2018中考压轴题14因动点产生的平行四边形问题

1、1.4因动点产生的平行四边形问题例12017年成都市中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为极点的四边形可否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能够，请说明原由图1备用图例22017年陕西省中考第24题如图1

2、，已知抛物线C：yx2bxc经过A(3,0)和B(0,3)两点将这条抛物线的极点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C，抛物线C的极点记为点记为N若是以点M、N、M、N为极点的四边形是面积为抛物线C怎样平移？为什么？M，它的对称轴与x轴的交16的平行四边形，那么应将图1例32018年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线yx2bxc经过A(0,1)、B(4,3)两点1）求抛物线的剖析式；2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四

3、边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标图1例42017年福州市中考第21题如图1，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC，交AB于点D，联系PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_；（2）可否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明原由，并研究怎样改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q

4、的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长图1图2例52017年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)以A为极点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的剖析式；2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为什么值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为什么值时，在矩形AB

5、CD内（包括界线）存在点H，使以C、Q、E、H为极点的四边形为菱形？请直接写出t的值图1例62017年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y3x3的图象与y轴交于点A，点M4在正比率函数y3x的图象上，且MOMA二次函数2yx2bxc的图象经过点A、M1）求线段AM的长；2）求这个二次函数的剖析式；（3）若是点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y3x3的图象上，且四边形ABCD是菱形，4求点C的坐标图1例72017年江西省中考第24题将抛物线c1：y3x2沿x轴翻折，获取抛物线c2，如图1所示3（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（

6、2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后获取新抛物线的极点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后获取新抛物线的极点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E当B、D是线段AE的三均分点时，求m的值；在平移过程中，可否存在以点A、N、E、M为极点的四边形是矩形的状况？若存在，央求出此时m的值；若不存在，请说明原由图11.4因动点产生的平行四边形问题答案例12017年成都市中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：kxb与轴负半轴交于点C，与抛物线的yy另一个交点

7、为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为极点的四边形可否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能够，请说明原由图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，能够体验到，当ECAC时，ACE的面积最大点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正半轴运动，观察点Q和Q，能够看到点Q和点Q都能够落在抛物线上思路点拨1过点E作x轴的垂线交AD

8、于2以AD为分类标准谈论矩形，当F，那么AEFAD为边时，与CEF是共底的两个三角形AD与QP平行且相等，对角线APQD；当AD为对角线时，AD与PQ互相均分且相等满分解答1）由yax22ax3aa(x1)(x3)，得A(1,0)由CD4AC，得xD4因此D(4,5a)由A(1,0)、D(4,5a)，得直线l的函数表达式为yaxa2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F设E(x,ax22ax3a)，F(x,axa)，那么EFyEyFax23ax4a由SACESAEFSCEF1EF(xExA)1EF(xExC)221EF(xCxA)1(ax23ax4a)1a(x3)225a，22228得ACE的

9、面积的最大值为25a解方程25a5，得a288453）已知A(1,0)、D(4,5a)，xP1，以AD为分类标准，分两种状况谈论：如图2，若是AD为矩形的边，那么AD/QP，ADQP，对角线APQD由xDxAxPxQ，得xQ4当x4时，ya(x1)(x3)21a因此Q(4,21a)由yDyAyPyQ，得yP26a因此P(1,26a)由AP2QD2，得22(26a)282(16a)2整理，得7a21因此a7此时P(1，267)77如图3，若是AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相均分且相等由xDxAxPxQ，得xQ2因此Q(2,3a)由yDyAyPyQ，得yP8a因此P(1,8a)由AD2PQ2

10、，得52(5a)212(11a)2整理，得4a21因此a1此时P(1，4)2图1图2图3考点伸展第（3）题也能够这样解设P(1,n)如图2，当AD时矩形的边时，QPD90，因此AMDN，即55anMDNP5a3解得n35a2因此P(1,35a2)因此Q(4,3)aaa将Q(4,3)代入ya(x1)(x3)，得321a因此a7aa7如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,3a)由AQD90，得AGQK，即3a2解得a1GQKD33a5a2例22017年陕西省中考第24题如图1，已知抛物线C：yx2bxc经过A(3,0)和B(0,3)两点将这条抛物线的极点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N

