高考数学(理数)一轮复习教案：5.1《数列的概念与简单表示法》(含详解)

1、第一节数列的概念与简单表示法数列的概念及表示方法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数知识点一数列的概念1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项)2数列的分类分类原则类型满足条件按项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN递减数列an1an常数列an1an,摇摆数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项易误提醒1由前n项写通项、数列的通项并不唯一2易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数

2、列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号自测练习1数列an：1，eq f(5,8)，eq f(7,15)，eq f(9,24)，的一个通项公式是()Aan(1)n1eq f(2n1,n2n)(nN)Ban(1)n1eq f(2n1,n33n)(nN)Can(1)n1eq f(2n1,n22n)(nN)Dan(1)n1eq f(2n1,n22n)(nN)解析：观察数列an各项，可写成：eq f(3,13)，eq f(5,24)，eq f(7,35)，eq f(9,46)，故选D.答案：D2已知数列的通项公式为ann28n15，则3()A不是数列an中的项B只是数列an中的第2项C只是数

3、列an中的第6项D是数列an中的第2项或第6项解析：令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是数列an中的第2项或第6项答案：D知识点二数列与函数关系及递推公式1数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列2数列的递推公式如果已知数列an的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(n2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式必记结论an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n

4、2.)自测练习3在数列an中，a11，an2an11，则a5的值为()A30 B31C32 D33解析：a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案：B4已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式是_解析：当n1时，a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1.故aneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,2n1，n2.)答案：aneq blcrc (avs4alco1(1，n1,2n1，n2) 考点一由数列的前几项求数列的通项公式|1下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的

5、是()Aan1 Baneq f(1n1,2)Can2eq blc|rc|(avs4alco1(sinf(n,2) Daneq f(1n13,2)解析：由an2eq blc|rc|(avs4alco1(sinf(n,2)可得a11，a22，a31，a42，.答案：C2根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)eq f(1,12)，eq f(1,23)，eq f(1,34)，eq f(1,45)，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9 999，.解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an2(n1)(nN)(2)这

6、个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an(1)neq f(1,nn1).(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式aneq blcrc (avs4alco1(a，n为奇数，,b，n为偶数.)(4)这个数列的前4项可以写成101,1001，1 0001,10 0001，所以它的一个通项公式an10n1.用观察法求数列的通项公式的两个技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求(2)对于正

7、负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整考点二由an与Sn的关系求通项an|已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，aneq blcrc (avs4alco1(3b，n1，,23n1，n2.)已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换

8、Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN，求an的通项公式解：由a1S1eq f(1,6)(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S11，因此a12.又由an1Sn1Sneq f(1,6)(an11)(an12)eq f(1,6)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因为an0，故an1an不成立，舍去因此an

9、1an30.即an1an3，从而an是以公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项公式为an3n1.考点三由递推关系式求数列的通项公式|递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接归纳起来常见的探究角度有：1形如an1anf(n)，求an.2形如an1anf(n)，求an.3形如an1AanB(A0且A1)，求an.4形如an1eq f(Aan,BanC)(A，B，C为常数)，求an.探究一形如an1anf(n)，求an.1在数列an中，a11，aneq f(n1,n)an1(n2)解：因为aneq f(n1,n)an

10、1(n2)，所以an1eq f(n2,n1)an2，a2eq f(1,2)a1.由累乘法可得ana1eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(n1,n)eq f(a1,n)eq f(1,n)(n2)又a11符合上式，aneq f(1,n).探究二形如an1anf(n)，求an.2在数列an中，a12，an1an3n2.解：因为an1an3n2，所以anan13n1(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1eq f(n3n1,2)(n2)当n1时，a12eq f(1,2)(311)，符合上式，所以aneq f(3,2)n2eq f(n,2).探究三形如an1AanB(A

