高考数学立体几何试题汇编

1、高考数学立体几何试题汇编一、选择题11（7题ABCD A B CDAA 2AB ，11111A B与AD 所成角的余弦值为（ D ）111A52B53C54D52（7题已知正三棱柱ABABC的侧棱长与底面边长相等，1 1 1AB 与侧面ACCA（ A ）11 1A6B10C2D33（3题）平面平面的一个充分条件是（D ）存在一条直线，a存在一条直线 C存在两条平行直线 ，a，bD存在两条异面直线 ，b4（2题设l ，m nm n在平面l l m且“l n”的（）A充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也必要条件5（8题半径为1的球面上的四点,B,C,DA与B两点间的球面距离为（）ar

2、ccos(3)Barccos(6)Carccos( 1)333Darccos( 1 )46（福建理8 题）已知m ，n为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则列命题中正确的是（D）Am,n,m/,n/B /,m,n m/nCm,mnn/m / n, n m 7（10题7（10题顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDABCDA1AA ，AC（ B ）22A BC D42428（4题）平面 外有两条直线m 和n，如果m 和n在平面 内的射影分别m 和n11，给出下列四个命题：m n11 m n；mn m1n ；1m 与n11相交 m 与n相交或重合；m1与n 平行 m 与n 平行或重合；1其中不正确的

3、命题个数是（ D ）A.1B.2C.3D.49（8题）棱长为1的正方体ABCD ABC D的8个顶点都在球O的表面1 111AA1，DD1EF 被球O 截得的线段长为（ D ）A 2B1C122 210（4题）已知两条直线,n，两个平面, ，给出下面四个命题：m / n, m n /,m,n m/nm / n, m / n /,m/n,m n 其中正确命题的序号是（ AB）D11（7题）如图，正方体AC的棱长为，过点A作平面1A BD 的垂线，垂足为点H（ D ）11（7题）如图，正方体AC的棱长为，过点A作平面1A BD 的垂线，垂足为点H（ D ）1A点HABD1CAH 的延长线经过点C1

4、BAHCBD1 1D直线AHBB45112（7题）若，n 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）若I m I n mn ，C若m，m ，则 D若 ， ，则 13（6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A334B 3 34D 3 1214（4 题）ABCABCD为正方体，下面结论的1 1 1 1是 （ D ）平面CBDBACBD1 11CAC平面CBDD异面直线AD与CB角为60158 （c，可得这个几何体的体积是（ B ）201010202010102

5、020正视图4000侧视图8000俯视图cm32000cm3334000cm316（6题设球O的半径是116（6题设球O的半径是1C是球面上三点，已知A到C两点的球面距离都是 的大小为 ，2A点沿球面经、C两点再回到A点的最短距离是（ C3）ABCD643217（6题）设b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ D ）与 所成的角相等，则ab若若a b，则若a ， ，a b18（6题）若P是两条异面直线l,m外的任意一点，则（B ）A过点P有且仅有一条直线与l,m都平行过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直过点P有且仅有一条直线与l,m都相交过点P有且仅有一条直线与l,m都异面二

6、、填空题19（全国理16题一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 23。20（15题一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 242。21（15题）在正方体上任意选择4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4 个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的。矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边 22（江苏理14题）正三棱锥PABC 高为2，侧棱与底面所成角为4o，则点A 侧面PBC 的距离是23（15 题）3 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在2一个平面

7、上，则此球的体积为24（10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面, 与两直线l l12，又知l , l12在 s s12，在 内的射影为t t12。试写出 s , ss s s t t 相交1212。1BC1ACC1A1所成的角是25（14题）如图，在正三棱柱ABABC1 中，侧棱长为2 ，6t , t1满足的条件，使之一定能成为l ,l12是异面直线的充分条件26（天津理12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为1427（浙江理16 题）已知点O 在二面角AB 的棱上，点P 在 内，且POB 4内异于O

