人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步课件

1、第八章立体几何初步数学必修第二册RJA第一节基本立体图形1.2019重庆万州三中高二月考下列关于棱柱的说法中,正确的是 ()A.棱柱的所有面都是四边形B.一个棱柱中只有两个面互相平行C.一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面D.棱柱的侧棱长不都相等知识点1棱柱、棱锥、棱台的结构特征答案1.C【解析】A说法不正确,比如三棱柱的底面为三角形;B说法不正确,比如长方体中,相对侧面互相平行,两个底面互相平行;C说法正确,一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面;D说法不正确,由棱柱的定义可知,棱柱的侧面为平行四边形,侧棱长都相等.故选C.2.设集合M=正四棱柱,N=长方体,P=直四棱柱,Q=正方体,则这

2、四个集合之间的关系是 ()A.PNMQB.QMNPC.PMNQD.QNMP知识点1棱柱、棱锥、棱台的结构特征答案2.B【解析】根据定义知,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以正方体正四棱柱长方体直四棱柱,故选B.3.2019山东德州陵城一中高二(上)月考若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是 ()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥知识点1棱柱、棱锥、棱台的结构特征答案3.D【解析】因为正六边形的中心与相邻两个顶点连接构成等边三角形,所以正六棱锥的侧棱长应大于底面边长,所以当侧棱长与底面边长相等时,一定不是正六棱锥.故选D.知识点1棱

3、柱、棱锥、棱台的结构特征答案5.2019湖北荆州中学高一月考下列命题中正确的个数是()由五个面围成的多面体只能是三棱柱;仅有一组对面平行的五面体是棱台;有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥.A.0B.1C.2D.3知识点1棱柱、棱锥、棱台的结构特征答案5.A【解析】由五个面围成的多面体也可以是四棱锥,故错误;仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱,故错误;有一个面是多边形,其余各面是具有公共顶点的三角形的几何体是棱锥,故错误.故选A.6.2019河南洛阳一高高一月考如图,四边形AA1B1B为矩形,AA1=3,CC1=2,CC1AA1,CC1BB1,这个几何体是棱柱吗?若是棱柱,指出

4、是几棱柱;若不是棱柱,作出一个过点C1的截面,截去一部分,使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱,并指出截去的几何体的名称.知识点1棱柱、棱锥、棱台的结构特征答案6.【解析】因为这个几何体中没有两个互相平行的面,所以这个几何体不是棱柱.如图,在AA1上取点E,使AE=2,在BB1上取点F,使BF=2,连接C1E,EF,C1F,则过点C1,E,F的截面将原几何体分成两部分,其中一部分是三棱柱ABC-EFC1,其侧棱长为2;另一部分是四棱锥C1-EA1B1F,即截去的几何体是四棱锥.7.(多选)下列关于圆柱的说法中,正确的是 ()A.分别以矩形(非正方形)的长和宽所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形

5、成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是与底面全等的圆面C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个圆面D.以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转180而形成的面所围成的几何体是圆柱知识点 2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征答案7.ABD【解析】用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面不是圆面,如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱,截面是矩形,故C错误,显然A,B,D正确.8.给出下列命题:过球面上任意两点只能作球的一个大圆;球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径;用不过球心的平面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;球面可看作空间中到一

6、个定点的距离等于定长的点的集合.其中正确命题的个数是 ()A.4B.3C.2D.1知识点 2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征答案8.B【解析】过球的直径的两端点可作无数个大圆,故不正确,易知均正确,即正确的命题有3个.9.下列命题:圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个;用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆;圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;球的半径是球面上任意一点与球心的连线段.其中正确的个数为 ()A.0B.1C.2D.3知识点 2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征答案9.C【解析】错误,因为截面可能是一个三角形;错误,因为圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点;正确.故

7、选C.10.如图所示的组合体,其结构特征是 ()A.左边是三棱台,右边是圆柱B.左边是三棱柱,右边是圆柱C.左边是三棱台,右边是长方体D.左边是三棱柱,右边是长方体知识点3 简单组合体的结构特征答案10.D【解析】根据三棱柱和长方体的结构特征,可知此组合体左边是三棱柱,右边是长方体. 11.如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体为 ()A.一个球B.一个球挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球挖去一个长方体知识点3 简单组合体的结构特征答案11.B【解析】由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱.1.(多选)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是 ()A.是棱台B.是圆

