多元统计实验报告

1、数学 1001李倩1010810122X1 I X1 I =+ ia/a + + E天2 *2 = fi-21 fl + tJ22/2 十+ Ct2m/m + 内Cov(F.e) = 0.(9.23)(9.24)(9.25)在某年级44 名学生的期末成绩中，有的课程采用闭卷，有的课程采 用开卷（成绩如下），其中 X1,X2,X3,X4,X5 分别表示力学（闭），物理 （闭），代数（开），分析（开），统计（开）。（1）试用因子分析分析这组数据。试对闭卷（X1,X2）和开卷（X3,X4,X5）两组变量进行典型相关分析. （1）首先我们明确因子分析是一种降维的方法，它将多个变量综合为少 数几个因子。

2、首先建立数学模型：没X = （XX-.Xpf是可观 的随机向堆 且E（_）=卩=冋： ? & Y Var（A） = 2 =因了-分析的模型为(9.21)具中 X、晶（mp）为公共因了弘殂叵 为特殊因了它们都是可观 的随机 堆 公共因几,民现在每个原始 燉天屮二 1柑,也）的达式中可理解为原始量共同具有的公共因素每个公共因予 为（j =一 至少对两个原始 量有作用 否则它将归入特殊因了每个特殊因f-= 1, 2卫）仅仅 现在与之相应的第i个原始 M兀的达式中它只对这个原始供有作用可将式（9.21）写矩阵示形式(9.22)- =戸.i j4F + E,(9.22)其中F =、騎为公共因了向量E =

3、（九凯，E护为特殊因了向M A = 蟲5为因子载荷矩阵通假设E(F) = (L Var(F)=仏E(e) = 0. Var(c) = D = di 飓云.，巧对这道题的具体解法如下：先将数据写入exceI中保存成文本格式，而后用readable读取数据。chengji-read.table(F:/chengji.txt,header=T)fact1-factanal(x=chengji,factors=2,scores=Bartlett)fact1Call:factanal(x = chengji, factors = 2, scores = Bartlett)Uniquenesses:X1

4、X2 X3 X4 X50.521 0.582 0.363 0.482 0.005Loadings:Factor1 Factor2X1 0.691 TOC o 1-5 h z X2 0.1350.633X3 0.4760.640X4 0.5450.470X5 0.997Factor1 Factor2SS loadings1.5371.510Proportion Var0.3070.302方差贡献率Cumulative Var0.3070.609累积方差贡献率SS loadings1.5371.510Proportion Var0.3070.302方差贡献率Cumulative Var0.3070

5、.609累积方差贡献率Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.The chi square statistic is 0.11 on 1 degree of freedom.The p-value is 0.739Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.由此可知两个主成分是足够的载荷矩阵是用“Bartlett”方法得到的，根据结果得到这六门课程与两个潜在因子的关系为：X1=0.691F2X2=0.135F1+0.633F2X3=0.476F1+0.640F2X4=

6、0.545F1+0.470F2X5=0.997F1根据F1和F2的系数知道两个因子与五门课程都有正相关性，第一个因子主要和统计（开）有很强的正相关，相关系数为 0.997；而第二个因 子主要与力学（闭）、物理（闭）有很强的正相关性分别为 0.691、0.633、 同时第一个因子和第二个因子与代数（开）、分析（开）均有差不多 的正相关性，因此可以讲第一个因子解释为计算因子而将第二个因子 解释为理论因子，这样便很好的解释了结果：统计偏向于计算，而力 学和物理偏向于理论，代数和分析则于两个因子均有差不多的关系。 如果用 promax 方法进行正交旋转则得到下面的结果：chengji-read.tab

7、le（F:/chengji.txt,header=T）fact1 fact1Call: factanal(x = chengji, factors = 2, rotation = promax)Uniquenesses:X1 X2 X3 X4 X50.521 0.582 0.363 0.482 0.005Loadings:X1Factor1 Factor20.775-0.240X20.694-0.114X30.6490.247X40.4450.390X5 -0.114 1.048SS loadingsFactor1 Factor21.7151.381Proportion Var0.3430.2

