8 个正把圆周八等所以以其中的任 个点作为顶点都不能组成等边三角形那么任意 选取其中的一个点作为顶,一个顶点上有三个不同的等腰三角,圆周上有 个点所一共有 个等腰三角形而且这些等腰三角形互不相否则,设其中有两个等腰三角形相同,两个 等腰三角形不可能是同一个顶只是不同的顶,样这个等腰三角形必定是正三角,前面的 分析不合),所以可以作出 24 个腰三角形【答案】 24 等腰三角形【 9 圆周十点任意两点间接条这弦圆有少交？【考点】几何计数的应用 【

11、度】4 星 【题型】解答【解析 圆上 4 点成一个四边,边形两条对角线相交可以产生一个交点问题转化“圆周上 个点 可以组成多少个以他们为定点的四边形利用上一讲的知去掉重复的部分可有： 所以交点有 个【答案】 个【 10 圆上 8 个点两点连线叫 弦”,两连条弦 ,弦公端 共连条 各互 相的法有_种【考点】几何计数与找规律 【度4 星 【题型】解答【析 本题以利用归纳的方法解决圆周上只有 个点只有 1 种法；7-3.何计数（三）题库教师版page 4 10若圆周上只有 个先选中 1 个点,可以与相邻的两个点相它连好后其它两点只有 1 种法所 以此时有 种法；若圆周上只有 个先选中 个,此时它可以

12、与相邻的 2 个相连,可以相对的 1 个相连,若与 相邻的点相剩下的 4 个有 2 种连法；若与相对的点相,下的 个只有 种法所以此时 有 2 种法；若圆周上只有 个点先选中一个点此它可以与相邻的 2 点相,也可以与与它相隔 2 个的另外 两个点相连若相邻的点相剩的 点有 5 连法若相隔两个点的点相连,下的 6 个 被分成两边,边 个,有一种连法一边 个, 2 种连法所以此时共有 5 种 法【答案】 种连接法【 11 九大相的正形成右现点 走到点 B,每次只沿小方的角从个 顶到一顶 不允走复线如的线就一走）那从 A 走到 共有 种不同的法【考点】几何计数的应用 【度】4 星 【题型】填空【关键

13、词】迎春五年级初 题【解析 路相当于右图中从 A 到 不同路线（不走重复路线,从 C、D 到 B 方法都唯,从 出 有 3 种方向从 出也有 方向（不一定是最短路线,根据乘法原共有 种不同走法。【答案】 9 种【 12 国象中马”的走如所位 eq oac(, )置的马”只走标有的格中在 55 个方的际 棋盘（右）入枚马用 eq oac(, )）和枚马用表要将枚马至枚 黑的置将枚马移四白的置而必按照际棋规,子能动空中 每格多一棋么少要步 【考点】几何计数的应用 【度】5 星 【题型】填空【关键词】迎春四年级初 题【解析 需移动 8 枚棋子,意棋子只移动一步是无法到达目的空格当中的 以,少需要 ,

14、具 方案：如下用四步交换两枚棋子到目空格当中用同样的方法处理其6 枚子一共需6 步【答案】 16 步【 13 请三“数、三个学”、个美”填入图,使得每横、一排有三字如果左 上摆“数那可有_几种同摆。【考点】复杂乘法原理 【度3 星 【型】填空7-3.何计数（三）题库教师版page 5 10【关键词】走美五年级初, 题【解析】 由 于一个 数” 已填在左上角的方格内 , 所剩下的 2 个“ 只两填法 如下图所示：对 于上面的两个 3 方格 只任何一个空白方格中填入一个字 , 则个 方都只有唯一填法 , 比如对于上左图 在二行第一列填入 “ 学 , 则三行第一列和第二行第三列都只能填 “ 美 ”

15、； 第三行第二列和第一行第三列都只能填 “ 学 第一行第二列只能填 “ 美 所以只要确定某一个 空白方格中填的字 , 也确定了整个 3 格的填法。而现在每个空白方格中可以填 “ 学 ” 或 “ 美 , 有两种填法 , 所共有 2 种足题意的填法。数数数数数数【答案】 4 种【 14 图共 个格要把 ,C, 四个同棋子在格并每每只出一棋问： 共多种同放？【考点】复杂乘法原理 【难度3 星 【型】解答【解析】 由于个棋子要一个一地放入方格故可看成是分四完成这件事步放棋子 可放在 个方格中的任意一个,故有 16 种同的放法步棋子 B 由于 A 已定那放 的那一行 和一列中的其他方格内也不能放 B ,

16、还剩下 个格可以放 B , 有 种法步放 ,再去掉 所在的行和列的方格,还剩下四个方格可以放 C , C 有 4 放法；最后一步放 D ,再去掉 所的行和 列的方格只剩下一个方格可以放 D , D 有 1 放法由乘法原理,共 6 576 种不同的放 法【答案】 【固 在图方内入枚子要求行每都能一棋共多种法【考点】复杂乘法原理 【难度3 星 【型】解答【解析】 要放枚棋子肯需要分五步完成察图的表格正好是五列刚好在每列放一个棋子是 我们不妨按第 1 列第 2 列第 3 、第 列第 5 列顺依次摆放棋子第一步：在第 1 列入个棋子因为第 列有两个所以有 2 种放法第二步：在第 2 列入一个棋子因为第