8、的任意一点QPOQ4AB三、解答题27（19题三、解答题27（19题四棱锥ABCD ABCD 为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知2ABC45，AB2，BC=22()证明：SABC；，SASB。3()求直线SD 与平面SAB 解答：解法一：3（）作SOBC ，垂足为O AO ，由侧面SBC ABCD ，得SO底ABCD 因为 SA SB ，所以 AO BO ，又ABC 45o，故AOB AO BO ， 由三垂线定理，得SABC S2 ，得CO（）由（）知SABC ADS2 ，得CO2SAADADBC 2，SA 3 ，AOSO1，SD 1111B1122SAB的面积S ABg SA2 AB

9、2221DB ，得DAB S2A1sin135o21D 到平面SAB 的距离为h ，由于VD SABV，得S ABD1 1 ，31322解得h221122设SD与平面SAB所成角为 ，则sin h21122SD1122所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin2211解法二：（）作SOBC，垂足为OAO，由侧面SBCABCD，得SO平ABCD 因为 SA SB ，所以 AO BO 又ABC 45oAOB AO OB 如图，以O 为坐标原点， OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系O xyz ，(0)B(，0)，C(，Szuur，SA(1)，SCB (20)，SCB 0，所以SABCDG

10、COBExA（）AB E E2 2220，22G 221SE SE 中点G ，连结OG ， ， 4422OG 221，SE 2 1，AB (，0) 4 ， ， 242 222 0 0 OG SAB 内两条相交直线SE AB 垂直所以OG SAB OG DS 的夹角记为 SD 与平面SAB 所成的角记为 ， 则 与 互余D(20)，DS (21)OG gDScos OG gDS，sin ，22221111222222所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin221128（19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F 分别是 AB、SC 的中点。(

11、)平面SAD；()设SD = ，求二面角AEFD 的大小；DOPADOFDAE第 38 题图CBC第 39 题图解法一：FGDCSD于点G，则GSD的中点1 CD ，又CD AB ，2故 FG AE，AEFG 为平行四边形EF AG AG SAD EF SAD 不妨设DC 2，则SDDG ADG为等腰直角三角形AG H DH DH AG ABSAD ABDH AB I AG A ，zSFGMDCzSFGMDCyAEBxAEF M ，连结MH HM EF DM DM EF 故A EF D 的平面角tan DMH DH 2 2 HM1所以二面角AEFD的大小为arctan2 （）如图，建立空间直角

12、坐标系Dxyz 设(0，S(b)，则B(，0，C(，0，EaaabEa ，0，F，222 bEF ，2SDG0 br0 b取的中点 ，则AG2， 2 EF AG，EF AG，AG 平面 SAD，EF 平面 SAD ，所以 EF 平面 SAD （2）不妨设(0) ，则B(0，C(0，S(2，E110，F1 1 ， ，22EF中点111 r 111 rrrM ，MD EF (1MDEF ，MDEF又EA又EA01u2，EA EF 0EAEF， 所以向量 MD 和 EA 的夹角等于二面角 A EF D 的平面角cos MEAuuur uur MD MDgEA333所以二面角AEFD的大小为arcco

13、s3329（16 题RtAOBOAB AB 4 RtAOC6 可以通过RtAOBAO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角动点AB上求证：平面CODAOB；DABAO与CD所成角的大小；在CO BO 2 OE B（III）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值A解法一：（I（III）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值A解法一：（I）由题意， CO AO ， BO AO ，BOC 是二面角 B AO C 是直二面角，QBAOC是直二面角，CO BOQ AOIBO O，DCO 平面 AOB ，又CO 平面COD 平面COD 平面 AOB （I作DE OBEC（如图DEAO，CDE AO 与C

14、D 所成的角OE2CO2 CO2 OE2又 DE 1 AO25335315在RtCDE中，tanCDE CE 5315DE315异面直线AO与CD所成角的大小为arctan315由（I）CO AOB，OC2CDO是CD与平面AOB所成的角，且tanCDO 当OD 最小时， CDO 最大，OD AB D OD ABODOD323，tan CDO 3，323CD 与平面AOB所成角的最大值为arctan 23 3z解法二：同解法一A建立空间直角坐标系OxyzO(0)，(23)，C(0)，D(，3)，DOA (23) ，CD (，3)，rrrrcosOCD r rOAOBy66 xC224异面直线A