8、台C.是棱锥D.是棱柱答案1.CD【解析】题图中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的,且上、下底面不是相似的图形,所以不是棱台;题图中的几何体上、下两个面不平行,所以不是圆台;题图中的几何体是三棱锥;题图中的几何体前、后两个面平行,其他面都是平行四边形,且每两个相邻平行四边形的公共边都互相平行,所以是棱柱.2.下列结论中正确的是()A.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆锥B.以直角梯形的一边所在直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆台C.以平行四边形的一边所在直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个

9、圆柱D.圆面绕其一条直径所在直线旋转180后得到的几何体是一个球答案2.D【解析】在选项A中,若绕直角三角形的斜边所在直线旋转一周,则得到的几何体不是一个圆锥,故选项A错误;在选项B中,若绕直角梯形的上底所在直线旋转一周,则得到的几何体不是圆台,故选项B错误;在选项C中,若平行四边形的一个内角为锐角,则绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体不是圆柱,故选项C错误;在选项D中,圆面绕其一条直径所在直线旋转180后得到的几何体是一个球,故选项D正确.故选D.3.2019江西南昌月考给出下列说法:有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱;底面为正多边形的棱柱是正棱柱;顶点在底面上的射影到底面各顶点的距

10、离相等的棱锥是正棱锥.其中说法正确的个数是 ()A.0B.1C.2D.3答案3.A【解析】若侧棱与底面两条平行的边垂直,则侧棱与底面不一定垂直,此时的棱柱不一定是直棱柱,所以错误;底面为正多边形的直棱柱为正棱柱,所以错误;顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等表示顶点在底面上的射影落在底面的外心上,底面不一定是正多边形,所以该棱锥不一定是正棱锥,所以错误.故选A.4.2019河北石家庄一中高一期中考试已知正四面体内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如图所示,则 ()A.都是正确的B.只有是正确的C.只有是错误的D.只有是正确的答案4.C【解析】正四面体内接于球,所

11、以四个顶点都在球面上.(1)若截面是过球心且平行于正四面体某一面的平面,则截面可能是题图;(2)若截面是过球心和正四面体的两个顶点的平面,则截面可能是题图;(3)若截面是过正四面体的一个顶点和球心的平面,则截面可能是题图;(4)若正四面体的三个顶点都在截面上,则截面不过球心,与题意矛盾,故题图不正确.故选C.5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体,则截面图形可能是(填序号).答案5.【解析】当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时,截面图形如图;当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时,截面图

12、形可能为图.6.在一个长方体形的容器中,里面装有少量的水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜.(1)在倾斜的过程中,水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?(2)在倾斜的过程中,水的形状也不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底面的一个顶点,上面的第(1)问和第(2)问对不对?答案6.【解析】(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(长方体形容器倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,该截面的形状一定是矩形.(2)不对.水的形状就是用与棱(长方体形容器倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部

13、分后,剩余几何体的形状,剩余几何体一定是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水比较多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形、四边形、五边形或六边形,因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形或六边形;水的形状可能是棱锥,也可能是棱柱,但不可能是棱台.故(1)对,(2)不对.7.2019陕西西安铁一中高一月考如图所示,正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高PO为h,求侧棱PA的长和斜高PD的长.答案8.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4 cm2和 25 cm2.(1)求圆台的高;(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.答案第二节立体图

14、形的直观图1.对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图,下列说法正确的是 ()A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.梯形的直观图可能不是梯形C.正方形的直观图为平行四边形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形知识点1 水平放置的平面图形的直观图答案1.C【解析】根据“斜二测画法”的作图步骤可知,平行于x轴和y轴的线段的平行性不变,所以正方形的直观图的对边仍是平行的,所以正方形的直观图为平行四边形,故选C.2.2020浙江宁波四中高二期中考试如图所示是水平放置的三角形的直观图,D是ABC中BC边上的一点,且DCDC,ABACAD, ABC的AB,AD,AC三条线段中,最长的是AB,最短的是AD.故

15、选C.知识点1 水平放置的平面图形的直观图答案4.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图.知识点1 水平放置的平面图形的直观图答案4.【解析】(1)画x轴,y轴,两轴相交于点O,使xOy=45.(2)在x轴上取点H,使OH=3,作HAy轴,并取AH=1(A在x轴下方),在y轴正半轴上取点C,使OC=1,在x轴正半轴上取点B,使OB=4,顺次连接O,A,B,C,如图1所示.(3)擦去作为辅助线的坐标轴、线段AH、点H,便得到四边形OABC的直观图OABC,如图2所示.知识点2直观图的还原与计算答案6.2019重庆巴蜀中学月考如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正

16、方形,则原图的形状是 ()知识点2直观图的还原与计算答案6.A【解析】根据斜二测画法,知在y轴上的线段长度为直观图中y轴上相应线段长度的2倍,故选A.7.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,请画出该四边形的原图形,并求出原图形的面积.知识点2直观图的还原与计算答案知识点2直观图的还原与计算答案【名师点睛】将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的图形,其作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x轴的线段的长度保持不变,而平行于y轴的线段的长度变为原来的2倍.作图时要充分利用给定图形中与坐标轴平行或在坐标轴上的线段,以及一些对确定图形起关键作用的点.8.