11、（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C，抛物线C的极点记为点记为N若是以点M、N、M、N为极点的四边形是面积为抛物线C怎样平移？为什么？M，它的对称轴与x轴的交16的平行四边形，那么应将图1动感体验请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M上下运动，能够体验到，以点M、N、M、N为极点的平行四边形有四种状况思路点拨1抛物线在平移的过程中，MN与MN保持平行，当MNMN4时，以点M、N、M、N为极点的四边形就是平行四边形2平行四边形的面积为16，底边MN4，那么高NN43MN4分两种状况：点M在点N的上方和下方4NN4分两种状况：点N在点N的右侧和

12、左侧满分解答1）将A(3,0)、B(0,3)分别代入yx2bxc，得93bc0,c解得b2，c33.因此抛物线C的表达式为yx22x3（2）由yx22x3(x1)24，得极点M的坐标为(1,4)（3）抛物线在平移过程中，MN与MN保持平行，当MNMN4时，以点M、N、M、N为极点的四边形就是平行四边形因为平行四边形的面积为16，因此MN边对应的高NN4那么以点M、N、M、N为极点的平行四边形有4种状况：抛物线C直接向右平移4个单位获取平行四边形MNNM（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位获取平行四边形MNNM（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位获取平行四边形MNMN（

13、如图3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位获取平行四边形MNMN（如图3）图2图3考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么MMD的面积S关于m有怎样的函数关系？如图4，MMD是等腰三角形，由M(1,4)、M(1m,4)，可得点D的横坐标为m22m2代入y(x1)24，得y22将xm4因此DHm424424)1m2m3248图4例32018年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线yx2bxc经过A(0,1)、B(4,3)两点1）求抛物线的剖析式；2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点

14、N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，能够体验到，以M、N、C、B为极点的平行四边形有4个，吻合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，能够体验到，MN有4次机遇等于3，这说明以M、N、C、B为极点的平行四边形有4个，而吻合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个思路点拨1第（2）题求ABO的正切值，要构造包括锐角ABO的角直角三角形2第（3）题解方程MNyMyNBC，并且检验x的值可否在对称轴左侧满分解

15、答1）将A(0,1)、B(4,3)分别代入yx2bxc，得c1,9，c1解得b164bc3.2因此抛物线的剖析式是yx29x122）在RtBOC中，OC4，BC3，因此OB5如图2，过点A作AHOB，垂足为H在RtAOH中，OA1，sinAOHsinOBC4，5因此AHOAsinAOH4图25因此OH3，BHOBOH2255在RtABH中，tanABOAH4222BH5511（3）直线AB的剖析式为y1x12设点M的坐标为(x,x29x1)，点N的坐标为(x,1x1)，22那么MN(x29x1)(1x1)x24x22当四边形MNCB是平行四边形时，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因为x

16、3在对称轴的右侧（如图4），因此吻合题意的点M的坐标为(1,9)（如图3）2图3图4考点伸展第（3）题若是改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，若是M、N、B、C为极点的四边形是平行四边形，求点M的坐标那么求点M的坐标要考虑两种状况：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得x27（如图5）因此吻合题意的点M有4个：(1,9)，(3,11)，(27,57)，(27,57)2222图5例42017年福州市中考第21题如图1，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB

17、向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC，交AB于点D，联系PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_；（2）可否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明原由，并研究怎样改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长图1图2动感体验请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，能够体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段拖动右图中的

18、点Q运动，能够体验到，当PQ/AB时，四边形PDBQ为菱形请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点的运动路径是一条线段点击动画按钮的左部，Q时，四边形PDBQ为菱形点击动画按钮的中部，Q向上运动，能够体验到，PQ的中点M的速度变成1.07，能够体验到，当PQ/ABQ的速度变成1.思路点拨1菱形运动的时间PDBQ必定吻合两个条件，点P在ABC的均分线上，PQ/AB先求出点t，再依照PQ/AB，对应线段成比率求CQ的长，从而求出点Q的速度P2研究点M的路径，能够先取两个极端值画线段，再考据这条线段可否是点M的路径满分解答1）QB82t，PD4t32）如图3，作ABC的均分线交CA于P，过点P作

19、PQ/AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形过点P作PEAB，垂足为E，那么BEBC8图3在RtABC中，AC6，BC8，因此AB10在RtAPE中，cosAAE23，因此t10APt53当PQ/AB时，CQCP，即CQ610323解得CQCBCA869因此点Q的运动速度为3210169315（3）以C为原点建立直角坐标系如图4，当t0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)如图5，当t4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)直线EF的剖析式是y2x6如图6，PQ的中点M的坐标能够表示为（6t，t）经考据，点M（6t，t）在直22线EF上因此PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF2

