微积分课件：D10-3三重积分

1、第三节一、三重积分的概念 二、三重积分的计算三重积分 第十章 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”解决方法:质量 M .密度函数为定义. 设存在,称为体积元素, 若对 V 作任意分割: 任意取点则称此极限为函数在V上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质: 例如 下列“乘(1)中值定理.在有界闭域 V上连续,则存在使得v为V 的体积, 积和式” 极限记作(3)有界闭域V上的 连续函数可积，有界闭域上的 分段连续有界函数必可积若积分区

2、域V关于坐标面xoy对称，则类似有V关于xoz,yoz面对称的 结论若积分区域V关于直线x=y=z对称，则二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分（逐次积分）方法1 . 坐标面投影法 (“先一后二”)方法2 . 坐标轴投影法或截面法 (“先二后一”) 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:方法1. 坐标面投影法 (“先一后二” ) 该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作设空间闭区域V为一个有界闭区域,函数f(x,y,z)为V上的连续函数,区域V在xoy面上的投影区域为D,投影柱面将V的

3、边界分为上下两个曲面V称为XY型区域说明:(1)应用此公式时,首先应判断V是否为XY型区域(3)若V不属于上述类,则适当将V分划为若干个子区域,使得在每个子区域上可应用公式或类似公式其中 为三个坐标例1. 计算三重积分所围成的闭区域 .解:面及平面例3: 写出下面积分的三次积分图不易画出的话，可画出它的投影区域不绘制空间图形如何根据先一后二的方法确定三重积分的积分限方法：求两曲线的交线，交线在坐标面XOY上的投影即为D的边界的曲线方法2. 坐标轴投影法或截面法 (“先二后一”)记作说明：平行截面体的体积公式例6. 计算三重积分解: 用“先二后一 ” 例7. 求三重积分例8. 求三重积分XYZ利

4、用轮换对称性其中 为三个坐标例9. 计算三重积分所围成的闭区域 .解:面及平面2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.其中为由例1. 计算三重积分所围解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.例2. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =例3. 计算三重积分例4. 计算三重积分例5. 计算三重积分3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球

5、面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.例6. 计算三重积分解: 在球面坐标系下所围立体.其中 与球面例7. 计算三重积分其中 例7.求曲面所围立体体积.解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* 说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;1. 将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成 ,2. 设计算提示: 利用对称性原式 = 奇函数3. 设由锥面和球面所围成 , 计算提示:利用