11、0且A1)求an.3在数列an中a11，an13an2.解：因为an13an2，所以an113(an1)，所以eq f(an11,an1)3，所以数列an1为等比数列，公比q3.又a112，所以an123n1，所以an23n11.探究四形如an1eq f(Aan,BanC)(A，B，C为常数)，求an.4已知数列an中，a11，an1eq f(2an,an2)，求数列an的通项公式解：an1eq f(2an,an2)，a11，an0，eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)，即eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)，又a11，则eq f(1,a1)1，

12、eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以1为首项，eq f(1,2)为公差的等差数列eq f(1,an)eq f(1,a1)(n1)eq f(1,2)eq f(n,2)eq f(1,2)，aneq f(2,n1)(nN*)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解1形如anan1f(n)(n2，nN*)时，用累加法求解2形如eq f(an,an1)f(n)(an10，n2，nN*)时，用累乘法求解3形如anan1m(n2，nN*)时，构造等差数列求解；形如anxan1y(n2，nN*)时，构造等比数列求解16.函数思想在数列中的应用【典例】已知数列a

13、n(1)若ann25n4.数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an成立求实数k的取值范围思路点拨(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续从二次函数的对称轴研究单调性解(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，所以(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN*，所以k3.方法点评1本题给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集上的二次函数，因此可以利

14、用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决2本题易错答案为k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数3在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取跟踪练习已知数列an的通项公式是an(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解：法一：an1an(n2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n1(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)neq blc(rc)(avs4alco1(f(10

15、,11)neq f(9n,11)，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1m)，有aeq oal(2,n)aeq oal(2,m)anmanm，则a2 015_.解析：令n2，m1，则aeq oal(2,2)aeq oal(2,1)a1a3，得a31；令n3，m2，则aeq oal(2,3)aeq oal(2,2)a1a5，得a51；令n5，m2，则aeq oal(2,5)aeq oal(2,2)a3a7，得a71，所以猜想当n为奇数时，an为1，1,1，1，所以a2 0151.答案：17若数列(na)2是递增数列，则实数a的取值范围是_解析

16、：由题意得，对任意的nN*.(n1a)2(na)2恒成立，即2a2n1恒成立，所以2a(2n1)min3，则abn.)若在数列cn中，c8cn(nN*，n8)，求实数p的取值范围解：由题意得，c8是数列cn中的最大项，所以eq blcrc (avs4alco1(7p22，,9p24，,8p4，,239p，)解得12pa1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an1eq f(1,a2n1)1eq f(f(1,2),nf(2a,2).对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1eq f(f(1,2),xf(2a,2)的单调性，知5eq

17、f(2a,2)6，10a8.故a的取值范围为(10，8)B组高考题型专练1(2012高考大纲全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)n1 D.eq f(1,2n1)解析：由已知Sn2an1得Sn2(Sn1Sn)，即2Sn13Sn，eq f(Sn1,Sn)eq f(3,2)，而S1a11，所以Sneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1，故选B.答案：B2(2011高考四川卷)数列an的前n项和为Sn，若a11，an13

18、Sn(n1)，则a6()A344 B3441C45 D451解析：法一：a11，a23S13，a33S212341，a43S348342，a53S4343，a63S5344.故选A.法二：当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a23S13a13，aneq blcrc (avs4alco1(1n1，,34n2 n2，)当n6时，a63462344.答案：A3(2014高考新课标全国卷)数列an满足an1eq f(1,1an)，a82，则a1_.解析：由an1eq f(1,1an)，得an1eq

19、f(1,an1)，a82，a71eq f(1,2)eq f(1,2)，a61eq f(1,a7)1，a51eq f(1,a6)2，an是以3为周期的数列，a1a7eq f(1,2).答案：eq f(1,2)4(2012高考上海卷)已知f(x)eq f(1,1x).各项均为正数的数列an满足a11，an2f(an)若a2 010a2 012，则a20a11的值是_解析：an2eq f(1,1an)，a11，a3eq f(1,2)，a5eq f(1,1f(1,2)eq f(2,3)，a7eq f(1,1f(2,3)eq f(3,5)，a9eq f(1,1f(3,5)eq f(5,8)，a11eq f(1,1f(5,8)eq f(8,13)，又a2 010a2 012，即