福建省厦门市思明区湖滨中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题含解析

1、外装外装订线请不要在装订线内答题内装订线PAGE PAGE 19福建省厦门市思明区湖滨中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（共8题；共40分）1.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1+i)=1 ，则 z 的共轭复数 z=A.12+12iB.12122.已知向量 a=(2,1,2) ， A(1,x,1) ， B(1,1,1) ，若 aABA.-5B.0C.-1D.53.如图所示，已知 ABCDA1B1C1D1 是平行六面体.设 ACBD=M ，N 是 A.x=12,y=14,z=344.函数yxlnx在(0，5)上是() A.单调增函数B.在 (0,1e)

2、 上单调递增，在 (1e，5) 上单调递减C.单调减函数D.在 5.已知 R 上可导函数 f(x) 的图象如图，则不等式 fA.(2,0)(2,+)B.(,2)(2,+)C.(2,1)(1,2)D.(,1)(1,+)6.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD ， 且AB=BC=CD ， 则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ） A.12B.- 12C.2D.37.若 f(x)=x3+aA.32 或 12B.32 或 12C.8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数

3、学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征如函数 f(x)=xA.B.C.D.二、多选题（共4题；共20分）9.下列导数运算正确的有（ ） A.(1x)=1x2B.(xe10.函数 y=f(x) 的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A.(1,3) 为函数 y=f(x) 的单调递增区间B.(3,5) 为函数 y=f(x) 的单调递减区间C.函数 y=f(x) 在 x=5 处取得极小值D.函数 y=f(x) 在 x=0 处取得极大值11.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A.i+B.复数 z=3i 的虚部为 iC.若 z=(1

4、+2i)2 ，则复平面内 D.已知复数z满足 |z1|=|z+1| ，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线 12.已知空间四点 O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,1),C(3,2,1) ，则下列说法正确的是（ ） A.OAOB=2B.cos=25三、填空题（共4题；共20分）13.若 A(1,1,4) ， B(1,2,3) ， C(3,0,3) ， D 为 BC 的中点， |AD|= _. 14.函数 f(x)=alnxx 的图象在 x=1 处的切线方程为 y=x2 ，则 15.定义在 R 上的连续函数 f(x) 满足 f(1)=2 ，且 f(x) 在 R 上的导函数 f(x)1

5、，则不等式 f(x)0 的解集为 故答案为：D 【分析】由图可知 f(x) 在 (,1),(1,+) 上单调递增，再利用求导判断函数的单调性的方法，从而求出不等式 f6.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD ， 且AB=BC=CD ， 则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ） A.12B.- 12C.2D.3【答案】 A 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：如图所示， 分别取 AB ， AD ， BC ， BD 的中点 E ， F ， G ， O ，则 EF/BD ， EG/AC ， FOOG ，FEG 或

6、其补角为异面直线 AC 与 BD 所成角设 AB=2a ，则 EG=EF=2a ， FEG=60 ， 异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 12故答案为：A 【分析】分别取 AB ， AD ， BC ， BD 的中点 E ， F ， G ， O ，则 EF/BD ， EG/AC ， FOOG ，所以FEG 或其补角为异面直线 AC 与 BD 所成角，设 AB=2a ，则 EG=EF=2a ，再利用勾股定理求出 FG=2a ，从而结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，再利用等边三角形的性质，从而得出FEG=60 ，进而求出异面直线 7.若 f(x)=x3+aA.32 或 12B.3

7、2 或 12C.【答案】 C 【考点】函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】 f(x)=x3+a又 f(x)=x f(1)=3+2a+b=0 ， f(1)=1+a+ba a2 a=2,b=1 或 a=6,b=9 当 a=2,b=1 时， f(x)=3x当 13 x1时， f(x)0f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当 a=6,b=9 时， f(x)=3x当x1时， f(x)0 ，当x3时， f(x)1时，2+cosx1,3，(2+cosx)x1，sinx-1,1，则f(x)0恒成立， 当x0,2时，sinx0，cosx0，x0，则f(x)0恒成立， 因为0,

8、10,2 ， 所以f(x)0在（0,1）恒成立，二、多选题（共4题；共20分）9.下列导数运算正确的有（ ） A.(1x)=1x2B.(xe【答案】 B,C 【考点】导数的乘法与除法法则，简单复合函数的导数 【解析】【解答】对于A， (1对于B， (xe对于C， (e对于D， (ln故答案为：BC. 【分析】利用导数的运算法则结合复合函数导数的求解方法，从而选出导数运算正确的选项。10.函数 y=f(x) 的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A.(1,3) 为函数 y=f(x) 的单调递增区间B.(3,5) 为函数 y=f(x) 的单调递减区间C.函数 y=f(x) 在 x=5