17、已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为 8 m.如果按1500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 ()A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm知识点3空间几何体的直观图答案8.C【解析】由比例尺可知,长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合直观图,知

18、在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.【名师点睛】画空间几何体的直观图时,已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.9.已知一棱柱的底面是边长为3 cm的正方形,各侧面都是矩形,且侧棱长为4 cm,试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.知识点3空间几何体的直观图答案1.2019山西太原五中高一(上)期末考试下列选项中的ABC均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是 ()答案2.如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,BC与y轴交于点D

19、,其中OA=6,OC=2,则原图形OABC是 ()A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形答案答案答案5.用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图.答案易错疑难集训（一）集训（一）1.一个正三角形和它的内切圆如图所示,将阴影部分绕直线l旋转180得到一个几何体,请描述该几何体的结构特征.易错点对空间几何体的结构认识不准确答案1.【解析】正三角形三边绕直线l旋转180形成的面所围成的几何体是圆锥,圆绕直线l旋转180形成的面所围成的几何体是球体,所以将阴影部分绕直线l旋转180得到的几何体是圆锥挖去一个与圆锥底面和侧面均相切的球.2.2020江西南昌二中调考试从如图所示的正方体ABC

20、D-A1B1C1D1的八个顶点中取若干个点,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号将其表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;(3)三棱柱.易错点对空间几何体的结构认识不准确答案2.【解析】(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).易错点对空间几何体的结构认识不准确答案(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱ABD-A1B1D1(答案不唯一).1.如图,菱形ABCD的边长为2,A=45,且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图,请画出这个四边形的原图形,并求出原图形的面积.疑难点平面图形的

21、直观图与其原图的面积关系疑难点平面图形的直观图与其原图的面积关系答案1.【解析】画轴.在菱形ABCD中,分别以AB,AD所在的直线为x轴、y轴建立坐标系xOy(A与O重合),如图1,另建立平面直角坐标系xOy,如图2.取点.在坐标系xOy中,分别在x轴、y轴上取点B,D,使AB=AB(A与O重合),AD=2AD.过点D作DCx轴,且DC= DC.成图.连接BC,得到的矩形ABCD即为这个四边形的原图形.原图形的面积S=24=8.2.用斜二测画法得到的多边形A1A2An的直观图为多边形A1A2An,试探索多边形A1A2An与多边形A1A2An的面积之间有无确定的数量关系.疑难点平面图形的直观图与

22、其原图的面积关系答案疑难点平面图形的直观图与其原图的面积关系答案综上,可知多边形A1A2An与其直观图多边形A1A2An的面积之间有确定的数量关系.【练后反思】利用斜二测画法画水平放置的几何体的直观图时,由于不同的直角坐标系的建系方式,得到直观图的形状、长度关系可能不同,但是其与原图之间的面积关系是确定的.课时1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积第三节简单几何体的表面积与体积知识点 1棱柱、棱锥、棱台的表面积答案知识点 1棱柱、棱锥、棱台的表面积答案3.已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面面积的2倍,高为3.求此正三棱锥的表面积.知识点 1棱柱、棱锥、棱台的表面积答案4.已知四棱台的上、下底面分别

23、是边长为4和8的正方形,侧面是腰长为8的等腰梯形,求该四棱台的表面积.知识点 1棱柱、棱锥、棱台的表面积答案5.若棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为 ()A.26B.28C.30D.32知识点 2棱柱、棱锥、棱台的体积答案知识点 2棱柱、棱锥、棱台的体积答案知识点 2棱柱、棱锥、棱台的体积答案8.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.知识点 2棱柱、棱锥、棱台的体积答案知识点 2棱柱、棱锥、棱台的体积答案答案2.2019湖北荆州期中考试三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1

24、AB=12,则三棱锥A1-ABC,A1-B1C1B,A1-C1BC的体积之比为 ()A.111B.211C.421D.412答案答案4.如图,半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是.答案5.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是.答案6.如图,在几何体ABCFED中,AB=8,BC=10,AC=6,侧棱AE,CF,BD均垂直于底面ABC,BD=3,FC=4,AE=5,求该几何体的体积.答案【名师点睛】当给出的几何体为不规则几何体或体积不方便直接求解时,可以采用等体积法、补形法或分割法,化复杂的几何体为简单的几何

