高等流体力学课件-高等流体力学-2

1、1第三章 流体力学的几个重要定理1第三章 流体力学的几个重要定理2在我关机的一周里每天有多少时间是用于翻阅手机一寸光阴一寸金2在我关机的一周里每天有多少时间是用于翻阅手机3沿物质周线的速度环量的随体导数3.1 开尓文定理 设由确定的流体质点组成的封闭物质线C(t)，其位置和形状随流动而变化。Stokes定理3沿物质周线的速度环量的随体导数3.1 开尓文定理 设由确定445沿一条确定的由流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等于该周线上的加速度的环量。以上结论是纯运动学性质的，因此对任何流体都成立。为单值函数，沿物质周线的速度环量的随体导数5沿一条确定的由流体质点组成的物质周线的速度环量的随

2、体导数等6因为：6因为：7欧拉方程理想流体,设质量力有势且为单值函数,7欧拉方程理想流体,设质量力有势且为单值函数,8 式中d 表示对空间的全微分。场论公式8 式中d 表示对空间的全微分。场论公式9正压流体因为 是任选的，所以对正压流体流场中任一点有, 流体作等熵流动，等温流动，不可压缩均质流体均可视为正压流体。等密度面和等压强面是重合的9正压流体因为 是任选的，所以对正压流体流场中任一点有10设理想、正压流体, 质量力有势且为单值函数,开尓文定理10设理想、正压流体, 质量力有势且为单值函数,开尓文定理11设在封闭的物质线 C(t) 上张一曲面 A(t),则由 Stokes 定理,对于正压,

3、体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的物质周线上的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒。开尓文定理11设在封闭的物质线 C(t) 上张一曲面 A(t),则由 12粘性，斜压与外力无势是引起速度环量和涡通量发生变化的三大因素.开尔文定理成立的三个条件：正压 , 理想流体 , 质量力有势；放松其中任一条件, 开尔文定理不成立。开尓文定理12粘性，斜压与外力无势是引起速度环量和涡通量发生变化的三大13当流体正压 , 理想流体 , 质量力有势，即生成环量的所有扭矩为零，则开尔文定理可给出流体流动很漂亮的几何描述，即亥姆霍兹定律涡线无始无终，并生成封闭环，即涡管，涡管的速度环量沿涡管长度

4、方向不变，为常数，即亥姆霍兹第一定律亥姆霍兹定律13当流体正压 , 理想流体 , 质量力有势，即生成环量14若流体理想,正压,且外力有势,如果初始时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后任一时刻这部分流体皆无旋；反之,若初始时刻该部分流体有旋,则以前或以后的任何时刻这部分流体皆为有旋。涡旋不生不灭定理14若流体理想,正压,且外力有势,如果初始时刻在某部分流体内15取 C(t) 是涡管横截面 A(t) 上并围绕涡管一周的封闭物质周线，则在某一瞬时 ，涡管在随流体运动过程中通过其任一横截面的涡通量, 即涡管强度, 不随时间改变。 涡管强度保持定理（亥姆霍兹第二定律）在运动过程中, 涡管会发生变形：当涡

5、管被拉伸时, 涡量增大, 涡管被压缩时, 涡量减小, 以保持通过横截面的总的涡通量不变。15取 C(t) 是涡管横截面 A(t) 上并围绕涡管一周的16涡量场的散度为 0, , 由此得出在每一瞬时通过同一涡管任意截面的涡通量处处相等, 即涡管强度在空间上守恒, 以上结论对任意流体都是正确的。当满足开尔文定理成立条件时, 涡管强度不但具有空间上的守恒性, 而且具有时间上的守恒性。 涡管强度保持定理16涡量场的散度为 0, 17均匀来流定常不脱体绕流(2) 物体从静止状态开始运动满足理想、正压、质量力有势；第 1 种情况下, 流体质点来自无穷远处，无穷远处无旋, 所以整个流场无旋；第 2 种情况下

6、, 初始时刻, 静止状态的流体无旋, 所以任意时刻流体无旋。理想不可压缩流体在重力场作用下的流动17均匀来流定常不脱体绕流(2) 物体从静止状态开始运动满足18理想流体， 3.2 伯努利方程兰姆葛罗米柯方程18理想流体， 3.2 伯努利方程兰姆葛罗米柯方程19设外力有势，正压流体，兰姆葛罗米柯方程19设外力有势，正压流体，兰姆葛罗米柯方程20伯努利方程，或伯努利积分；C 称伯努利常数，C 沿同一条流线为常数；沿流线取线元 ，沿流线的伯努利方程伯努利方程成立条件：理想流体,外力有势，正压流体，定常流动,沿流线。定常流动20伯努利方程，或伯努利积分；C 称伯努利常数，C 沿同一条21沿流线的伯努利