9、处取得极小值D.函数 y=f(x) 在 x=0 处取得极大值【答案】 D 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】由题意，函数 y=f(x) 的导函数的图象可知： 当 x1 时， f(x)0 ，函数 当 1x0 ，函数 当 3x5 时， f(x)5 时， f(x)0 ，函数 所以函数 f(x) 单调递减区间为 (,1),(3,5) ，单调递增区间为 (1,3),(5,+) ，且函数 f(x) 在 x=1 和 x=5 取得极小值，在 x=3 取得极大值。故答案为：D 【分析】利用函数 y=f(x) 的导函数的图象结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数 f(

10、x) 单调递减区间为 (,1),(3,5) ，单调递增区间为 (1,3),(5,+) ，再利用函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而得出函数 f(x) 在 x=1 和 x=5 取得极小值，在 x=3 取得极大值，从而选出说法错误的选项。11.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A.i+B.复数 z=3i 的虚部为 iC.若 z=(1+2i)2 ，则复平面内 D.已知复数z满足 |z1|=|z+1| ，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】 A,D 【考点】虚数单位i及其性质，复数代数形式的乘除运算，复数求模 【解析】【解答】A选项， i+iB选项， z 的虚部为 1 ，B选

11、项错误.C选项， z=1+4i+4i2=3+4i,D选项， |z1|=|z+1|=|z(1)| 表示 z 到 A(1,0) 和 B(1,0) 两点的距离相等，故 z 的轨迹是线段 AB 的垂直平分线，D选项正确.故答案为：AD 【分析】 利用虚数单位i的运算性质判断A；根据复数定义判断B；利用复数代数形式的乘除运算化简z进一步求得 z的坐标判断C；由复数模的几何意义判断D12.已知空间四点 O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,1),C(3,2,1) ，则下列说法正确的是（ ） A.OAOB=2B.cos=2【答案】 A,B,C 【考点】数量积的坐标表达式，数量积表示两个向量的夹角，

12、点到直线的距离公式，共线向量与共面向量 【解析】【解答】 OA=(0,1,2),OAcosBC=(1,2,2) ， OBBC=21+02+(1)2=0 ，所以 OBBC ， OC=(3,2,1)假设若O，A，B，C四点共面，则 OA,OB,则 2y=3故答案为：ABC 【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示求出数量积的值；再利用数量积求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而求出两向量的夹角；再利用数量积为0两向量垂直结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量的模的坐标表示求出点O到直线 BC 的距离；再利用假设法，若O，A，B，C四点共面则两向量共面，再结合平面

13、向量基本定理，进而推出方程无解，得出 O，A，B，C四点不共面，进而选出说法正确的选项。三、填空题（共4题；共20分）13.若 A(1,1,4) ， B(1,2,3) ， C(3,0,3) ， D 为 BC 的中点， |AD|= _. 【答案】10【考点】空间两点间的距离公式 【解析】【解答】因为 A(1,1,4) ， B(1,2,3) ， C(3,0,3) ， D 为 BC 的中点， 所以 D 的坐标为 D(1+32,22故答案为： 10。 【分析】利用已知条件结合中点坐标公式，从而求出中点D的坐标，再利用空间两点求距离公式，从而求出|AD|的长。14.函数 f(x)=alnxx 的图象在

14、x=1 处的切线方程为 y=x2 ，则 【答案】 2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】依题意 f(x)=ax1 ，由于函数 f(x)=alnxx 的图象在 x=1故答案为：2。 【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用函数 f(x)=alnxx 的图象在 x=1 处的切线方程为 15.定义在 R 上的连续函数 f(x) 满足 f(1)=2 ，且 f(x) 在 R 上的导函数 f(x)1 ，则不等式 f(x)x+1 的解集为_ 【答案】x|x1【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】设 (x)=f(x)x1 ，则 /(x)=f/(x)1x+1

15、等价于 f(x)x10 ，即 (x)(1) ，所以 x1【分析】本题主要考查函数的单调性以及导数的应用。主要是要构造函数，利用导数判断单调性进行求解。16.已知 f(x)=x2+lnx+mx1【答案】m3【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】 f(x)=2x+1x+m=即 2x2+mx+10 在 x(1,2)由对勾函数性质知 y=2x+1x 在 (1,2) 单调递增，所以 所以 m3 ，即 m3 。故答案为： m3 。 【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数 f(x)=x2+lnx+mx1 在区间 (1,2) 上为单调递增函数，得出 f(x)0 在 x(