20、5图4图5图6考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t2时，PQ的中点为(2，2)设点M的运动路径的剖析式为yax2bxc，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，9a3bc0,得abc4,解得a0，b2，c64a2bc2.因此点M的运动路径的剖析式为y2x6例52017年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)以A为极点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作P

21、EAB交AC于点E1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的剖析式；2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为什么值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为什么值时，在矩形ABCD内（包括界线）存在点H，使以C、Q、E、H为极点的四边形为菱形？请直接写出t的值图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，能够体验到，当P在AB的中点时，ACG的面积最大观察右图，我们构造了和CEQ中心对称的FQE和ECH，能够体验到，线段EQ的垂直均分线能够经过点C和F，线段CE的垂直均分线能够经过点Q和H，因此以C、Q、E、H为极点的菱形有2个请打

22、开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，能够体验到，当P在AB的中点时，即t2，ACG的面积获取最大值1观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为极点的菱形有2个点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种正确地址。思路点拨1把ACG切割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以C、Q、E、H为极点的平行四边形，再用邻边相等列方程考据菱形可否存在满分解答（1）A(1,4)因为抛物线的极点为A，设抛物线的剖析式为ya(x1)24，代入点C(3,0)，可得a1因此抛物线的剖析式为y(x1)24x22x3（2）因

23、为PE/BC，因此APAB2因此PE1AP1tPEBC22因此点E的横坐标为11t2将x11t代入抛物线的剖析式，y(x1)2441t224因此点G的纵坐标为41t2于是获取GE(41t2)(4t)1t2t444因此SACGSAGESCGE1GE(AFDF)1t2t1(t2)21244因此当t1时，ACG面积的最大值为1（3）t20或t208513考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE/QC，FEQC，因此四边形FECQ是平行四边形再构造点F关于PE轴对称的点H，那么四边形EHCQ也是平行四边形再依照FQCQ列关于t的方程，检验四边形FECQ可否为菱形，依照EQCQ列关于t的方程，检验

24、四边形EHCQ可否为菱形E(11t,4t)，F(11t,4)，Q(3,t)，C(3,0)22如图2，当FQCQ时，FQ2CQ2，因此(1t2)2(4t)2t22整理，得t240t800解得t12085，t22085（舍去）如图3，当EQCQ时，EQ2CQ2，因此(1t2)2(42t)2t22整理，得13t272t8000(13t20)(t40)0因此t120，t240（舍去）13图2图3例62017年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y3x3的图象与y轴交于点A，点M4在正比率函数y3x的图象上，且MOMA二次函数2yx2bxc的图象经过点A、M1）求线段AM的长；

25、2）求这个二次函数的剖析式；（3）若是点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y3x3的图象上，且四边形ABCD是菱形，4求点C的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，能够体验到，菱形的极点C有一次机遇落在抛物线上思路点拨1本题最大的阻挡是没有图形，正确画出两条直线是基本要求，抛物线能够不画出来，但是对抛物线的地址要胸有成竹2依照MOMA确定点M在OA的垂直均分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点C的坐标，先依照菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示

26、点C的坐标，再代入抛物线的剖析式求待定的字母m满分解答（1）当x0时，y3x33，因此点A的坐标为(0，3)，OA34如图2，因为MOMA，因此点M在OA的垂直均分线上，点M的纵坐标为3将y322代入y3x，得x1因此点M的坐标为(1,3)因此AM13222（2）因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M(1,3c3,5，)，因此3解得b21bc.22c3因此二次函数的剖析式为yx25x323）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AECD，垂足为E在RtADE中，设AE4m，DE3m，那么AD5m因此点C的坐标能够表示为(4m，32m)将点C(4m，32m)代入yx25x3，得232m16m210m3解得m1也许m0（舍去）2因此点C的坐标为（2，2）图2图3考点伸展若是第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为极点的四边形是菱形”，那么还存在另一种状况：727如图4，点C的坐标为(,)图4例72017年江西省中考第24题将抛物线c1：y3x2沿x轴翻折，获取抛物线c2，如图1所示3（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后获取新抛物线