材料力学第四章-平面弯曲1课件

1、材 料 力 学Friday, October 7, 2022第四章平 面 弯 曲1材 料 力 学Sunday, October 2, 2022第四章 平面弯曲本章内容:1 平面弯曲的概念2 梁的简化3 平面弯曲时梁的内力4 剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系2第四章 平面弯曲本章内容:26 平面弯曲时梁横截面的正应力7 截面的惯性矩及抗弯截面模量8 弯曲正应力强度条件9 提高梁的弯曲强度的措施36 平面弯曲时梁横截面的正应力3材料力学第四章-平面弯曲1课件材料力学第四章-平面弯曲1课件4. 2梁的简化1 支座的几种基本形式 固定铰支座桥梁下的固定支座，止推滚珠轴

2、承等。64. 2梁的简化1 支座的几种基本形式 固定铰支座桥梁1 支座的几种基本形式 固定铰支座 可动铰支座1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等71 支座的几种基本形式 固定铰支座 可动铰支座1个约束 固定端约束FAxFAy2 载荷的简化 集中力 集中力偶 分布载荷游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。8 固定端约束FAxFAy2 载荷的简化 集中力 集中力偶 均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力作用在梁上的载荷形式9均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力3 静定梁的基本形式主要研究等直梁。 简支梁 外伸梁 悬臂梁103 静定梁的

3、基本形式主要研究等直梁。 简支梁 外伸梁 悬臂4. 3 平面弯曲时梁的内力下面求解梁弯曲时的内力。 例子已知：q = 20 kN/m, 尺寸如图。求：D截面处的内力。x求内力的方法截面法。解：建立x坐标如图。(1) 求支座反力RAyRAxRC取整体，受力如图。114. 3 平面弯曲时梁的内力下面求解梁弯曲时的内力。 例(1) 求支座反力取整体，受力如图。xRARCRAx(2) 求D截面内力从D处截开，取左段。xRAQD横截面上的内力如图。RAxNMD12(1) 求支座反力取整体，受力如图。xRARCRAx(2) (2) 求D截面内力从D处截开，取左段。横截面上的内力如图。xRAQDMDNRAx

4、13(2) 求D截面内力从D处截开，取左段。横截面上的内力如图。xRARCRAx若从D处截开，取右段。横截面上的内力如图。xRAQDMDNRAxRCQDMD计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。但从图上看，它们的方向相反。 剪力和弯矩的正负号规则如何？14xRARCRAx若从D处截开，取右段。横截面上的内力如图。x 剪力和弯矩的正负号规定QQ 剪力使其作用的一段梁产生顺时针转动的剪力为正。 弯矩使梁产生上凹(下凸)变形的弯矩为正。15 剪力和弯矩的正负号规定QQ 剪力使其作用的一 弯矩使梁产生ACDB试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩ACCDBBD16ACDB试确定截面C及截面D上的

5、剪力和弯矩ACCDBBD164. 4 剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图 剪力方程xRARAxRC 弯矩方程 上例中 剪力图和弯矩图174. 4 剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图 剪力方程xR例 2已知：简支梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(1) 求支反力需分段求解。(2) 求剪力方程和弯矩方程分为两段：AC和CB段。 AC段取x截面，左段受力如图。18例 2已知：简支梁如图。解：求：剪力方程，弯矩(1) 求支反需分段求解。(2) 求剪力方程和弯矩方程分为两段：AC和CB段。 AC段取x截面，左段受力如图。QM由平衡方程，可得: CB段x取x截面，19需分段求解。(2

6、) 求剪力方程和弯矩方程分为两段：AC和CB由平衡方程，可得: CB段x取x截面，xQM左段受力如图。(3) 画剪力图和弯矩图20由平衡方程，可得: CB段x取x截面，xQM左段受力如图。(3) 画剪力图和弯矩图21(3) 画剪力图和21例 3已知：悬臂梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(1) 求支反力为使计算简单，(2) 求剪力方程和弯矩方程取x截面，右段受力如图。22例 3已知：悬臂梁如图。解：求：剪力方程，弯(1) 求支反力为使计算简单，(2) 求剪力方程和弯矩方程取x截面，右段受力如图。QM由平衡方程，可得:23为使计算简单，(2) 求剪力方程和取x截面，右段QM

