抽象代数理论问题与方法课件

1、1教材与参考书教材张广祥:抽象代数理论、问题与方法,科学出版社, 2005课程名称:近世代数学习内容:教材前6章1教材与参考书教材2学习前6章1 导引(3)2 数环与数域(6)3 尺规作图(4)4 对称与群(5)5 代数方程的Galois理论(7)6 从勾股定理到费马定理(7)2学习前6章1 导引(3)3本教材特点以问题解决为主线避免概念化教学3本教材特点4问题解决第2章 数环与数域:整数的平方和定理第3章 尺规作图问题:尺规作图3大难题第4章 对称与群:晶体分类定理第5章 代数方程的Galois理论: 不可解方程第6章 从勾股定理到费马定理: 2次代数整数环分类4问题解决第2章 数环与数域:

2、整数的平方和定理5问题解决第7章 域上的代数:实数域上可除代数; 欧拉恒等式;合成代数分类问题第8章 多项式环的理想:希尔伯特基定理; 代数簇不可约分解第9章 理想的唯一分解性:整数唯一分解 定理推广第10章希尔伯特第17问题:整函数平方和5问题解决第7章 域上的代数:实数域上可除代数;6第1章 导引1.1 方法与对象1.2 映射与运算1.3 群、环、域的定义6第1章 导引71.1 方法与对象代数学发展的4个阶段: 1 文字叙述阶段 2 简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段71.1 方法与对象81.1 方法与对象1 文字叙述阶段主要特点: 直观推理古代中国: 筹算法古代希腊: 几何

3、数论81.1 方法与对象1 文字叙述阶段9古代中国: 筹算法算筹计数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9古代中国: 筹算法算筹计数10古代中国: 筹算法九章算术：筹算开方商(根)5 5 2 2 5实法负2商5 5 2 2 5实2法4负2 3商1 5 2 2 5实 4 3法1 2 9 负10古代中国: 筹算法九章算术：筹算开方商(根)5 5 211九章算术：开方术2 3商 2 3 2 5实 4 3法负2 3商 2 3 2 5实 4 6法负2 3 5商 2 3 2 5实 4 6 法负 2 3 5商 0实 4 6 5法 0负 2 3 5商 2 3 2 5实 4 6 5法 2 3 2 5负 2

4、 3 5商 2 3 2 5实 4 6 5法 负11九章算术：开方术2 3商 2 3 2 5实 4 3法负12古代希腊: 几何数论1+3+5+(2n-1)=n2.12古代希腊: 几何数论132 简化文字阶段丢番图（Diophantus,公元250年）算术使用简化文字符号12345678910： 平方： ， （dunamis）立方：， （kubos）x3+8x-1： *x:; x3+8x: ; 减: ;常数: *132 简化文字阶段丢番图（Diophantus,公元25143 符号代数阶段字母表示数M.Stiefel(1486-1567)1553综合算术使用+、-、F.Viete(1540-160

5、3) : cubus aequalia a cubus+a plano2in b+b cubus143 符号代数阶段字母表示数153 符号代数阶段符号代数的意义字母表示数：代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代数学公理系统项武义：近代代数学的分界不在于“字母表示数”而是“不定元引入”153 符号代数阶段符号代数的意义164 结构代数阶段结构代数：从公理系统出发研究特定的代数系统，群、环、域等抽象代数是现代数学的基础拓扑学：基本群、上同调群代数数论：理想论代数几何：代数簇164 结构代数阶段结构代数：从公理系统出发研究特定的代数17抽

6、象代数三大基础1 高次方程求根问题：Galois群，扩域2 费马问题高斯方法：Kummer理想论3 复数的几何解释：Hamilton四元数17抽象代数三大基础18 思考问题1 刘徽像利用乘法公式解释筹算开方法 的原理18 思考问题119思考问题2：素数的复整数分解5=（1+2i）（1-2i）问题：通常整数（有理整数）p=a+bi在复整数中存在非平凡分解的充分必要条件注：1 ，i是复整数中仅有的非平凡因子19思考问题2：素数的复整数分解20思考问题3：数学符号的价值和功能现代数学密切依赖于高度专业化的符号系统，数学符号系统不仅仅是简化的表达形式，也是思维的有力工具：例，蝴蝶定理的“傻瓜证法”.试

7、用你自己的例证说明数学符号的价值和功能.20思考问题3：数学符号的价值和功能现代数学密切依赖于高度专21蝴蝶定理ADGOFCHBE132421蝴蝶定理ADGOFCHBE132422蝴蝶定理蝴蝶定理“傻瓜证法”22蝴蝶定理蝴蝶定理“傻瓜证法”231.2 映射与运算映射定义；单射、满射、一一映射集合A上的2元映射称为（ 2元）运算231.2 映射与运算24 集合分类定义：非空集A上2元关系ab，满足 1 自反性：aa 2 对称性：若ab则ba 3 传递性：若ab、 bc则ac称2元关系为等价关系等价类 A（a）= xa | xA 商集 = A（a）| aA 24 集合分类定义：非空集A上2元关系a

8、b，满足25集合分类等价关系，例：等于；朋友关系；模n同余：若n|a-b则记ab（n），称为a与b模n同余同余类：0，1，2，n-125集合分类26思考问题：映射的交换图已知映射：AB满，定义：AA ，：BA 证明一一；图交换 = A B A26思考问题：映射的交换图已知映射：AB满，定义：A271.3 群、环、域的定义 群的定义 整数加群（Z，+）： 1. 加法封闭 2. 加法结合 3. 加法交换 4. 有0元 5. 有逆元271.3 群、环、域的定义 群的定义28群的定义群的定义:非空集G,存在2元运算(乘法),满足条件 1. 封闭律 2. 结合律 3. 单位元e 4. 逆元a-1称G是一

9、个群.28群的定义群的定义:非空集G,存在2元运算(乘法),满足条29群的一些简单性质1. 群的单位元唯一2. 每个元素的逆元唯一3. 乘法不必交换,若交换则称为交换群4. 若干例: 有理数加群、非零有理数乘群 n次单位根乘群、完全线性群GL(n,F)5. 子群定义29群的一些简单性质1. 群的单位元唯一30 环的定义整数环Z:全体整数两个运算,加法、乘法,满足 1. Z是加群 2. 乘法封闭、结合、交换 3. 乘法对加法分配律称为整数环.30 环的定义31 环的定义环的定义:非空集R有两个运算,加与乘,满足 1. R是一个加群（交换） 2. 乘法封闭、结合 3. 左右分配律则称R是一个环.注: 0元、单位元、可逆元（单位）、交换环31 环的定义环的定义:非空集R有两个运算,加与乘,满足32 环的例环的若干实例：整数环、有理数环（域）、多项式环、连续函数环、全矩阵环Maxn(R)子环定义32 环的例环的若干实例：33 域的定义域的定义域的若干实例:有理数域、实数域、复数域数域Q(i)、Q（ ）33 域的定义域的定义34 本节思考问题汤璪真（毛泽东同学）群：定义整数集Z上“*”运算:a*b=a+b-1,证明(Z,*)是一个群.并讨论(Z,*)与整数加群之间的关系.34 本节思考问题35本节