2004年高等代数试题解答_第1页
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1、武汉大学2004年高等代数试题解答以下如有不妥之处还请大家批评与指正！Godyalin于2006年2月14日星期二解 解 为此我们先证明这样一个事实：设是可逆矩阵，则有，两边取行列式有，两边取行列式有由（1）（2）知回到本题的计算。将改写为一列两个方阵之和的行列式，再凑成的形状想办法再把的形式变成（*）中所需要的形式，由（*）式得，解，故存在可逆矩阵，使得，其中是Y阶单位矩阵记，此时有。解由已知，将代入得（*）下证（*）式可逆的可逆性由两边取行列式，可得，得证。（2）的可逆性由变形两边取行列式，可得，得证。（3）的可逆性由变形两边取行列式，可得，得证。由（1）（2）（3）可得，所以B可逆。分别

2、由（1）（2）（3）可得解，又故时，时，若 若综上所述，解 我们先证明这样一个事实：引理：给定两个正定矩阵C，D，则方程的根都大于0由C正定，则存在实可逆矩阵T，使得，此时仍为正定矩阵，故存在正交矩阵P，使得，此时，令M=TP故存在一个实可逆矩阵M，使得C，D同时化为对角形，即，知（1），正定，也正定，从而由的根全大于0，即 的根全大于0，这说明AB的特征根全大于0（2），为正定矩阵七、解 方法一、化为对角形方法二、，又当时有n-1个线性无关的特征向量，从而A可对角化，又与的根集相同，解欲证 是的不变子空间，即即可，从而证任取，则由是的属于的特征向量有将限于到上看，即在其上任取一组基知在下的矩阵为，则在复数域上必有根，不妨设为其一根，则由解出，令 知，同时有从而至少有一个公共特征向量。解 其详细证法，以及多种证法和其归纳见我论坛上的的文章矩阵的秩与矩阵相等十、（暂未做出）以下如有

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