高等数学方明亮极限运算

1、高等数学方明亮极限运算课件2022/9/81第1页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四一、数列极限的四则运算则有定理1 若注意： 定理1中的（1）、（2）可推广到有限个收敛数列的情形.例如，则有2022/9/82第2页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四解:原式例1（习题1-5 1（3）2022/9/83第3页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四二、函数极限的四则运算法则定理2 若（）（）（）（）说明: 定理 2中的（1）、（2）可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 ( C 为常数 )推论 2 ( n 为正整数 )2022/9/8

2、4第4页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四三、无穷小量的运算法则定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 思考：解答见课本第六节 例3说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !2022/9/85第5页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理4证: 设又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .2022/9/86第6页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四解: 利用定理4 可知说明 : y = 0 是的渐近线 .

3、例2 求（课本习题15 5（2）2022/9/87第7页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四例3 求解: 例4 解: 由例3得，2022/9/88第8页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四对于有理整函数（多项式） 我们指出， 或有理分式函数其中 都是多项式， 且 要求其当时的极限， 只要把 代入函中即可； 但对于有理分式函数， 如果代入 后，分母等 于零， 则没有意义， 不能通过直接代入的方法求极限 事实上， 设多项式 则2022/9/89第9页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四又设有理分式函数 其中 都是多项式， 于是， 如果 则

4、 如果 则不能直接用商的运算法则 ，那就需要特别考虑 2022/9/810第10页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四例5解: 当时， 括号内两式的分母均趋于0， 于是不能直接应用四则运算法则来计算。将函数变形得，所以，2022/9/811第11页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四解: 时,分子分子分母同除以则分母“ 抓大头”原式例6 求2022/9/812第12页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四解: 时,分子分子分母同除以则分母“ 抓大头”原式例7 求2022/9/813第13页，共23页，2022年，5月20日，21点26分

5、，星期四例8解: 由例7相同的方法得，而函数 与函数互为倒数， 所以，2022/9/814第14页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四为非负常数 )( 如课本 例6 )( 如课本 例7 )( 如课本 例8 )一般有如下结果：2022/9/815第15页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四四、复合函数的极限运算法则定理5 设且 x 满足时,又则有证（略） 说明: 若定理中则类似可得2022/9/816第16页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四解: 令已知例9 求 原式 =( 见课本 例4 )（补充题）2022/9/817第17页，共2

6、3页，2022年，5月20日，21点26分，星期四解: 方法 1则令 原式方法 2（补充题）例10 求2022/9/818第18页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四内容小结1. 极限运算法则(1) 数列和函数极限的四则运算法则(2) 无穷小运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th52022/9/819第19页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四课后练习习 题 1-5 1 单数题 3 4 5思考与练习1.是否存在 ? 为什么 ?答: 不存在 .否则由利用极限四则运算法则可知存在 ,与已知条件矛盾.问2022/9/820第20页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四解法 1 原式 =解法 2 令则原式 =2. 求2022/9/821第21页，共23页，2022年，5月20日，21点26分，星期四解 :令则故因此3. 试确定常数 a 使2022/9/822第22页，共2