7、由平衡方(3) 画剪力图和弯矩图24(3) 画剪力图和24 作剪力图和弯矩图的步骤(1) 求支座反力；(2) 建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)；(3) 分段 在载荷变化处分段；(4) 列出每一段的剪力方程和弯矩方程；(5) 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。25 作剪力图和弯矩图的步骤(1) 求支座反力；25例 4 已知：外伸梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图.(1) 求支反力26例 4 已知：外伸梁如图。解：求：剪力方程，弯矩方程，并(1) 求支反力需分段求解。(2) 求剪力方程和弯矩方程分为3段：CA, AD和DB段。 CA段取x截面，左段受力如图。由平衡方

8、程，可得:x27(1) 求支反力需分段求解。(2) 求剪力方程和弯矩方程分为 CA段取x截面，左段受力如图。由平衡方程，可得:x AD段取x截面，左段受力如图。由平衡方程，可得:28 CA段取x截面，左由平衡方程，x AD段取x截面，左段受力x AD段取x截面，左段受力如图。由平衡方程，可得: DB段取x截面，右段受力如图。29x AD段取x截面，左段受力如图。由平衡方程，可得: DB段x DB段取x截面，右段受力如图。(3) 画剪力图和弯矩图30 x DB段取x截面，右段受力如图。(3) 画剪力图和弯矩图3(3) 画剪力图和弯矩图END31(3) 画剪力图和弯矩图END314. 5 弯矩、剪

9、力和载荷集度间的关系对图示的直梁,考察dx 微段的受力与平衡。324. 5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系对图示的直梁,32考察dx微段的受力与平衡C33考察dx微段的受力与C33C略去高阶微量还可有：34C略去高阶微量还可有：34 q(x)、Q(x)和M(x)间的微分关系上次例 3 由微分关系可得以下结论35 q(x)、Q(x)和M(x)间的微分关系上次例 3 由微 由微分关系可得以下结论(1) 若q(x) = 0上次例 2 (书例4. 2) Q(x) =常数，剪力图为水平线；M(x) 为一次函数，弯矩图为斜直线。(2) 若q(x) = 常数Q(x)为一次函数，剪力图为斜直线；M(x) 为二次

10、函数，弯矩图为抛物线。36 由微分关系可得以下结论(1) 若q(x) = 0上次例 上次例 3(2) 若q(x) = 常数Q(x)为一次函数，剪力图为斜直线；M(x) 为二次函数，弯矩图为抛物线。当q(x) 0(向上)时,抛物线是下凸的；当q(x) 5 的梁称为细长梁。69横力弯曲时，横截面上有切应力平面假设此外, 横力弯曲时纵向纤 最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。引入符号：则有： 抗弯截面系数 比较拉压:扭转:70 最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。引入符号：则有： 两种常用截面的抗弯截面系数 矩形截面 圆形截面71 两种常用截面的抗弯截面系数 矩形截面 圆形截面71长为l的矩形截面悬

11、臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。（压）72长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b12试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。200100竖放横放73试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比拉压正应力扭转切应力弯曲正应力应力的计算通常用要到构件 截面的几何参数，例如：4. 7 截面的几何性质74拉压正应力扭转切应力弯曲正应力应力的计算通常用要到构件 截面1 形心位置2 惯性矩和平行移轴公式4. 7 截面的几何性质751 形心位置4. 7 截面的几何性

12、质75对称图形形心的位置有一个对称轴：形心C位于该轴上yCz76对称图形形心的位置有一个对称轴：形心C位于该轴上yCz76 有两个对称轴：两个对称轴的交点就是形心C的位置zyC77 有两个对称轴：zyC77Czy对某点对称（中心对称）形心C位于对称中心78Czy对某点对称（中心对称）形心C位于对称中心78一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 是面积与它到轴的距离之积。dAxyyx1 面积矩与形心位置79一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)dAxyyx1 面积二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)dAxyyx等厚均质质心：累加式80二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)dAxyyx等厚均图示

13、为Z形钢的截面,图中尺寸单位为cm。求Z形截面的形心位置。将图形截面分割为三部分，每部分都是矩形。设坐标Oxy，它们的面积和坐标分别为：解:A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）81图示为Z形钢的截面,图中尺寸单位为cm。求Z形截面的形心位置A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3

