初中数学人教九年级上册第二十二章 二次函数实际问题与二次函数商品利润最大问题

1、 实际问题与二次函数 商品利润最大问题富顺县怀德镇九年制学校 喻华彬一、教学目标知识与技能1.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系且能顺利的从简单的实际问题中抽象出数量关系进而建立数学模型；2.利用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题，理解函数图像的顶点与最值得关系。3.会根据具体的题意用二次函数的顶点坐标及非顶点坐标求出实际问题中的最大利润。二）过程与方法1.经历从实际问题中建立函数模型并应用二次函数的性质解决实际问题的过程。从而体会数学来源于生活、服务于生活的本质。2体验由文字表达到数学语言的过程，培养学生的变通能力提高分析解决问题的能力。3. 利用二次函数的图像和性质解决简单的实

2、际问题，体会数形结合思想。三）情感态度与价值观1.通过实际问题与二次函数的联系，体验二次函数的实际应用价值，感受数学与生活的密切联系。2.培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，让学生体验数学活动中充满着探索和创造，增强学好数学的信心。二、教学重难点重点：把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题难点：能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。三、教学过程一）情景引入在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最

3、大利润呢？1.利润问题中的数量关系问题1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，销售额为 元，则销售利润 元。数量关系：（1）单件利润= 售价 - 成本 ； (2) 销售额= 售价 销售量（3）总利润= 销售额 - 总成本（4）总利润= 单间利润 销售量 ；二）合作探究1.如何定价利润最大问题2：某商品现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖10件；每降价1元，每周可多卖20件。已知商品的进价为每件40元，应如何定价才能使利润最大？活动一：先思考，小组讨论以下问题设涨价x元时，完成下表成本售价利润销售量

4、销售额涨价前406060-4030060300涨价后4060+x60+x-40300-10 x(60+x)(300-10 x)（2）如何表示总利润y？y =(60+x-40)(300-10 x) y =(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x) （3）：如何得到自变量x的取值范围？要保证销售量有意义 0 x30（4）：当x= 5 是，y最大，最大为多少 6250元，此时售价为 65 元.y =(60+x-40)(300-10 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x ) +6000 =-10(x-5)2-25 +6

5、000 =-10(x-5)2+6250（5）：如果是售价为x元，那么总利润y又应该怎样表示呢？ x的取值范围又应该如何确定？ （60 x90） y= (x-40)300-10(x-600) =-10 x2+1300 x-36000 =-10(x-65)2+6250当x=65时，y有最大值，y最大 =6250即售价为65元时，利润最大为6250元。 活动二：那么降价多少元才能使利润最大呢？最大利润是多少？（对比涨价，自行完成得出答案）解:设每件降价x元时的总利润为y元y=(60-40-x)(300+20 x) =(20-x)(300+20 x) =-20 x2+100 x+6000 =-20（x

6、2-5x-300） =-20（）2+6125 （0 x20）所以定价为=时利润最大,最大值为6125元.提问：综合涨价和降价两种情况，你认为如何定价，才能使利润最大？综合以上两种情况，定价为65元时， 可获得最大利润为6250元.2.知识小结求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.三）牛刀小试，你来当老板某商店购进一批单价为20元一件的日用品，如果以单价3

7、0元销售，那么半个月可售出400件，根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，售定价为多少，才能在半个月内获得最大利润？解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20 x) =-20 x2+200 x+4000 =-20(x-5)2+4500 当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元四）课堂检测 1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x（20 x 30)出售，可卖出（30020 x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.2.进价为80元的衣服定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衣服的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. 四、课堂小结本节课你的收获是什么？五、作业布置探究丛书38页例1、例2、变式训练2题六、板书设计实际问题与二次函数（最大利润问题）利润问题 例题解析（1）单件利润= 售价 - 成本