专题28代数式范围求解技巧解析版

1、【高考地位】求代数式的取值范围问题是代数学习中常见题型，这类问题在今年来的高考试题中略见不鲜，往往会和不等式、导数、圆的方程等知识结合在一起，综合考查学科内综合应用能力. 解决这类问题，除了考虑不等式的有关知识外，还应掌握一定的方法和技巧如代入法、配方变形法、估计数值法和构造方程组法等. 其高考考试题型主要有填空题或选择题，其难度有时较大，其试题难度属中高档题.【方法点评】一、代入消元法使用情景：一般代数式的范围求解解题模板：第一步 根据已知条件将变量尽可能少的用同一变量表示出来； 第二步 直接代入并结合不等式的性质、导数等知识进行求解其范围； 第三步 得出结论.例1 已知，且，则的取值范围是

2、 .【答案】.【点评】本题求解的关键是根据已知等式解出与之间的关系，然后代入即可消去参数，进而将问题简化为只含有两个参数的不等式关系.【变式演练1】设，其中为任意实数，则的取值范围是（ ）（A）一切实数 （B）一切正实数 （C）一切大于或等于5的实数 （D）一切大于或等于2 的实数【答案】D.【解析】试题分析：因为，因为，又因为与不可能同时为0，所以.因为，即或时，；，即时，所以应选D.考点：1、代数式的范围求解【变式演练2】是不全相等的任意实数，且，则的取值范围是（ ）（A）都小于0 （B）都大于0 （C）至少有一个小于0 （D）至少有一个大于0【答案】D.考点：1、代数式的范围求解二、构造

3、方程组法使用情景：一般代数式的范围求解解题模板：第一步 首先将已知条件看成是二元一次方程组； 第二步 然后结合已知条件并运用不等式等相关知识对其进行求解； 第三步 得出结论.例2 若，均为非负数，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】试题分析：已知两等式可化为关于的二元一次方程组，所以.所以，因为，所以，所以，故应选.考点：1、代数式的范围求解【点评】本题解题的关键是将已知的等式看成是关于的二元一次方程组.【变式演练3】已知实数满足，则的取值范围是 .【答案】.考点：1、代数式的范围求解三、换元转化法使用情景：一般代数式的范围求解解题模板：第一步 首先将对其进行作适

4、当的换元； 第二步 然后结合已知条件并运用不等式等相关知识对其进行求解； 第三步 得出结论.例3 实数满足，且，那么的取值范围是 .【答案】.【解析】试题分析：设，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以，故应填.考点：1、代数式的范围求解【点评】本题解题的关键是适当地选择换元法即令，不仅可以简化运算，而且能使问题简洁化.【变式演练4】若为实数，且，则的取值范围是 .【答案】.【解析】试题分析：设，所以，所以，所以,因为，所以是方程的两个实数根，所以，所以，因为，所以，因为，所以，即，故应填.考点：1、代数式的范围求解【高考再现】1. 【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（ ）A若|a2

5、+b+c|+|a+b2+c|1，则a2+b2+c2100B若|a2+b+c|+|a2+bc|1，则a2+b2+c2100C若|a+b+c2|+|a+bc2|1，则a2+b2+c2100D若|a2+b+c|+|a+b2c|1，则a2+b2+c20,b0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.5.【2015高考天津，文12】已知 则当a的值为 时取得最大值.【答案】4【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合

6、、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.6【2015高考湖北，理10】设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得， 同时成立，则正整数的最大值是（ ） A3 B4 C5 D6【答案】B【考点定位】函数的值域，不等式的性质.【名师点睛】这类问题一般有两种：表示不超过的最大整数；表示不小于的最大整数. 应注意区别.【反馈练习】1【2016-2017学年河北故城县高级中学高二上期中数学试卷，理6】设,则有（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析：通过作差得到.考点：作差法比较大小.2【2016-2017学年辽宁鞍山一中高二上期中考试理数试

7、卷，理15】已知，则的取值范围是_（答案写成区间或集合）【答案】【解析】试题分析：由题意得，因为，所以，所以.考点：不等式的性质.3. 【2017届上海市实验学校高三9月月考数学试卷，理15】已知，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：画出可行域如图所示，当目标函数过点时，当目标函数过点时，即的取值范围是考点：简单的线性规划4. 【2016届浙江绍兴柯桥区高三教学质量调测二模理数试卷，理14】已知正实数满足 ,则的最小值为 ,的取值范围是 【答案】【解析】考点：基本不等式的运用5. 【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试理数试卷，理15】若，则的最小值为_.【答案】 【解析】试题分析：由，可知，所以，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为.考点：基本不等式求最值.6.【2016-2017学年辽宁大连二十高级中高二上