7、方程不可压缩流体，定常流动，定常沿流线 为常数。定常流动时迹线与流线重合，流体质点沿流线运动，因此沿流线 为常数。质量力只有重力，Z 轴铅垂向上，于是，成立条件：理想流体不可压缩流体,重力加速度沿 Z 轴负方向，定常流动,沿流线。21沿流线的伯努利方程不可压缩流体，定常流动，定常沿流线 22常数 (沿流线)单位质量流体沿流线的水头形式 伯努利方程的水力学意义测压管水头速度水头z 位置水头压强水头H总水头22常数 (沿流线)单位质量流体沿流线的水头形式 伯努利方23常数 (沿流线)由上式可解释两船在行驶时,如果靠的太近就会相互碰撞高速公路上行驶的两列汽车,小车不能太靠近大车23常数 (沿流线)由

8、上式可解释两船在行驶时,如果靠的太近24伯努利方程的条件虽然苛刻，但揭示的规律可应用于实际流动中去，例如解释河道流动规律，虹吸管原理（连通管原理）及机翼升力产生原因等。伯努利方程是物理学能量守恒和转换定律在流体运动中的表现形式之一。24伯努利方程的条件虽然苛刻，但揭示的规律可应用于实际流动中25平行于 ，即沿流线方向，等式两边同时点乘 ，非定常流动质量力只有重力且重力加速度沿负 z 轴方向，流体密度为常数，成立条件：理想流体，流体密度为常数,重力加速度沿 Z 轴负方向，沿流线。沿流线的伯努利方程很难计算，只是在某些特定条件下求解25平行于 ，即沿流线方向，等式两边同时点乘 ，26势流伯努利方程

9、，柯西拉格朗日积分。 f (t) 是时间的函数，在同一瞬时全流场处处相等。无旋流动（势流）势流伯努利方程 成立条件：理想流体,外力有势，正压流体，无旋流动。26势流伯努利方程，柯西拉格朗日积分。无旋流动（势流）势流27上式中 f 在全流场为常数, 且不随时间变化；在伯努利积分中的 C 只是沿同一条流线为常数定常流动势流伯努利方程 27上式中 f 在全流场为常数, 且不随时间变化；在伯努利积28伯努利方程应用 28伯努利方程应用 29伯努利方程应用 29伯努利方程应用 30伯努利方程应用 30伯努利方程应用 31伯努利方程应用 31伯努利方程应用 32伯努利方程应用 32伯努利方程应用 33解：

10、液体是不可压缩的，故液体在同一瞬时的速度 沿U形管处处相等，只是时间的函数，且等于,例1 液体在两头开口的等横截面 U 形管中振荡，液柱长 L，液面上方为大气压强 , 忽略粘性摩擦力和表面张力。求液柱运动规律。 是液面至平衡位置的距离。非定常流沿流线的伯努利方程，（速度正向从1指向2）12因为，33解：液体是不可压缩的，故液体在同一瞬时的速度 34初始条件：振动周期：速度：求方程的解，34初始条件：振动周期：速度：求方程的解，35设= const.,= const.，质量力有势，N-S 方程可写为，对上式两边取旋度,3.4 涡量方程涡量方程35设= const.,= const.，质量力有势，

11、N36涡量方程粘性项影响：粘性对涡量变化的影响主要是粘性扩散，而运动粘性系数在这里相当于扩散系数。在粘性流体中，由于粘性的作用，涡量强的地方将向涡量弱的地方输运涡量，正像热量由温度高的地方向温度低的地方传播和扩散一样，扩散的作用是抹平差距，直至全流场涡量强度相等为止 涡量的随体导数 涡量方程的物理意义第一节：粘性，斜压与外力无势是引起速度环量和涡通量发生变化的三大因素.36涡量方程粘性项影响：粘性对涡量变化的影响主要是粘性扩散，37使涡线拉伸或压缩，或而使涡线扭曲，结果都会导致涡量的变化。涡线的拉伸和扭曲涡量方程涡量方程的物理意义37使涡线拉伸或压缩，或而使涡线扭曲，结果都会导致涡量的变化38花样滑冰运动员就是利用减小惯性距来增大旋转。38花样滑冰运动员就是利用减小惯性距来增大旋转。39以上涡量方程中没有压强 p 出现，于是可在压强场未知情况下求解速度场和涡量场。涡量方程理想流体39以上涡量方程中没有压强 p 出现，于是可在压强场未知情况40已知涡量场求解压强场练习题 3.1 (p.84)，40已知