15、O 与CD所成角的大小为arccos6 4同解法一11 111130（17 题ABCA1BCD1 中，ABCD 2 A1B1C1D1 是边长为1 A B C D 11 1111（）AC 共面，B1D1 与BD 共面；（）求证：平面A1ACC1平面B1BDD1；（求二面角ABBC（用反三角函数值圾示；31（18 题）如图，正三棱柱ABABC1 2，D 为CC1 中点。1（）求证：AB 面A BD1（）求二面角AA1DB 的大小；（）求点C 到平面A1BD 的距离；考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分12 分（）取BC中点O，连结AOQABC AO BC Q ABC A B ABC BCC

16、 ，AA111AOBCC B 1 11 11F连结BO，在正方形BBCC中，分别为CC1BC，CC111的中点，OD1BB1 B O BD ，1 AB1BD ABB A11AB1AB，1 AB1A BD 1（）AB A B 交于点G A BD 中，作GF A D F AF ，由1111（）AB1平面 A BD 1 AF A D ，1AFG 为二面角 A A D B 的平面角145在AAD中，由等面积法可求得AF ，451又Q AG 521 AB ，221sinAFGAG24510AF 424510510所以二面角AADB的大小为arcsin106146（）ABD中，BD ADAB2，1 11B

17、CDA BCC 的距离为311 13设点C 到平面 A BD 的距离为d 1由VA 1 VC A BD11 3BCD1g 3 3gd ， d 3S2BCD 2S22点C 到平面ABD的距离为212（）取BC中点O，连结AOQABC AO BC Q ABC A B ABC BCC B ，111 ADBCC B 1 11 1 B C 中点O ，以O 为原点，OB ，OO，OA 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空1111间直角坐标系，则B(0) ，D(0)，A(3)，(，3)，B (0)，uuuruuur11uuur AB1(3)，BD (0)，BA1(3) Q AB200，AB 1 4 3 0

18、 ，111zAA1FCzAA1FCODC1yBB1 AB1BD ，AB1BA 1 AB1平面 A BD 1（）A AD 的法向量为n 1AD (3) ，AA1(0)Q nAD ，nAA ，1uuurnAD ， x y3z ，y ngAA1，2y x3令z 1得n(1)为平面AAD的一个法向量1由（）知 AB1平面 A BD ，1uuur AB1为平面 A BD 的法向量1uuurcos n， AB 1uuurnngAB132g232g232646二面角AADB的大小为arccos614uuur（）由（，AB1为平面 A BD 法向量，1QBC(0AB1(3) 点C A BD 的距离d 1BCg

19、BCgABAB11222232（广东理19题）如图6 所示，等腰ABC的底边A=66 ，高C=，点B 是线BD 、D F BC EFAB.EF 将BEF 折起到PEF PEAEBEx，V(x)的体积。（）求 V(x)的表达式；（）求 V(x)的表达式；（）当 x 为何值时，V(x)取得最大值？（）V(x)AC PF 弦值；33（18题）如图，在三棱锥ABCV底面AB，AC BC D ， 是的中点，且 = = ，= ABAC BCaVDC02 。（）求证：平面VAB平面 VCD ；BC与平面VAB分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量

20、知识解决数学问题的能力解答：解法1（AC BC aACB是等腰三角形，又 D 是 AB 的中点，CD AB ，又VC 底面 ABC VC AB 于是 AB 平面VCD 又 AB 平面VAB ，平面VAB 平面VCD （） 过点C 在平面VCD 内作CH VD H ，则由（）知CD 平面VAB BH ，于是CBH BC 与平面VAB 所成的角HCD在中，CH 2 asin ；HCD2设 CBH ， 在 RtBHC 中 ， CH asin， 2 sin sinB20 ，A20sin 1，0sin 2 2又0 ，0 24 0 即直线 BC 与平面VAB 所成角的取值范围为， 4 解法（）以CCCV

21、所在的直线分别为x 轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则C(0，(0，B(，0，Daa 0V ，2 atan ，2 aa2222 aa于是，VD ，atan，CD ，0，AB (，0)222aa2211从而ACD (，0a2a200，即AB CD 22222aa112同理AVD () ，atan a2 a2 00，22222AB VD又CDIVD DAB 平面VCDAB平面VAB平面VAB 平面VCD （）BC 与平面 VAB 所成的角为 VAB 的一个法向量为n ，rr则由AB ，VD 0ax ayz22得aaV2 x 2 yaz tan 02可取n(，2cot )，又BC (0)

