反常积分和函数

1、关于反常积分与函数第1页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四2复习定积分的几何意义：由一条连续曲线表示和三条直线x=a,x=b,y=0 所围成的曲边梯形的面积abxyo定积分有 :2.被积函数是有界函数.1.积分区间是有限区间,第2页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四3一、无穷限上的反常积分二、无界函数的反常积分三、 函数第五节 反常积分与函数 第六章 第3页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四4引例：求由曲线y=1/x2 ，直线x=1和y=0围成图形的面积.xyo1xyo1t一、无穷区间上的反常积分因第4页，共35页，2022年，5月2

2、0日，2点53分，星期四5定义：设在内连续，取如果极限存在，则此极限叫函数在无穷区间内的反常积分.记作即此时也称反常积分收敛.否则称反常积分发散.注意：反常积分发散时，仍用记号表示.但只是形式上写出，不表数值.一、无穷区间上的反常积分第5页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四6无穷积分的几何意义 若对一切xa,+),有f(x)0,且 收敛,则 表示的就是由曲线y=f(x),直线xa和x轴围成的无穷区域的面积,若 发散,则该无穷区域没有有限面积. 第6页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四7解由定义知：显然不存在.故发散.例1计算反常积分第7页，共35页，20

3、22年，5月20日，2点53分，星期四8注意:为了简便起见,另解记解若原式例2 计算反常积分第8页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四9证例3证明反常积分当p1时收敛，当发散.故当p1时，该反常积分收敛于当时，该反常积分发散.第9页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四10设在内连续，取如果极限存在，则此极限称为函数在无穷区间内的反常积分.记作即此时称反常积分否则称反常积分发散.定义2第10页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四11设在内连续，如果都收敛，则称两反常积分之和为在无穷区间上的反常积分.记作即此时也称反常积分否则称反常积分发散.定

4、义3第11页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四12一般地：若是的原函数，则计算方法：例4计算解第12页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四13解因为 不存在，所以反常积分发散.注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .例5讨论反常积分的敛散性.第13页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四14二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分).yxo11yxo11引例：求由曲线 ，及x=0、 x=1和y=0围成图形的面积.解：取充分小因第14页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四15二、

5、无界函数的反常积分(又称为瑕积分).例子或或第15页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四162.瑕积分定义设在上连续，而如果极限存在，则称此极限值叫在上的反常积分.记作即有(又叫瑕积分).此时称反常积分收敛.若该极限不存在，称其发散.(这时称a是瑕点)，类似地定义：在处为瑕点，则反常积分第16页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四17另有：若是瑕点时，注意：与同时收敛.才收敛.否则，发散.2.计算方法：若是的原函数，当a为瑕点时，其中当b为瑕点时，其中第17页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四18解故所给反常积分是收敛的.例6 讨论反常积分的敛散性.所以x=a是被积函数的无穷间断点.第18页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四19例7讨论反常积分的敛散性.解在上除外连续，且是的瑕点.则 由于所以发散，因而发散.第19页，共35页，2022年，5月20日，2点53分，星期四20证因此当q1时反常积分收敛， 其值为当时反常积分发散.例8证明反常积分当q0).解第33页，共35页，2022年，5月20日，2点