传染病数学建模论文

1、- - .甲型 流感传播模型究摘要 模 流感病毒 并 一、问题重述近年来由墨西哥发端的甲型 h1n1 型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点通过相关网站获得数据建立一个模型对甲型 h1n1 流感的走势进行预测。 二、问题分析甲型 h1n1 流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究其中 SIR 模型是比较完整的模型SIR 模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型文选取美国地区的甲流实验室确认病例数 量，建立 SIR 模型，对甲型 h1n1 流感的传播规律进行预测。美国甲型 H1N1 流感实验室确认病例数量：时间确诊（包括死亡病例）死亡（累计）- -考试

2、资料.- - .4 月 23 日54 月 24 日84 月 25 日114 月 26 日204 月 27 日404 月 28 日644 月 29 日914 月 30 日1095 月 1 日1415 月 2 日1605 月 3 日2265 月 4 日2795 月 5 日4035 月 6 日6425 月 7 日8965 月 8 日16395 月 9 日22545 月 10 日25325 月 11 日26005 月 12 日30095 月 13 日33525 月 14 日4298- -0000000111111222233344考试资料.- - .5 月 15 日 4714 4三、建立模型（一考虑潜

3、伏的数学模型1、模型假设（1甲型 H1N1 流感传播期内，美国境内的总人数为 N 亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者 S，发病人群 I 和退出人群 R(括死亡者和治愈者)四类，时刻 t 内这三类人在总人数中所占比例分别为 s(t)、 i(t)、r(t)。（2关于时间的增长率与 s(t)成正比，比例常数为。病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。 （3、r(t)、i(t)和是一个常数 1。2、模型构成。治愈易感者和发病者有效接触后成为发病者者每个发病者平均每天有效接触的易感者数为 (t ) NI (t 个发病者平均每

4、天能使 (t ) NI ( ) 个易感者成为病毒潜伏者。所以有：dS (t )S (t ) I ( ) （1）单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即dR ( )I ( ) ）发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即 ( ) ) I ( ) ) （3）- -考试资料.1 s1 - - .1 s1 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为 3、模型求解 、 （不妨设 =0 0 0 方程组 1 法求出解析解，我们定义一个新的变量 于 是可以求出方程的解为：i ) （4） 下面分析 s(t)、i(t)、r(t)的化情况：a、不论初始条件 、 如何，病人最终将消失，即 i 。 0 0 b、最终未被感染

5、者的健康者的比例是 ，是方程( ) 在 s) 的根。C若s 0则开始有：it 先增加当 s 0时，it 达到最大值然后 it 减小且趋于零， s (t ) 则单调减小至 。d、若s ，则 it 单调减小至 5， s t ) 则单调减小至 0。我们发现人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越高，于是 越小，所以提高卫生水平和医疗水平有利于传染病的蔓延。结合美国的具体情况和假设条件进行分析：根据所得的数据画出美国患病人数变化曲线和治愈人数变化曲线：- -考试资料.- - .根据图形来看，甲型 h1n1 流感在美国呈现出蔓延的形式，即现在属于s - -考试资料.的 情的 情况，我们

6、取 - - . 。由假设条件可知 取值范围 .4 1.6 之间。现在0=1.6，则表 (1/ 即美国每天平均治愈的人数最多为 1.60人，这与美国疾病预防与控制中心所发布的数据不同。如果美国平均每天治愈1.6 个人的话，那么从 月 23 日期，治愈的总人数为 36.8 人，这与实际 的情况相差甚远。产生这个问题的原因有以下几个方面：第一每个病人每天有效接触的平均人数估计值偏小是简单的成正比关系， 应该是成多次方关系，甚至是指数关系。第二：美国疾病预防与控制中心所得到的数据具有滞后性。第三：在美国s 一定成立。可以把那些身体强壮的、注意自己个人卫生的 0人排除在外。（二考虑潜伏期的数学模型1、模

7、型假设（1甲型 H1N1 流感传播期内，美国境内的总人数为 N 亿不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，人群分为易感染者 ，病毒潜伏人群 E,发病人群 I 和退出人群 R( 括死亡者和治愈者 ) 四类，时刻 t 内这三类人在总人数中所占比例分别为 （2个病人每天有效接触的平均人数 ，称为日接触率，当已感染者与易感染者有效接触时使易感染者变为病毒潜伏人群病毒潜伏人群过一段时间再 转换成发病人群，发病人群被治愈。- -考试资料.- - .2、模型构成易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者每个发病者平均每天有效接触的易感者数为 为病毒潜伏者。(t S ( ， NI (t 发病者平均每天能使 (t ) S

8、 (t ) NI t ) 个易感者成所以有NdS ( (t ) NI ( ) 化简得： ( )( ( ) I (t 病毒潜伏人群的变化等于易感人群转入数量减去转化为发病人群的数量，即 ( ) t I ( ) ) E ( )其中 (t ) 表示潜伏期日发病率，即每个潜伏者平均有效发病的人数。单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即dR ( )( ) I t )其中(t 表示日退出率，即每个病平均有效病情结束的人数。发病人群的变化等于潜伏人群转入的数量，即dI ( ) ( ) I ( ) (t ) (t (t ) 初始时刻易感染者，已感染者与病愈免疫者的比例分别是s s 0), i (i r 0 0 0 0 3、模型求解由于潜伏期的人群数量不能确定，所以可视为是易感人群的一部分，因此求 解过程跟忽略潜伏期的一样。- -考试资