微积分1(华科)课件

1、同学们好同学们好！同学们好！ 知识是一种快乐，而好奇则是知识的萌芽。培根10/2/20221 第四章 微分中值定理与导数应用 10/2/20222一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第一节 微分中值定理四、小结 思考题10/2/20223一、罗尔(Rolle)定理定理(Rolle)若函数f ( x ) 满足（1）在闭区间a,b上连续（2）在开区间(a,b)内可导（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)例如,10/2/20224几何解释:若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，物理解释:变

2、速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.10/2/20225证10/2/2022710/2/20228又例如,在0,1上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件再例如在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；10/2/202210另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点也不一定能指出是哪一点，如在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而但却不易找到使但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用10/2/202211例12）唯一性矛盾,由零点定理即为方

3、程的正实根.证：1）存在性10/2/202212几何解释:证分析:弦AB方程为10/2/202214作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.10/2/202215例4证10/2/202217例5证由上式得10/2/202218例6拉格 朗日中值定理.解 10/2/202219拉格朗日中值公式的几种表达形式10/2/202220三、柯西(Cauchy)中值定理10/2/202221几何解释:证作辅助函数10/2/202222例7证分析:结论可变形为10/2/2022241. 设且在内可导, 证明至少存在一点使提示:由结论可

4、知, 只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设10/2/202225练 习 1、函数 在区间1,2上满足拉格朗日中值定理则= 一、填空题 2、设函数 个根，它们分别在区间 上(1,2),(2,3),(3,4)10/2/202227小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；10/2/202228 罗尔在数学上的成就主要是在代数方面。任意次方程的一个解法的证明的论述中指出了：在多项式方程多年后，即并把此命题名为罗尔定理。一新生事物还存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，罗尔。罗尔 生平简介且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人

5、与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数家奥扎南提出的一个数论难题，受到了学术界的好评，从而声名雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行政官员。1685 年进入法国科学院，担任低级职务，到1699年才获得科学院发给的固定薪水.此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世。罗尔是法国数学家。罗尔出生于小店主家庭，只受过初等教育，罗尔于1691年在题为的两个相邻的实根之间，方程 至少有一个根。一百1846年，尤斯托伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数。罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，由于这其中也包括（1652.4.211719.11.8）10/2

6、/202229拉格朗日（1736.1.251813.4.10）生平简介拉格朗日是法国数学家，他的父亲是陆军骑兵里的一名会计官，后又经商。拉格朗日兄弟姐妹11人，他的父亲希望他能当一名律师，他14岁考入中学时，逐渐对物理学和几何学感兴趣，特别对几何学更热爱。17岁时，当他读到英国天文学家哈雷撰写的介绍牛顿微积分成就的一篇短文之后，对分析产生了浓厚的兴趣，而分析在当时是迅速发展的一个数学领域。1754年，18岁的拉格朗日给出了二个函数积的高阶导数公式，他将这一发现告诉了当时的几何学家泥尼亚诺、数学家欧拉。后来得知这一结果早在半个世纪以前就被莱布尼兹所发现，他生怕别人误认为他是剽窃者和科学骗子。但这

7、一挫折并没有使他丧失信心，1755年8月12日，拉格朗日给欧拉写了一封信，在这封信中，他对求积分极值问题的纯分析方法做了系统的总结，这是变分法研究的一个重大进展，也是他在数学研究中最杰出的成就之一。拉格朗日在数学的许多领域都留下了足迹，他的工作总结了18世纪的数学成果，同时开辟了19世纪数学研究的道路。1813年4月10日，拉格朗日与世长辞，人们争相悼念他，在法国科学院、意大利各大学都举行了追悼会。10/2/202230柯西（1789.8.211857.5.23）生平简介柯西是法国数学家、力学家。柯西的父亲是法国波旁王朝的官员,幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院的办公室，并在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识，拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家。柯西于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学，1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业。前往瑟堡参加海港建设工程。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支从数论到天文学方面的书籍。柯西最有首创性的工作是有关复变函数论，他对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述于证明方法，在这方面他写了三部专著分析教程、无穷小计算教程、微分计算教程。柯西还是数理弹