25、体(柱体、锥体、台体等),化“不规则”为“规则”.利用简单几何体的体积的和或差求解.答案课时2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第三节简单几何体的表面积与体积知识点 1圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积答案知识点 1圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积答案3.已知某圆台的上、下底面面积分别是,4,侧面积是6,则这个圆台的体积是.知识点 1圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积答案4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,侧面积为84,则圆台较小的底面半径为.知识点 1圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积答案4.7【解析】设圆台较小的底面半径为r,因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长l=

26、3,侧面积为84,所以S侧=(r+3r)l=84,解得r=7.5.将一定量的水倒入底面半径为4 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是cm.知识点 1圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积答案6.将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为34,再将它们卷成两个圆锥侧面,则这两个圆锥的体积之比为.知识点 1圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积答案知识点 2球的表面积和体积答案8.2019湖北十堰模拟若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4,则原来实心球的表面积为 ()A.4B.8C.12D.16知识点 2球的表面积和体积答案8.B【解

27、析】设实心球的半径为R.由题意可得,2R2=4,原来实心球的表面积为4R2=8.故选B.9.2019河北保定一中高二(上)月考若两个球的表面积之差为48,其直径所在圆的周长之和为12,则这两个球的半径之差为 ()A.4B.3C.2D.1知识点 2球的表面积和体积答案10.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱,它们的表面积相等,则它们的体积的大小关系是 ()A.V正方体=V圆柱=V球B.V正方体V圆柱V圆柱V球D.V圆柱V正方体V球知识点 2球的表面积和体积答案11.2019江西高安中学高一期末考试已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,过点H的平面截球O所得截面圆的圆心为点H,且截面

28、圆的面积为4,则球O的表面积为.知识点 2球的表面积和体积答案12.已知球心到过球面上A,B,C三点的截面的距离等于球的半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积.知识点 2球的表面积和体积答案13.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的表面积为 ()A.153B.160C.169D.360知识点 3球的切、接问题答案14.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为 ()A.43B.31C.32D.94知识点 3球的切、接问题答案15.圆柱形容器内盛有高为8 cm的

29、水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是cm.知识点 3球的切、接问题答案知识点 3球的切、接问题答案17.有三个球,已知球O1内切于正方体,球O2与这个正方体各棱都相切,球O3过这个正方体的各个顶点,求球O1、球O2、球O3的表面积之比.知识点 3球的切、接问题答案知识点 3球的切、接问题答案知识点 4组合体的表面积和体积知识点 4组合体的表面积和体积答案19.如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,则所得几何体的表面积为.知识点 4组合体的表面积和体积答案19.24+1.5【解析】

30、几何体的表面积为S=622-0.522+20.52=24+1.5.20.2020江苏徐州高一(下)期末考试现需要设计一个仓库,由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,当PO1为多少时,下部的正四棱柱的侧面积最大?最大侧面积是多少?知识点 4组合体的表面积和体积知识点 4组合体的表面积和体积答案答案答案答案答案5.2019山东潍坊高一期末考试九章算术是中国古代第一部数学专著,

31、书中有如下问题:“今有委菽依垣,下周三丈,高七尺.问:积及为菽各几何?”其意思为:“现将大豆靠墙堆放成半圆锥形,底面半圆的弧长为3丈,高7尺,问这堆大豆的体积是多少立方尺?应有大豆多少斛?”已知圆周率约为3,1丈等于10尺,1斛大豆的体积约为2.5立方尺,估算出堆放的大豆为斛.答案答案7.已知球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球的表面积与圆台的侧面积之比为34,求球的体积与圆台的体积之比. 答案8.一倒置圆锥体的母线长为 10 cm,底面半径为6 cm.(1)求圆锥体的高;(2)若有一球刚好放进该圆锥体(球与圆锥的底面相切)中,求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积.答案易错疑难集训（二

32、）集训（二）1.2019山东聊城高一期末考试如图所示(单位:cm),直角梯形ABCD的左上角剪去四分之一圆,求剩下的阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成的几何体的表面积.易错点求几何体的表面积时考虑不全答案2.如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正三角形ABC绕AD所在直线旋转180,求阴影部分形成的几何体的表面积.易错点求几何体的表面积时考虑不全答案【练后反思】几何体的表面积是各个面的面积之和,因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱体、锥体、台体、球体的表面积公式,而应先分析该几何体由几部分组成,几何体各个面间有

