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文档简介

1、7.2.2 单元矩阵的变换 概述 在有限元分析中，为建立求解方程，需要进行各个单元体积内和面积内的积分，它们的一般形式可表示为而G和g中还常包含着场函数对于总体坐标x，y，z的导数。 由于在现在的情况下，场函数是用自然坐标表述的，又因为在自然坐标内的积分限是规格化的，因此我们希望能在自然坐标内并按规格化的数值积分方法进行上述积分。为此需要建立两个坐标系内导数、体积微元、面积微元之间的变换关系。 具体分为以下三种情况： 1. 导数之间的变换； 2. 体积微元、面积微元的变换； 3. 面积（或体积）坐标与笛卡尔坐标之间的变换。 导数之间的变换 按照通常的偏微分规则，函数 对 的偏导数可表示成： 对

2、于其它两个坐标 ，可写出类似的表达式，将它们集合成矩 阵形式，则有 上式中 称为Jacobi矩阵，可记作 ，利用7.2.2式， 可以显式地表示为自然坐标的函数 这样一来， 对于x，y，z的偏导数可用自然坐标显式地表示为其中 的逆矩阵，它可按下式计算得到 的行列式，称为Jacobi先烈式， 的伴随矩阵，它的元素 的元素 的代数余子式。 体积微元、面积微元的变换从图7.2可以看到 在笛卡尔坐标系内所形成的体积微元是设：定义 的混合积，且有其几何意思是以 为棱的平行立面体的体积，另外： 而 其中i，j，k是笛卡尔坐标x，y，z方向的单位向量。将7.2.10式代入7.2.9式，得到关于面积微元，例如在

3、 常数(c)的面上其它面上的 可以通过轮换 而得到。 称 矢量积， 的方向按右手法则确定。向量积的模 表示向量 为边所构成的平行四边形的面积。 在有了以上几种坐标变换的关系式以后，积分7.2.3和7.2.4式最终可以变换到自然坐标系的规则化域内进行，它们可分别表示成 其中对于二维情况，以上各式将相应蜕化，这里Jacobi矩阵是二个坐标之间的偏导数关系是 在笛卡尔坐标内形成的面积微元是 的曲线上， 在笛卡尔坐标内的线段微元长度是 面积（或体积）坐标与笛卡尔坐标 之间的变换 以上关于 等的公式原则上对于任何坐标和笛卡尔坐标之间的变换都是适用的，但是当自然坐标是面积或体积坐标时要注意两点： (1).面积或体积坐标都不是完全独立的，分别存在关系式； (2). 7.2.13，7.2.14等式的积分限应根据体积坐标和面积坐标特点，作必要的改变，这样一来，上述各式将成为。 (1).面积或体积坐标都不是完全独立的，分别存在关系式： 因此可以重新定义新的自然坐标，例如对于三维情况，可令 这样一来，7.2.5-7.2.12式形式上都保持不变， 也仍保持它的原来形式，只是它对 的导数应作如下替换 对于二维情况，则因为可令所以 (2). 7.2.13，7.2.14等式的积分限应根据体积坐标和面积坐标特点，作必要的改变，这样一来，上述各式将成为： 7.2.24式用于 的表面，类似

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