22、，2于是sin aByDsin ，D2A2 2 2cot 220 ，0sin 1，0sin 22又0 ，0 24 0 BC与平面VAB所成角的取值范围为， 4 解法 3（）以点D为原点，以DDB所在的直线分别为x轴、y 轴，建立如图22222D(0，A0，B， 0C0，2222222 2 2V 2， an2 ，于是DV ， an，DC 0 ，22AB (，20)22从而ADC (，20 200，即AB DC222同理ADV(，20)， an22 0 ，即 AB DV DC IDV D AB 平面VCD AB 平面VAB ，平面VAB 平面VCD （）BC 与平面 VAB 所成的角为 VAB 的

23、一个法向量为n则由2ay 2222 0，得Vaxaz tan 2222 22可取n(tan1)，又BC 220，Cy2atan21tan于是sin sin，D2x2A2x20 ，0sin 1，0sin 222又0 ，0 ，24 0 BC与平面VAB所成角的取值范围为， 4 224：以x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，(0，B(，0，Daa 0设V(，t)t 0)，22 aa （）CV (，tCD ，0AB (，0)，22ACV (，即 AB CV (，t)0000，zVaaa2a2ACD (， 0 00，AB CD 2222C又CV ICD CAB平面VCDBy又AB平面

24、VAB平面VAB 平面VCDA（）设直线BC与平面VAB所成的角为 ，xn是平面VAB 的一个非零法向量，AB (，z) (，0)axay ，则取z a，得x y tAV (，z) (t)axtz ，r2t 2 a可取n，a)，又CB (，2t 2 arrrtat 2 t 2 a2t1，2a2 t 2t()，si2a2 t 21， 0 ， 0 4即直线 BC 与平面VAB 所成角的取值范围为， 4 34（18 题）G1G2AEFCG如图 1，G1G2AEFCGABCD的中点，G 是EF 上的一点，将EFDGAB ， GCD 分别沿AB，CD翻折成G1AB ， BCB CD ，并连结GG ，图1

25、图2212使得平面GAB平面ABCD，G AD ，且G AD ，如图 21证明：平面1AB 平面G2122ADG ；112AB12BC25EG8BG2和平面G1ADG2所成的角；（）因为平面G1AB ABCD ，平面G1AB IABCD AB ，ADABADABCDAD平面G1ABAD平面G1ADG2，所以平面G1AB 平面G1ADG 2（II）BBHAG1H ，连结G H 2由（I）的结论可知， BH 平面G1ADG ，2所以BG2H BG2和平面G1ADG2所成的角因为平面G1AB ABCD ，平面G1AB IABCD AB G E AB ，1G E 平面G AB ，所以G E ABCD

26、，故G E EF 1111G G AD AD EF EF O EO G ，又因为1212G G AD EO ，所以四边形G 是矩形1212AB12 25 8GF 17GO G E 8 F 17 ，OF 172 8215172 82 EO 1021212AD平面AB，GAD，所以G平面GAB ，从而G GG B 2112212121BG2 BE 2 EG2 G G 62 82 102 200 ， BG10211281248又 AG 122112210BH62 62 82 G BH 110 5 故sin BG2H BH 48102BG5102225即直线 BG2与平面G1ADG2所成的角是arcs

27、in122252I）因为平面 G1AB ABCD G1AB I 平面 ABCD AB ，G E AB ，1G E G AB G E ABCD G E AD ABAD ，所1111AD平面G1AB AD 平面G1ADG2，所以平面G1AB 平面G1ADG 2E ABCD E EB，EF，EG11zG1G2ADBEFOC为xzG1G2ADBEFOCAB 12 BC 25EG 8 EB 6 ，EF 25，EG1D(20)，8，相关各点的坐标分别是(0)，(8)，B(0)y1所以AD (20)，AG1(8) xr设 n (x，y，z) 是平面G1ADG2的一个法向量，r. nAD ， 25y ，. 由