33、无重叠,再结合相应几何体选择公式求解.1.2019宁夏石嘴山市三中高一月考我国古代数学专著九章算术中有这样一个问题:“今有木长二丈,围之三尺.葛生其下,缠木七周,上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈,圆周长为3尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木7周,顶部刚好与圆木平齐,问葛藤长为多少?”若1丈=10尺,则葛藤最少长 ()A.29尺B.24尺C.26尺D.30尺疑难点1空间几何体展开图的应用答案2.如图,在正三棱锥P-ABC中,APB=30,侧棱长为a,E,F分别是PB,PC上的点,求AEF周长的最小值.疑难点1空间几何体展开图的应用答案【练后反思】研究空间几何体表面上两点之间的

34、最短路线问题时,常常要借助几何体的侧面展开图,将空间问题转化为平面问题来解决.3.如图,圆台上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线长为20 cm,从母线AB的中点M拉一条细绳,围绕圆台侧面转至下底面的点B,求B,M间细绳的最短长度.疑难点1空间几何体展开图的应用答案4.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是多少?疑难点2割补法求几何体的体积答案5.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积分别为V1,V2的两部分,那么V1V2等于多少?疑难点2割补法

35、求几何体的体积疑难点2割补法求几何体的体积答案【练后反思】当所给几何体的体积不容易计算时,可根据几何体的结构特征将其分解成多个体积易求的几何体,或者补成体积易求的几何体,这种解法就是割补法,割补法求体积体现了转化与化归思想的应用.疑难点3等体积法求棱锥的体积答案7.如图,已知E,F分别是三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1和CC1上的点,且B1E=CF,三棱柱ABC-A1B1C1的体积为m,求四棱锥A-BEFC的体积. 疑难点3等体积法求棱锥的体积疑难点3等体积法求棱锥的体积答案疑难点3等体积法求棱锥的体积答案疑难点4有关球的计算问题答案9.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧

36、棱的中点,下底面圆心为此三棱锥底面中心O,若三棱锥P- ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍,则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为 ()A.74B.21C.31D.53疑难点4有关球的计算问题答案10.2020福建福州高三(上)期末质量检测端午节吃粽子是我国的传统习俗,粽子又称粽籺,古称角黍.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为;若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为.疑难点4有关球的计算问题答案疑难点4有关球的计算问题疑难点4有关球的计算问题答案课时1平面第四节空间点、直线、平面之间的位置关系

37、1.若点A在直线a上,直线a在平面内,点B在平面内,则可以用符号表示为 ()A.Aa,a,BB.Aa,a,BC.Aa,a,BD.Aa,a,B知识点1点、直线、平面之间位置关系的表示答案1.B【解析】点A在直线a上,直线a在平面内,点B在平面内,用符号表示为Aa,a,B.2.下图中正确表示两个相交平面的是 ()知识点1点、直线、平面之间位置关系的表示答案2.D【解析】A中没有画出相交平面的交线,且不可见的线没有画成虚线;B中不可见的线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画;D中交线及实、虚线均正确.故选D.3.按下列叙述画出图形(不必写出画法):=m,a,b,am=N,Mm,bm.知识点1点、

38、直线、平面之间位置关系的表示答案3.【解析】4.2020江西宜春昌黎实验学校高一(上)月考空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是 ()A. 1B. 2C. 3D. 1或3知识点 2 基本事实13及其推论的应用答案4.D【解析】当三条直线相交于同一点时,若三条直线不共面,如长方体中共顶点的三条棱所在的三条直线,则确定3个平面;若三条直线共面,则确定1个平面.当三条直线两两相交于三个不同的点时,根据不共线的三点确定1个平面,可知确定1个平面.故选D.5.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是其所在棱的中点,则这四个点不共面的图形是 ()知识点 2 基本事实13及其推论的应用答案5.D【解析

39、】在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PSQR,即在此三个图形中,P,Q,R,S共面,故选D.6.已知A,B,C,D四点和直线l,且Al,Bl,Cl,Dl,求证:直线AD,BD,CD共面.知识点 2 基本事实13及其推论的应用答案6.【证明】因为Dl,所以直线l与点D可以确定平面,如图所示,因为Al,所以A,又D,所以AD.同理可证BD,CD,所以AD,BD,CD在同一平面内,即直线AD,BD,CD共面.7.如图所示,ABCD,AB=B,CD=D,AC=E.求证:B,E,D三点共线.知识点 2 基本事实13及其推论的应用答案7.【证明】ABCD,AB,CD共面.设AB,C

