2022年新教材高中数学第四章数列4数学归纳法课件人教A版选择性必修第二册

1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.体会逻辑推理的过程,加强数学建模和数据分析的素养提升.自主预习 新知导学数学归纳法【问题思考】1.问题1:根据观察,今天第一个到教室的是男同学,第二个到教室的是男同学,第三个到教室的也是男同学,于是得出结论:第四个到教室的是男同学.问题2:已知数列1,2,4,8,则它的通项公式为an=2n-1(n4,nN*).请问:以上两个结论正确吗?为什么?提示:不正确,问题1是不完全归纳,第四名同学的到来与前面的同学没有关系.问题2中当n=1时成立,当n=

2、2,3,4时不成立.2.在学校,我们经常会看到一种现象:排成一排的自行车,如果一名同学将第一辆自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下.试想:要使整排自行车倒下,则需要具备哪几个条件?提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆倒下.3.填空:数学归纳法的定义一般地,证明一个与 正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n= n0(n0N*) 时,命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(kN*,kn0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明

3、方法称为数学归纳法.4.做一做:用数学归纳法证明3nn3(n3,nN*),第一步验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析:由题知,n的最小值为3,故第一步验证当n=3时是否成立.答案:C【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )(4)在用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )合作探究 释疑解惑探究一数学归纳法的原理解析:结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,n2的连

4、续自然数,共有n2-n+1项,答案:D反思感悟 1.验证是基础:找准起点,有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,故从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.【变式训练1】 (1)我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时,在由“当n=k时论断成立当n=k+1时论断也成立”的过程中()A.必须运用假设B.n可以部分地运用假设C.可不用假设D.应视情况灵活处理,A,B,C均可(2)用数学归纳法证明1+2+3+n2= (n2,nN),验证当n=2时

5、,左端的式子为;当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为.解析:(1)由“当n=k时论断成立当n=k+1时论断也成立”的过程中必须运用假设.当验证当n=2时,左端的式子为1+2+3+4.当n=k时,等式左端=1+2+k2,当n=k+1时,等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+(k+1)2,增加的项为(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2.答案:(1)A(2)1+2+3+4(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2探究二用数学归纳法证明等式问题【例2】 用数学归纳法证明:14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2(其中nN*).证明:(1)当n=1

6、时,左边=14=4,右边=122=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时等式成立,即14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2.那么当n=k+1时,14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=k(k+1)2+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)(k+1)+12,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何nN*都成立.反思感悟 在用数学归纳法证题时,利用假设是核心.在第二步证明当n=k+1命题成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“当n=k时命题成立”作为条件来导出“当n=k+1时命题成立”,

7、在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.即当n=k+1时,等式成立.由(1)和(2)知,等式对任何nN*都成立.【变式训练2】 用数学归纳法证明: 故当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知,对于nN*等式都成立. 探究三用数学归纳法证明不等式反思感悟 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些,方法更灵活些,用数学归纳法证明的第二步,即已知f(k)g(k),求证f(k+1)g(k+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点:(1)

8、先凑假设,作等价变换;(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析,直到凑出结论.证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,且kN*)时,不等式成立,故当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意nN*都成立.探究四归纳猜想证明(1)求a2,a3.(2)猜想数列an的通项公式,并证明.证明:当n=1时,由(1)可知猜想成立; 即当n=k+1时猜想成立.由可知猜想对任何nN*都成立.反思感悟 1.本题中由当n=k时命题成立证明当n=k+1命题成立时,利用ak+1=Sk+1-Sk来寻找ak+1与ak的关系是证明的关键.2

9、.在证明与数列有关的问题时,一般要用到ak+1与ak或Sk+1与Sk的关系,在寻找它们之间的关系时,往往要用到已知条件和ak+1=Sk+1-Sk来建立等量关系.【变式训练4】 设数列an满足a1=3,an+1= -2nan+2,n=1,2,3,.(1)求a1,a2,a3的值,并猜想数列an的通项公式;(2)利用数学归纳法证明上述猜想.(1)解:数列an满足a1=3,an+1= -2nan+2,n=1,2,3,a2=9-213+2=5,a3=25-225+2=7.由此猜想数列an的通项公式为an=2n+1.(2)证明:用数学归纳法证明如下:当n=1时,a1=21+1=3,成立;假设当n=k时猜想

10、成立,即ak=2k+1,则当n=k+1时,有ak+1= -2kak+2=(2k+1)2-2k(2k+1)+2=2k+3=2(k+1)+1,成立.由可得,an=2n+1.【易错辨析】 未应用归纳假设而致错这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任意nN*都成立.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何nN*都成立.防范措施 数学归纳法的第二步是证明了一个递推关系,即当n=k时命题成立,当n=k+1时命题也成立,因此在证明当n=k+1命题成立时,要用上归纳假设才能说明“当n

11、=k时命题成立则有当n=k+1时命题也成立”.【变式训练】 已知nN*,求证:122-232+(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2 =-n(n+1)(4n+3).证明:(1)当n=1时,左边=4-18=-14=-127=右边.(2)假设当n=k(kN*,k1)时等式成立,即122-232+(2k-1)(2k)2-2k(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3).则当n=k+1时,122-232+(2k-1)(2k)2-2k(2k+1)2+(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)(k+1)+14(k+1)+3,即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,对一切nN*等式成立.随堂练习1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1= (a1,nN*),在验证n=1成立时,左边的项是()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.答案:C答案:D 5,由此归纳第n个不等式为;要用数学归纳法证明该不等式,