17、 2 列有三个可是刚刚放在第一列的那个棋子占了其中 的一行所以有 3-1=2 种法第三步：在第 3 列填入一个棋子因为第 列有四个格可是被放在第一列、第二列的那两个棋子7-3.何计数（三）题库教师版page 6 10各占了一行,以有 种法第四步：在第 列入一个棋子同理推得有 种法第五步：在第 列填入一个棋子同理推得有 种法根据乘法原往方格内放入 枚子每行每列只有一棋,有 2 种放法 【答案】 16【 15 下是个国棋 如双准各一棋 要它不同行 ,也不在一 ,那么共 有少不的置法楚河汉界【考点】复杂乘法原理 【难度3 星 【型】解答【解析】 第一棋子有 90 种法第个棋子有 72 种放,根据乘法

18、原,有 90 6480 （）不同的放 置方法【答案】 6480【固 国象棋是 88 方网下棋双各 16 棋位 16 个区中国象中“车”同 国棋的车”一都以位同一横或行对棋吃 如棋进到一刻,下 棋双都剩一“车,那么两“车”位有少情？【考点】复杂乘法原理 【难度3 星 【型】解答【解析】 对于果只有一只车的情况它可以有 种摆放位置如果在棋盘中再入一车”,么它不能在 原来那个车的同行或同列出,他只能出现在其他七行七,以它只有 中,所以这两个 “”摆放位置有 种方法【答案】模块三、几何计数与找规律【 16 下的个形（实是别 根 16 根位的棍围的如按规律每一层上 面层摆两小方）围成图共了 60 多根棍

19、那么成图有层共用多根 小？【考点】几何计数与找规律 【度2 星 【型】解答【析 通过察每增加一,好增加 6 根小,这 根好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形多用 的即前 1 层用 根前 2 层 4+6 根前 3 层 根, n 层 4+6(n-1)根,在共用了 多 应减去 是 倍数所以共用小棍 根围的图形有 层【答案】 层, 64 根【 17 如所用短同火棍成 1996 的方网其中个方的都一火棍组那 么共用少火棍【考点】几何计数与找规律 【度2 星 【题型】解答【解析 横需 根竖需 根共 根7-3.何计数（三）题库教师版page 7 10【答案】 根【 18 用 根长火可以成个边角图这的边角

20、拼成一更的边 角.果个等三形每由 根火柴成那么共用少火?【考点】几何计数与找规律 【度2 星 【型】解答【析 把大等边三角形分为20层别计算火柴的根数：最上一层只用了 3 根柴；从上向下数第二层用了 根从上向下数第二层用了 根从上向下数第二层用了 320=60 根所以总共要用火柴 31+2+3+）=630【答案】 【固 用三根柴拼一小 eq oac(,“)”若用 108 根火拼如所形的三形请你一共多 个角？【考点】几何计数与找规律 【度2 星 【题型】解答【解析 首需弄清形状如图的大三角形共有多少层上下第一层用 根柴第二层用 根火柴；第三层用 9 根柴；第四层用2 根柴；第五层 根柴；第 n

21、层 用 根 火 柴 根 据 题 意 , 有 ： 108 , 故 所, n 即形状如图的大三角形共有 层是长为 8 火柴的大正三 角形然后,出共有多少个三角形尖朝上的三角形共： (1 (1 6) (1 5) (1 (1 2) 120 (个)；尖朝下的三角形共： (1 7) 50 个)；所以共有三角形： 120 个)本题小结：尖朝上的三角形：每一种尖朝上的三角形个数都是由 1 开的连续自然数的其中连续 自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条,次各个连续自然数的和都 比上一次少一个最大的加,直到 为止尖朝的三角形的个数也是从 开始的连续自然数的, 它的第一个和恰是尖朝上的第二个

22、和 次各个和都比上一个和少最大的两个加数 ,以类推直到零 为止【答案】 170 个【 19 根火柴以成个三形。中很根柴成一中空大角。已大角外 沿每边是 根火。成个共要 根火。空【考点】几何计数与找规律 【度4 星 【型】填空7-3.何计数（三）题库教师版page 8 10(101 11 1 1 1 1 【关键词】走美, 年级,决赛(101 11 1 1 1 1 【解析】 水平方的火柴有 74 （根）而其它两个方向的火柴与水平放下的火柴个数相同 所以摆成这个图共需要 74 （）火柴。【答案】 222 根【 20 一长形片长是的 2 倍先对成方,再折长形再对成方共对 7 次 将打展数数折分成正形有少？【考点】几何计数与找规律 【度4 星 【型】解答【解析 从单情况入手,从第一次对折开始分,第一次对折,平折痕分割成的正方形共 个；第二次对折,平折痕分割成的长方形共 4 个；第三次对折,平折痕分割成的正方形共 8 个第四次对折,平折痕分割成的长方形共 4 个第五次对折,平折痕分割成的正方形共 个第六次对折,平折痕分割成的长方形共 4 个第七次对折,平折痕分割成的正方形共128 个观察发现规律 数次对折时