40、D,AC.又EAC,E.由AB=B,CD=D,AC=E,可知B,E,D为平面与平面的公共点,所以B,E,D三点共线.8.2019安徽安庆一中高一检测已知三个不重合的平面,三条不同的直线a,b,c,若=c,=a,=b,且a和b不平行.求证:a,b,c三条直线必过同一点.知识点 2 基本事实13及其推论的应用答案8.【证明】=b,=a,a,b.又直线a和直线b不平行,a,b必相交.设ab=P,如图,则Pa,Pb.a,b,P,P.又=c,Pc,即直线c经过点P.a,b,c三条直线必过同一点.1.(多选)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是 ()A.Al,A,Bl

41、,BlB.A,A,B,B=ABC.l,AlAD.A,Al,ll=A答案1.ABD【解析】显然A,B,D正确.C中l分两种情况:l与相交或l.当l与相交时,若交点为A,则A,C错误.故选ABD.2.设P1,P2,P3,P4为空间中的四个不同点,则“P1,P2,P3,P4中有三点在同一条直线上”是“P1,P2,P3,P4在同一个平面内”的 ()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件答案2.A【解析】由过一条直线和直线外一点有且只有一个平面,可得P1,P2,P3,P4在同一个平面内,故充分条件成立.由过两条平行直线有且只有一个平面可得,当P1l1,P2l1,P3l2

42、、P4l2,l1l2时,P1,P2,P3,P4在同一个平面内,但P1, P2,P3,P4中无三点共线,故必要条件不成立.故选A.3.如图,在底面是平行四边形的四棱锥S-ABCD中,O为AC,BD的交点,P,Q分别为SAD,SBC的重心.求证:S,P,O,Q四点共面.答案3.【证明】如图,连接SP,SQ并延长,分别交AD,BC于点M,N,连接MN.因为P,Q分别为SAD,SBC的重心,所以M,N分别为AD,BC的中点,所以OMN.由棱锥的性质,知点S,M,N不共线,所以确定一个平面SMN,所以MN平面SMN,所以O平面SMN.又PSM,QSN,SM平面SMN,SN平面SMN,所以P平面SMN,Q

43、平面SMN,所以S,P,O,Q四点共面.【名师点睛】证明空间中的点(或直线)共面问题,通常采用以下两种方法:根据已知条件先确定一个平面,再证明其他点(或直线)也在这个平面内;分别过某些点(或直线)作两个平面,证明这两个平面重合.4.2019广东执信中学高一月考如图所示的几何体中,ABA1B1,ACA1C1,BCB1C1,且ABA1B1,ACA1C1,BCB1C1.求证:直线A1A,B1B,C1C相交于同一点.答案4.【证明】ABA1B1,ABA1B1,直线A1A,B1B在同一个平面内,并且它们相交,设A1AB1B=D.ACA1C1,AC与A1C1确定一个平面AA1C1C,A1A平面AA1C1C

44、,D平面AA1C1C.同理D平面BB1C1C.又平面AA1C1C平面BB1C1C=C1C,DC1C.由,可知A1A,B1B,C1C三线共点,即直线A1A,B1B,C1C相交于同一点.5.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K.(1)求证:直线MN平面PQR;(2)求证:点K在直线MN上.答案5.【证明】(1)PQ平面PQR,M直线PQ,M平面PQR.RQ平面PQR,N直线RQ,N平面PQR.直线MN平面PQR.(2)M直线CB,CB平面BCD,M平面BCD.由(1),知M平面PQR,M在平面PQR与平面BCD的

45、交线上,同理可知N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上,M,N,K三点共线,点K在直线MN上.6.已知a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线,求证:a,b,c,d共面.答案6.【证明】(1)无三线共点的情况,如图.设ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因为ad=M,所以a,d可确定一个平面,设为.因为Nd,Qa,所以N,Q.所以NQ,即b.同理c,所以a,b,c,d共面.(2)有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,它们与a分别交于点N,P,M,且Ka.因为Ka,所以K和a可确定一个平面,设为.因为Na,a,所以N,所以NK,即b.同理c,d,所以a,

46、b,c,d共面.由(1)(2)知a,b,c,d共面.课时2空间点、直线、平面之间的位置关系第四节空间点、直线、平面之间的位置关系1.2019江苏盐城期末考试已知平面平面,直线m,直线n,则直线m,n的位置关系为 ()A.平行或相交B.相交或异面C.平行或异面D.平行、相交或异面知识点 1空间中直线与直线的位置关系答案1.C【解析】因为平面平面,直线m,直线n,所以直线m,n没有公共点,所以两条直线平行或异面.故选C.2.2020四川成都七中高一(下)月考已知异面直线a,b分别在平面, 内,且=c,那么直线c一定 ()A.与a, b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a, b中的一条相交