28、rngAG10得6x8z 0故可取n (3)过点G 作G O ABCD 于点O ，因为G C G D ，所以OC OD ，于是点O2222在 y 轴上因为G G AD ，所以G G EF G O G E 8 121221设G(，8)（0m25，由72 82 (25 m)2 ，解得m 10 ，所以 BG2(18)(0)(18)BG2sin 和平面Gr r BG BG gn2ADG262 62 102 82 g 42 32所成的角是 ，则2|2424|12225故直线 BG2与平面G1ADG2所成的角是arcsin12225235（江苏理18 题）如图，已知ABCD ABC DD1B1DH1 1B

29、1DH3 E AA1F 在CC1上，且C1CAE FC1 1。FEEBFD14分）2A若点G 在BC上，BG ，点M 在BB 上，31CGBGM BF ，垂足为 H ，求证： EM 面 BCC B ；1 1（）用 表示截面 EBFD3636（20题）（以ABC1 为底面）被一ABCA1B B1C l，AlBlC11190，AA 4，BB 2，CC 3。lll设点O AB 平面A1B1C1；求二面角BACA1 的大小；（）求此几何体的体积； 解法一：（1）证明：作OD AA A B D ，连C D 11 11则OD BB CC 11因为OAB的中点，和面 BCC B1 1所成锐二面角大小，求ta

30、n 。所以OD 1(AA BB )3CC A2111COC则ODCC是平行四边形，因此有OCCDAH21C D 平面C B A12B且OC平面CBA ，C11 1 1 1 1A1则OC 面1DA BC B1 111BBAAB， CC 于 A ， C 221 111122作 BH A C22于 H ，连CH 因为CC1 BA C22，所以CC1 BH ，则 BH 平面 AC 1又因为AB 5 ，BC 2 ，AC 3 AB2 BC 2 AC 2 BC AC ，根据三垂线定理知CH AC BCH 就是所求二面角的平面角因为 BH 2BH1，所以sinBCH ，故BCH 30o，2BC2即：所求二面角

31、的大小为30o因为BH 2 ，所以2gV 1S 1 1 (1 2)g 2g 21gB AAC C3AA C 3 2222 22 2VA B C A BC SA B gBB1 1g2 121 1 1221 1 1所求几何体体积为3V VB AA C CVA B C A BC22 2解法二：（1）B11 1 122为原点建立空间直角坐标系，则(4)，B(2)，C(3)，因为O是AB的中点，所以O013，12OC 02r易知，n (1)是平面AB的一个法向量 ，2ACOzBxr1 11yC因为 0OC AB，所以OC平面ABC A11 111 111B1（2）AB (2)，BC (1)，urm (x

32、，y，zABC 的一个法向量，则y2z 0则 ABgm 0 ， BCgm 0 得： x z 0ur取x z 1，m (1)r显然，l (0)为平面C 的一个法向量urr11 rm gl rm gl263则cos l 1 2 0，结合图形可知所求二面角为锐角2B AC A1的大小是30o（3）同解法一37辽宁理18题）如图，在直三棱柱ABC AB中， ACB 90o ，111AC BC a 分别为棱 的中点， M 为棱 AA1上的点， 二面角M DEA为AB C D ；1 11MA的长，并求点CMDE的距离。SAC11MB1OCACBADEB38（19题如图，在三棱锥S ABCSAB与侧面SAC

33、角形，BAC 9，O为BC中点（）证明：SO 平面ABC（）求二面角ASCB证明：（）ABACSBSC SA ，连结OA ABC 为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ，且 AO BC ，又SBC 为等腰三角形，故 SO BC ，且2SO SA，从而OA2 SO2 SA2 2所以SOA SO AO AO IBO O 所以 SO 平面 ABC （）解法一：取 SC 中点M， 连结 AM，OM，由（）知SO AC ，得OM SCOMAA SC B 的平面角AO IBC O AO SBC 3所以AO OM ，又AM SA，故sinAMO3AO 2 6 2AM33所以二面角 A SC B 的