16、1,2) 时恒成立，即 2x2+mx+10 在 四、解答题（共6题；共70分）17.已知向量 a 与 b 的夹角 =34 ，且 |a（1）求 ab ， （2）求 a 与 a+【答案】 （1）解：由已知，得 a|a（2）解：设 a 与 a+b 的夹角为 则 cos=因此， a 与 a+b 的夹角的余弦值为 【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出 ab 的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出 |a18.如图，四边形 ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD ，点 E,F 分别为 AD,PC 的中点，且 DC=1 ， P

17、C=2（1）证明： DF/ 平面 PBE（2）求二面角 APBC 的大小. 【答案】 （1）解：证明：取 PB 的中点为 G ，连接 EG,FG又 F 为 PC 的中点，所以 FG/BC ，且 因为 DE/BC ，且 所以 DE/FG ，且 故四边形 DEGF 为平行四边形，则 DF又 DF 平面 PBE ， EG 平面 PBE ，所以 DF/ 平面 PBE（2）因为 DC=1 ， PC=2 ， PD 平面 ABCD ，所以 而四边形 ABCD 为正方形，所以可如图建立空间直角坐标系 DxyzA(1,0,0) ， B(1,1,0) ， P(0,0,1) ， C(0,1,0)所以 PB=(1,1

18、,1) ， PA=(1,0,1)设平面 APB 的一个法向量为 m=(x,y,z) ，则 x+yz=0 xz=0同理可得平面 PBC 的一个法向量为 n所以 cos由图知二面角 APBC 为钝角，则大小为 120【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1） 取 PB 的中点为 G ，连接 EG,FG ， 又因为 F 为 PC 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以 FG/BC 且 FG=12BC所以 DE/FG 且 DE=FG ，故四边形 DEGF 为平行四边形，则 DF/EG ， 再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线DF/ 平面 PBE

19、。 （2） 因为 DC=1 ， PC=2 ， PD 平面 ABCD ，所以 PD=1 ， 而四边形 19.已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2（1）求 a 、 b 的值； （2）若 f(x) 有极大值 28 ，求 f(x) 在 3【答案】 （1）因 f(x)=ax3+bx+c 故 f(x)=3a故有 f(2)=0f(2)=c16 即 （2）知 f(x)=x312x+c ， f(x)=3x当 x(，2) 时， f当 x(2，2) 时， f当 x(2，+) 时， f由此可知 f(x) 在 x1=2 处取得极大值 f(x) 在 x2=2由题设条件知 16+c=28 得 c=12此时 f(

20、3)=9+c=21 ， f(3)=9+c=3 ， f(2)=c16=4因此 f(x) 上 3，因 f(x)=ax3+bx+c 故 f(x)=3a故有 f(2)=0f(2)=c16 即 知 f(x)=x312x+c ， f(x)=3x当 x(，2) 时， f当 x(2，2) 时， f当 x(2，+) 时， f由此可知 f(x) 在 x1=2 处取得极大值 f(x) 在 x2=2由题设条件知 16+c=28 得 c=12此时 f(3)=9+c=21 ， f(3)=9+c=3 ， f(2)=c16=4因此 f(x) 上 3，【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数

21、的极值，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，进而求出相应的极值，再利用已知条件函数 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2 处取得极值为 c16 ， 从而解方程组求出a,b的值。 （2)利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用已知条件函数 f(x)20.某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为 a 元，预计当每件产品的售价为 x 元 (3x8) 时，年销量为 (9x)2 万件.若每件产品的售价定为 6 元时，预计年利润为 27（1）试求每件产品的成本

22、 a 的值； （2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润 y （万元）最大，并求最大值 【答案】 （1）解：由题意可知，该产品的年利润为 y=(xa)(9x)2 ， 当 x=6 时， y=9(6a)=27 ，解得： a=3（2）解：由 y=(x3)(9x)2 ， 得： y由 y=0 ，得 x=5 或 当 x3,5) 时， y0 ，当 x(5,8 时， 所以当 x=5 时， ymax即每件产品的售价定为 5 元时，年利润 y 最大，最大值为 32 万元.【考点】二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，根据实际问题选择函数类型 【解析】【分析】 （1）根据题意可得 (6a)(96)2=27 ， 解得a；21.如图1，在边长为2的菱形 ABCD 中， BAD=60 ， DEAB 于点 E ，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE（1）求证： A1E 平面 （2）在线段 BD 上是否存在点 P ，使平面 A1EP 平面 A1【答案】 （1）证明：因为 DEAB 于点 E ， 所以 A1A1DBE ， EDBE ，且 BE 平面 A1BEAA1E 平面 （2）假设在线段 BD 上是否存在点 P ，使平面 A1EP 平面 根据（1）建立如图所示空间直角坐标系：则 B(1,0,0),D(0,3,0),A设 P(x,y,z),BP=BD(01) ，则 (x1,y,z)=(1,3,0) ，所以