47、D.与a, b都平行知识点 1空间中直线与直线的位置关系答案2.C【解析】因为异面直线a,b分别在平面,内,且=c,所以直线c与a,b可能都相交,也可能只与其中一条相交.若c与a,b都不相交,则ac,bc, 此时ab,与a,b是异面直线相矛盾,所以直线c至少与a,b中的一条相交.故选C.3.已知A,B,C,D是空间内四点,命题甲:A,B,C,D四点不共面,命题乙:直线AC和BD不相交,则甲是乙的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件知识点 1空间中直线与直线的位置关系答案3.A【解析】若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相

48、交;若直线AC和BD不相交,当直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙的充分不必要条件.4.设a为空间中的一条直线,记直线a与正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面相交的平面个数为m,则m的所有可能取值构成的集合为 ()A.2,4B.2,6C.4,6D.2,4,6知识点2空间中直线与平面的位置关系答案4.D【解析】体对角线所在的直线与正方体的6个面都相交,面对角线所在的直线与正方体的4个面相交,而棱所在的直线与正方体的2个面相交,故选D.5.2020陕西镇安中学月考下列说法:若直线l平行于平面内的无数条直线,则l;若直线a在平面外,则a;若直线a直线b,b平面,则a;若直线a

49、直线b,b平面,那么直线a平行于平面内的无数条直线.其中正确的个数为 ()A.1B.2C.3D.4知识点2空间中直线与平面的位置关系答案5.A【解析】对于,l有可能在平面内,l不一定平行于,错误;对于,若直线a在平面外,则a或a与相交,a和不一定平行,错误;对于,a可能在平面内,a不一定平行于,错误;对于,ab,b,a或a, a与平面内的无数条直线平行,正确.6.下列命题中正确的是(填序号).若直线l与平面相交,则l与平面内的任意直线都是异面直线;若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条一定与该平面相交;若直线l与平面平行,则l与平面内的直线平行或异面.知识点2空间中直线与平面的位置关系

50、答案6.【解析】若直线l与平面相交,则l与平面内过交点的直线不是异面直线,故不正确;若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条可能与该平面平行或相交或在平面内,故不正确;若直线l与平面平行,则l与平面无公共点,所以l与平面内的直线也无公共点,即平行或异面,故正确.7.已知平面 平面,若P,Q是,之间的两个点,则 ()A.过P,Q的平面一定与,都相交B.过P,Q有且仅有一个平面与,都平行C.过P,Q的平面不一定与,都平行D.过P,Q可作无数个平面与,都平行知识点3 空间中平面与平面的位置关系答案7.C【解析】当过P,Q的直线与,相交时,过P,Q的平面一定与平面,都相交,排除B,D;当过P,Q

51、的直线与,都平行时,可以作唯一的一个平面与,都平行,排除A,故选C.8.(多选)2019江西南昌外国语学校期中考试如图,=l,A,B,c,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过 ()A.点AB.点BC.点CD.点M知识点3 空间中平面与平面的位置关系答案8.CD【解析】直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,=MC,与的交线必通过点C和点M,故选CD.9.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有个.知识点3 空间中平面与平面的位置关系答案9.46【解析】六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧

52、面平行,故共有4组互相平行的面;六棱柱共由8个面围成,与其中某个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均相交.1.2019湖南长沙市一中高一(下)期中考试已知,为不同的平面,a,b,c为不同的直线,则下列说法正确的是 ()A.若a,b,则a与b是异面直线B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面C.若a,b不同在平面内,则a与b异面D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面答案1.D【解析】若a,b,则a与b可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;若a与b异面,b与c异面,则a与c可能平行,可能相交,也可能异面,故B错误;若a,b不同在平面内,则a与b可能平行,可能相交,也可能异面,故C

53、错误;由异面直线的定义,知D正确.2.平面外的一条直线a与平面内的一条直线b不平行,则 ()A.a一定不平行于B.aC.a与b一定是异面直线D.内可能有无数条直线与a平行答案2.D【解析】由题意,知若a,b,则a与b异面;若a与不平行,b,则a与b相交或异面,由此可知A,B,C均不正确,故选D.3.若直线l上有2个点在平面外,则 ()A.直线l上至少有1个点在平面内B.直线l上有无数个点在平面内C.直线l上所有点都在平面外D.直线l上至多有1个点在平面内答案3.D【解析】由于直线l上有2个点在平面外,则直线l在平面外,即直线l与平面相交,或直线l与平面平行,所以直线l上至多有1个点在平面内.故