34、余弦值为 3 3z解法二：S以O 为坐标原点，射线 OB，OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系OxyzM设B(0)，则C(0，(0，S(1)OCxBAy11ur 11 r 11 rSC 的中点M 2，MO 2 2MA2 2SC (1)2MSC MSC 0uuur uuurMO MOMA A SC B 的平面角cos MMAuuur uuur 333所以二面角ASCB的余弦值为3339（陕西理19 题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中AD/BC ，3ABC 90, PAABCPA 4AD 2AB 3,BC=6。()求证： BD 平面PAC ；()求二面角 P

35、 BD D 的大小；（QPA平面ABCD，BD平面ABCDBDPAAD又tan ABD BC33，tan BAC 33AB3AB30o，BAC 60o90oBDAC PAIAC ABDPAC （）E EF PC F DF Q DE PAC EF DF PAC 上的射影，由三垂线定理知PC DF ，EFD 为二面角 A PC D 的平面角又DAC 90o BAC 30o，FAFADEDE ADsinDAC 1，3AE AB sin ABE ，33又 AC 43EC ，PC 83C由RtEFCRtPAC得 B3C33EF 33PC2在RtEFD tan EFD DE2323，EFD arctan2

36、323EF99239 二面角A PC D 的大小为arctan239（）如图，建立坐标系，则(0)，B(20)，C(20)，D(0)，P(4)，AP (4)，AC (20)，BD (20)， 0 ， 0 BDAP ，BD AC ，又PAIAC ABD平面PAC z（）设平面PCD的法向量为n(，1)，P则 0 0 ，ADyB又CD (20)，PD (4)，EBC23x4y 43xx，解得32y4，y ，43n213m PAC BD 20 ，cos m ，n 3 93 m n31 二面角APCD的大小为arccos393 3140（上海理 19 题）体积为1 的直三棱柱 ABC AB中， ACB

37、 90 ，AC BC 1，求直线 AB1与平面 BCC B111116641（19 题）如图，四边形PCBM 是直角梯形，PCB90PM BCPM 1，BC2AC 1，ACB 120AB PC AM PC 60.（）求证：平面PAC ABC ；（）求二面角M AC B 的大小；（）求三棱锥 P MAC 的体积；解法一：（）PC AB, PC BC, AB IBC B PC 平面ABC ， 又 PC 平面PAC平面PAC 平面ABC（）BC N ，则CN 1ANMN ，PM/ CN ， MN PC ，从而MN 平面ABC作NH AC，交AC的延长线于H ，连结MH，则由三垂线定理知，AC NH

38、从而MHN 为二面角M ACB的平面角直线AM与直线PC所成的角为600AMN 600AC2 CN2 2ACAC2 CN2 2ACCN cos120033在AMN中，MN ANcotAMN 313333在CNH中，NH CNsinNCH 13322323在MNH中，MN tanMHN MN 1323NH32233故二面角 M AC B 的平面角大小为233（）由（）知， PCMN 为正方形VPMAC VAPCM VAMNC VMACCNsin1200 MN 31321231（）在平面 ABC 内，过（）在平面 ABC 内，过C 作CD CB ，建立空间直角坐标系C xyz （如图）由题意有A

39、2 , 2 ,0 31Pz z 0，00M z,1, , z 30AM 220 CP03由直线AM与直线PC 所成的解为60 0，rr r r0z10AM CP AM CP cos60 0， 即 z 20z 2 3z ，解得2003 13r CM 0,0,1, CA ,0 ，设平面MAC 的一个法向量为n x , y ,z， 22111y z0r 1则311x01，得n 1,3,3212 1 平面 ABC 的法向量取为m ur r0,0,1rrm n37m 与n 所成的角为 ，则cos mn显然，二面角M ACB的平面角为锐角，21M AC B 的平面角大小为arccos217ur（）PCM

40、的法向量取为 n 1，则点 A到平面PCM 的距离CAnCAnn113h 21233rr1r r 11233PC 1,PM1VVPC PM h 11PMACAPCM3621242天津理19题）如图，在四棱锥PABCD 中，PA 底面ABCD ，ECAB AAC CABC 6PA AB BCE是PC的中EC点（）证明CD AE ；（）证明 PD 平面 ABE ；（）求二面角APDC 的大小；AD分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力满分12 分B解答（PABCDPA底面ABCDCD平面ABCD，PA CD AC IAC A ，CD PAC 而