8、76Cumulative Var0.3430.619Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.The chi square statistic is 0.11 on 1 degree of freedom. The p-value is 0.739 这时五门课程与两个潜在因子之间的关系变为： X1=0.775F1-0.240F2X2=0.694F1-0.114F2X3=0.649F1+0.247F2X4=0.445F1+0.390 F2X5 =-0.114F1+1.048F2这样的话第一个因子与力学（闭）、物理（闭）、代数（开）有

9、很强的 正相关性，相关系数分别为0.775、0.694、0.649，而第二个因子主要 与统计（开）有很强的正相关性，相关系数为 1.048，分析（开）与 两个因子相关性没有太大的区别，同样的我们称第一个因子为“理论 因子”称第二个因子为“计算因子”。显然第二种方法比较好。（2）数学模型如下：设总体Z =（X扯,，禺必，瓯也严 在实际中 总体的均值向量?（） =卩和协方 矩阵Cov（Z） = E通 是未知的 因而无法求得总体的典型堆和典型相关系数因此需要根据样对为进行估计比知总怵込的也次观数据缁 = （ J ）， i = 1? N ，n, 人p十gxl干是样资料为5牡 - m少12/12 - 帕

10、也I也2 J工旳2/22 - 纳*np她 -Unj假设Z z %的、则协方 矩阵E的极大似然怙计为 寸 n丈亠523-勾0-窈，其中玄二舟缁h矩阵丈为样协方阵因此 关于样 典型 址的计算 只需要将矩阵昭或m2中的x11? l12X%.A泌珀加换 Sil, 12, E仏滋即可 因此计算过 为令1 = 补鬲迄拧滋；计算Mi的全 特征值Af Xi仝仝入影其中e = Tninp.q),和相应 的特征向肚g k = 1. 2,，叫令则如=忌为第k对样 典型相黄系数 Uk =毎兀檢=號Y为第k对样 典型量 #读取数据 chengji #做典型相关分析 chengji ca U #计算因子得分12, -0.

11、240969662 -0.36212903013,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,-0.017807692 0.175225724-0.034854628 -0.014810522-0.050762328 0.056435622-0.034945463 -0.321770676-0.277936237 0.315712228-0.067809265 -0.133600625-0.021043733 0.005298861-0.018946929 -0.086056666-0.187298682 -0.

12、213174853-0.003563430 -0.1344639280.259801156 -0.1050235690.159979680 -0.1087559590.064442647 0.0117607500.172742173 -0.0429688130.222128710 -0.0182637360.122831435 -0.0448350080.162167319 0.1068486670.135069728 0.0437910200.047919911 -0.201114378-0.176632993 -0.056032180-0.111772122 0.227225788-0.0

13、22616336 0.07381550635, 0.011910904 0.12408896336, -0.303552059 -0.12282221837, -0.1994461400.00515927238, -0.0730512750.09478819239, -0.2286405350.03345715140, -0.0708636360.31039281941, -0.1319642650 -0.010468878-0 -0.0666700280.12768176544, -0.0507623280.056435622 V #找对数

14、 corcoef.chengji-function(r, n, p, q, alpha=0.1)+m-length(r); Q-rep(0, m); lambda - 1+for (k in m:1)+lambda-lambda*(1-rk八2);+Qk- -log(lambda)+s-0; i-m+for (k in 1:m)+Qk- (n-k+1-1/2*(p+q+3)+s)*Qk+chialpha)+ i-k-1; break+s corcoef.chengji(r=ca$cor,n=44,p=2,q=3)1 1由结果可知只需选一对典型变量就可以了。U1=0.09553760 X1*+0.08479416X2*V1=0.13114462X3*+0.07651773X4 *-0.07715853X5*U1、V1 的相关系数为 0.62991255，具有正相关关系，但是相关性不 高。U1中都是闭卷，权系数都不大，V1中都是开卷，权系数最大的 是代数(开)为0. 1 3 1 1 4462 ，其次是分析(开)为0.0765 1