54、选D.4.2019河南郑州一中高一(上)周练空间三个平面能把空间分成 ()A.4部分或6部分B.7部分或8部分C.5部分或6部分或7部分D.4部分或6部分或7部分或8部分答案4.D【解析】若三个平面两两平行,则把空间分成4部分,如图1;若三个平面两两相交,且只有一条交线,则把空间分成6部分,如图2;若三个平面两两相交,有三条交线,且三条交线不交于一点,则把空间分成7部分,如图3;若三个平面两两相交,有三条交线,且三条交线相交于一点,则把空间分成8部分,如图4.故选D.5.已知异面直线a,b外的一点M,那么过点M可以作个平面与直线a,b都平行.答案5.0或1【解析】过点M分别作直线a,b的平行线

55、,若其中一条平行线与已知直线a或b相交,则满足题意的平面不存在,否则过点M的两条相交直线确定的平面与a,b都平行,故可以作0或1个满足题意的平面.6.2019辽宁沈阳高一月考已知下列说法:若直线a平面,直线b平面,与相交,则a,b相交;若平面平面=直线l,直线a平面,直线b平面,且ab=点P,则Pl;若平面平面,直线a平面,直线b平面,则a与b平行或异面;若平面平面=直线b,直线a平面,则a与一定相交.其中正确的说法是(填序号).答案6.【解析】易知正确.对于,a,b也可能平行或异面,故不正确;对于,a与也可能平行,故不正确.7.如图,点P在平面ABC外,点F在BC的延长线上,E在线段PA上,

56、则直线AB,BC,AC,EF,AP,BP中有对异面直线.答案7.5【解析】异面直线有5对,分别是AB与EF,BC与AP,AC与BP,AC与EF,EF与BP.8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.答案8.【证明】在矩形AA1B1B中,E为A1B1的中点,AA1与BE不平行,则AA1,BE的延长线相交于一点,设此点为G,GAA1,GBE.又AA1平面ACC1A1,BE平面BEF,G平面ACC1A1,G平面BEF,平面ACC1A1与平面BEF相交.【名师点睛】判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑:平面与平面有无公

57、共点,如果没有公共点,则两平面平行;如果可以找到一个公共点,则两平面相交.易错疑难集训（三）集训（三）1.某正方体的平面展开图如图,则在这个正方体中,有以下四个结论,其中正确结论的序号是 ()BM与ED平行;CN与BE是异面直线;CN与BM成60角;DM与BN是异面直线.A.B.C.D.易错点对异面直线认识不清答案1.C【解析】把该正方体的平面展开图还原成如图所示的正方体ABCD-EFMN.BM与ED是异面直线,故错误;CN与BE是平行直线,故错误;连接AN,AC,BMAN,ANC是CN与BM所成的角.ANC是等边三角形,ANC= 60,CN与BM成60角,故正确; DM与BN是异面直线,故正

58、确.故选C.2.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F是棱AD上异于A,D的不同两点,G,H是棱BC上异于B,C的不同两点,给出下列说法:AB与CD为异面直线;FH与CD,DB均为异面直线;EG与FH为异面直线;EG与AB为异面直线.其中正确的说法是(填序号).易错点对异面直线认识不清答案2.【解析】因为直线CD平面BCD,直线AB平面BCD,点B直线DC,所以AB与CD为异面直线,正确;同理,正确.【方法点拨】判断两条直线是否为异面直线的方法:第一,不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线;第二,若一条直线与一个平面相交于一点,那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线.1.如图所示

59、,在四边形ABCD中,已知ABCD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点共线.疑难点 证明共线、共点或共面问题答案1.【证明】因为ABCD,所以AB,CD可确定一个平面.又AB=E,AB,所以E,E,即E为平面与的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面与的公共点.若两个平面有公共点,则它们有且只有一条通过该公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点共线.2.如图,在三棱锥A-BCD中,G,H分别为ABC与ACD的重心,E,F分别为BC,CD的中点.求证:EH,FG,GH三线共面.疑难点 证明共线、共点或共面问题答案2.【证明】连接AE,AF.由三棱

60、锥的性质,知A,E,F三点不共线,则A,E,F确定一个平面.所以A平面,E平面,F平面,AE平面,AF平面.根据三角形重心的性质,知GAE,HAF,所以G平面,H平面,所以EH平面,FG平面,GH平面,所以EH,FG,GH三线共面.3.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为A1A的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.疑难点 证明共线、共点或共面问题答案疑难点 证明共线、共点或共面问题答案【练后反思】解决点共线问题的主要依据是公理3.证明三线共点的思路:先证明其中两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这个点,把问题转化为证