14、=15（cm），y3=5（cm）82A1=1030=300（cm2）；82图形对 y 轴的惯性矩图形对 z轴的惯性矩11. 3 惯性矩与平行轴定理zyOdAyzrA为计算弯曲正应力与弯曲变形，必须知道截面的惯性矩83图形对 y 轴的惯性矩图形对 z轴的惯性矩11. 3 一、简单截面的惯性矩1 矩形截面的惯性矩Iz b/2b/2Cydyzyh/2h/2根据惯性矩定义有： 84一、简单截面的惯性矩1 矩形截面的惯性矩Iz b/2b/22 圆形截面的惯性矩Iz dzyyzc同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为式中D为空心圆截面的外径，为内、外径的比值852 圆形截面的惯性矩Iz dzyyzc同理，空心

15、圆截面二、 组合公式 将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单图形面积分别为A1、A2、An。 根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：惯性矩的组合公式 86二、 组合公式 将组合截面A划分为n个简单图形，设每个 以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC三、平行轴定理87 以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAx图所示为T字形截面，求截面对形心轴zC的惯性矩Iz。20204060COyyCZZC解：（1）确定界面形心C的位置建立坐标系Oyz,将截面分为两个矩形、， 其面积及各自的形心纵坐标分别为

16、：A160201200mm2yC120/210mmA2=4020800 mm2yC240/22040mm由形心计算公式，组合截面形心C的纵坐标为88图所示为T字形截面，求截面对形心轴zC的惯性矩Iz。202020204060COyyCZZC（2）求截面对形心轴zC的惯性矩Iz根据组合公式有：由平移轴公式有：故有：8920204060COyyCZZC（2）求截面对形心轴zC一、惯性矩：(与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。 dAxyyxr二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。2 惯性矩和平行移轴公式90一、惯性矩：(与转动惯量类似）dAxyyxr二、极惯性矩：2一、平行移轴定理：（

17、与转动惯量的平行移轴定理类似）以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC平行轴定理91一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）以形心为原注意: C点必须为形心92注意: C点必须为形心92求图示圆对其切线AB的惯性矩。解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分；B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO93求图示圆对其切线AB的惯性矩。解 ：求解此题有两种方法：B 1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑 与4. 8 弯曲正应力强度条件MIZ941.弯矩最大的截面上2.离

18、中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度=215MPa。kNkNm查表N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm395长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁已知：T形截面铸铁梁，st= 30 MPa，sc=160 MPa。Iz=763cm4, 且 |y1|=52mm。解：求：校核梁的强度。 (1) 求弯矩图 支反力 作出弯矩图96已知：T形截面铸解：求：校核梁的强度。 (1) 求弯矩图 支(1) 求弯矩图 支反力 作出弯矩图最大正弯矩为:最大负弯矩为:

19、(2) 确定危险截面 B截面 C截面97(1) 求弯矩图 支反力 作出弯矩图最大正弯矩为:最大负弯矩(2) 确定危险截面 B截面 C截面最大正弯矩为:最大负弯矩为:(3) 强度校核 B截面M98(2) 确定危险截面 B截面 C截面最大正弯矩为:最大负弯(3) 强度校核 B截面M C截面显然， 2c 1cM 结论满足强度要求。99(3) 强度校核 B截面M C截面显然， 2c 1cM梁的强度条件 强度条件弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：正应力最大处，切应力为零，是单向拉压状态；切应力最大处，正应力为零，是纯剪切状态。100梁的强度条件 强度条件弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为4. 9

20、提高梁的弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力强度为：1 减小最大弯矩从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩Mmax和提高抗弯截面系数W。(1) 合理布置支座的位置1014. 9 提高梁的弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的强度1 减小最大弯矩(1) 合理布置支座的位置1021 减小最大弯矩(1) 合理布置支座的位置102 工程例子(2) 合理布置载荷103 工程例子(2) 合理布置载荷103(2) 合理布置载荷104(2) 合理布置载荷1042 提高抗弯截面系数在截面积A相同的条件下，提高抗弯截面系数。 矩形截面梁的放置 几种常用截面的比较用比值来衡量1052 提高抗弯截面系数在截面积A相同的条件下，提高抗弯截面系 几种常用截面的比较用比值来衡量可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等)比较经济合理。106 几种常用截面的比较用比值来衡量可看出：材料远离中性轴的截面可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等)比较经济合理。 根据材料特性选择合理截面107可看出：材料远离中性